第六章势流理论

第六章势流理论课堂提问：为什么上弧旋与下弧旋乒乓球的应对方法不同？本章内容：1势流问题求解的思路2库塔儒可夫斯基条件3. 势流的迭加法绕圆柱的无环绕流，绕圆柱的有环绕流4布拉休斯公式5库塔儒可夫斯基定理学习这部分内容的目的有二：其一，获得解决势流问题的入门知识，即关键问题是求解速度势。求出速度势之后，可按一定的步骤解出速度分布、压力分布，以及流体和固体之间的作用力。其二，明确两点重要结论：1）园柱体在理想流体中作等速直线运动时，阻力为零（达朗贝尔疑题）；升力也为零。2）园柱本身转动同时作等速直线运动时，则受到升力作用（麦格鲁斯效应）。本章重点：1、平面势流问题求解的基本思想。2、势流迭加法3、物面条件，无穷远处条件4、绕圆柱有环流，无环流流动的结论，即速度分布，压力分布，压力系数分布，驻点位置，流线图谱，升力，阻力，环流方向等。5、四个简单势流的速度势函数，流函数及其流线图谱。6、麦马格鲁斯效应的概念7、计算任意形状柱体受流体作用力的卜拉修斯定理8、附加惯性力，附加质量的概念本章难点：1绕圆柱有环流，无环流流动的结论，即速度分布，压力分布，压力系数分布，驻点位置，流线图谱，升力，阻力，环流方向等。2任意形状柱体受流体作用力的卜拉修斯定理3附加惯性力，附加质量的概念6-1几种简单的平面势流平面流动：平面上任何一点的速度、加速度都平行于所在平面，无垂直于该平面的分量；与该平面相平行的所有其它平面上的流动情况完全一样。例如：1）绕一个无穷长机翼的流动，2）船舶在水面上的垂直振荡问题，由于船长比宽度及吃水大得多，且船型纵向变化比较缓慢，可以近似认为流体只在垂直于船长方向的平面内流动。如果我们在船长方向将船分割成许多薄片，并且假定绕各薄片的流动互不影响的话，则这一问题就可以按平面问题处理。这一近似方法在船舶流体力学领域内称为切片理论。一、均匀流流体质点沿x轴平行的均匀速度Vo,VX=Vo,Vy=0平面流动速度势的全微分为d一dx一dyVxdxVydyV0dxxy积分：流函数的全微分为，=Vox(6-4)dxdyVydxVxdyVdyxy积分:ip=Voy由（6-4）和（6-5）可得：流线：y=const,组平行于x轴的直线。等势线：x=const,组平行于y轴的直线。均匀流的速度势还可用来表示平行平壁间的流动或薄平板的均匀纵向绕流，如图6-4所示。(6-5)图6-4二、源或汇平面源：流体由坐标原点出发沿射线流出，反之，流体从各个方向流过来汇聚于一点，谓之平面汇：与源的流动方向相反。设源的体积流量为Q，速度以源为中心，沿矢径方向向外，沿圆周切线方向速度分量为零。现以原点为中心，任一半径,乍一圆，则根据不可压缩流体的连续性方程，体积流量Q在直角坐标中，有2nrvvr=Qr=Q/2nr(6-6)VxxyVyyx体积流量Q在直角坐标中，有2nrvvr=Qr=Q/2nr(6-6)VxxyVyyx在极坐标中有:rrsr(6-7)1Vssrr极坐标中0和的全微分：d-drQdVrdrrVsddrr2rd-r-dr-QdVsdrrVrddsr2(6-8)Q,Inr2Q2流线：为0=const,从原点引出的一组射线；等势线为=const,就是和流线正交的一组同心圆。由（6-6）式可看出，当Q0,则vr0,坐标原点为源点;图6-7图6-7如果QV0,则vfVO,流体向原点汇合,图6-7扩大壁面和源的互换性乃是汇点。源（汇）的速度势，还适用于扩大（收缩）渠道中理想流体的流动。三、偶极子偶极流：流量相等的源和汇无限靠近，且随着其间距3x0，其流量Qi且QSxM(6-9)(6-9)(SxO)则这种流动的极限状态称为偶极子，M称为偶极矩。用迭加法求0和2。因此riln2ln(12Q22(lnr1lnr2)xcos1(In几Inr2)22xcos2xcos2)由图6-8(a)所示:2图6-8(a)式中z=Sxcos01r2是个小量，我们利用泰劳展开式23ln(1z)z*223将0展开并略去3x二阶以上小量得Qxcos12rr当Sxt0时，QSxtM,上式得到偶极子的速度势为10,f2fr。其中r,0为A点的极坐标，这样便可从cos直角坐标有对于流函数:图6-8(a)三角形BCD:r所以MxsinQSxM,直角坐标有令”=C即得流线族:y_5配方后得(y2c1(6-10)x2x2sin0xsin1(6-11)1,有2r,010，所以Msin(6-12)1_4c2My2x2(613)C1(614)图6-8(b)图6-10(b)流线：圆心在y轴上与x轴相切的一组圆，如图6-10（b）中的实线。流体是沿着上述的圆周，由坐标原点流出，重新又流入原点。等势线：中心在x轴上与y轴相切的一组圆，并与2=const正交，如图6-8（b）中的虚线。偶极子是有轴线和有方向：源和汇所在的直线就是偶极子的轴线，由汇指向源的方向，就是偶极轴的方向，偶极子的方向是x轴的负向。四、点涡（环流）流场中坐标原点处有一根无穷长直涡索，方向垂直于平面xy平面，与xy平面的交点为一个点涡。点涡在平面上的诱导速度沿着以点涡为中心的圆周的切线方向，大小与半径成反比，即Vs2rVr0极坐标下：dvrdrvsrd2d积分得：2流函数dvsvrdrvrrd2rdr积分：Inr(617)2(615)流线：2=const就是r=C，即一组以涡点为中心的同心圆，如图6-9所示。注意：0对应于反时针的转动，rvo对应于顺时针的涡旋。63绕圆柱体的无环量流动，达朗贝尔谬理势流迭加法：(616)图6-9均匀流、源汇、偶极子、点涡这样一些几种简单的势流，具有可迭加性。将它们之中的两个或两个以上迭加起来，在用物面边界条件来控制，会获得有实际意义的结果。绕圆柱体的无环流流动就是一个典型的实例。理想流体的边界条件：1）无穷远条件（远场条件）VxvVy0或f=8.vrvrsinvvcosr=r0,Vn=Vr=0称为不可穿透条件零流线：r=r0处2=0是条流线。2）物面条件（近场条件）圆柱在静止无界流体中作等速直线运动=均匀流动+偶极子流动均匀流和偶极子迭加后的速度势和流函数为:i2vrCosMCos2r(6-18)2v0rSinMSin厂r(619)观察这条流线，由（619）式，我们有：Sin（vo）02r若sin0=0,有B=0或n,因此2=0的流线中有一部分是x轴;右vorM2nr=0,vrMFr2即r2=M2nv0,rM2v02v0rO2,就有r=r0,是=0的流线的一部分，如图610所示。2验证边界条件，将M2v0r0代入0,有2/v0cos(r)r(620)速度即=0的圆周也当rfg,从上式可得VrV。COSvv0sinvrv0cos(12r02)rr(621)21vv0sin(12)rr当=0时，vr=0这就证明了均匀流和偶极子迭加的速度势，满足绕圆柱体无环流流动的远场和近场的边界条件，当rr0的流动与均匀流绕圆柱的流动完全一样。设想把均匀流加偶极子的流动图案中rVr0的那一部分去掉（不感兴趣），而在其中充实以一个r=r0的圆柱体，对流场流动不会有任何影响。圆柱表面上速度分布：(622)vr0f=r0时：v2v0sin负号表示其方向与s坐标轴方向相反，如图6-10驻点位置：A,C两点0=n或0,vs=0称为驻点或分流点。对B,D两点:2vo(623)B,D两点：速度达到最大值，等于来流速度vO之两倍，与圆柱体半径无关，B,D两点：速度增至2vO,达最大值。然后又逐渐减小，在C点汇合时，速度又降至零。离开C点后，又逐渐加速，流向后方的无限远处时，再恢复为vO。圆柱表面上压力分布:运动是定常，设无穷远均匀流中的压力为pO,忽略了质量力，拉格朗日方程22VV0PPo-22将园柱表面上速度分布代入，即得圆柱表面上压力分布PPo2Vo2(14sin2)(624)物面上的压力分布定义：CpPPo(625)12Vo2由(6-24)式可得Cp14sin4(6-26)压力分布既对称于X轴也对称于y轴，见图6-11(a)。A, C两点压力最大cp=1D两点压力最小cp=3(627)沿=0这条流线压力变化为：左方无限远处，cp=O,流到A点时压力为极大值cp=1。由A点分为两支分别流向B,D点，压力逐渐减小为极小值cp=3。流向C点时压力逐渐增大，C点达极大值cp=1。由C点流向右方无限远处，压力又再次减小，最后压力重新降至pO,cp=O。因为其压力分布对称于X轴，显然合力在y轴上的分力L(升力)为零；同样，因其压力分布对称于y轴，故合力在x轴上的分力R（阻力）为零，即升力L=0阻力R=0（6-28）这一结果与实验结果有严重矛盾，称为达朗贝尔谬理。如图6-11（b）所示为圆柱表面压力分布的实测结果。与图6-11（a）相比较，C点处由正压变为负压，破坏了压力分布对y轴的对称性，从而引起了作用于物体的阻力。其原理,边界层理论一章再详细讨论。达朗贝尔谬理在理论上仍然有意义。成立的条件可归纳为下列五点；1）理想流体；2）无界流场；3）物体周围的流场中没有源、汇、涡等奇点存在；4）物体作等速直线运动；5）流动在物体表面上没有分离。如果上述条件全部成立，那么任何物体的的确不受阻力作用。上面任一条件被破坏，则物体即将遭受到流体的作用力（阻力或升力）。因此，根据达朗贝尔谬理，我们可以来分析物体在流体中运动时可能受力的种类及其本质。圆柱在静止无界流体中作等速直线运动同时自身转动=均匀流动+偶极子流动+点涡现在将绕圆柱体无环流流动与点涡进行迭加。现在将绕圆柱体无环流流动与点涡进行迭加。2/、v0cos(r)r22v0sin(r)Inrr2(629)上式中的点涡取环量为一r,这是为了符合圆柱体顺射针转动的条件。由（629）,当f=f0,速度分布：Tlnrconst仍保持为流线。63提问：绕圆柱体的有环量流动-麦格鲁斯效应乒乓球和排球中的弧圈球的运动轨迹为什么不是直线?(630)2/r.vcos(r右)r2vsin(1与)r圆柱表面上速度分布：用f=f0代入上式得:vr02v0sin2v0sin(631)2rro圆柱表面：法向速度仍为零，满足不可穿透条件。切向速度不为零，多出一项环流的速度。圆柱顺时针的环流和无环量绕流方向相同，因而速度增加，而下表面则方向相反,因而速度减少。驻点位置：驻点位置离开X轴下移的距离与r的大小有关。根据(6-31)式有:2vosins2ro解出sin4rv1)r4nr0Vo,则1)r4nr0Vo,则Isin0s|4nr0v0,驻点不在圆柱面上。驻点脱离圆柱面沿y轴向下移动到相应的位置。令(5-30)式中的vr=0和=0,得到两个位于y轴上的驻点，一个在圆柱体内，另一个在圆柱体外。这种流动只有一个在圆柱体外的自由驻点，如图6-13(c)所示。结论：合成流动对称y轴，仍将不遭受阻力。但环量的存在流动图形不对称x轴，因此产生了向上的升力。(a)(b)(c)图6-13升力的大小：将圆柱表面上速度分布V2v0sin2ro代入柏努利方程:代入柏努利方程:c228ro22C-(2v0sin)22roo2.2Vosin2Vosinro(633)(634)单位长圆柱所受到的升力为2L0psinrd将（6-33）代入上式，并考虑到22c22sin0d0,3sind0,sin2d000得到：LVo称为库塔儒可夫斯基升力定理。上式揭示了升力和环量之间的一个重要关系，即升力的大小准确地和环量r成正比。升力的方向：图6-14所示来流速度矢量逆环量方向旋转90它在绕流问题中具有普遍意义，即不仅对圆柱是正确的，型都是正确的（参阅第十二章）。其实流体由于粘性,圆柱后部会有分离，这时除升力外还会有阻力，但升力基本上可用（6-34）式计算。麦格鲁斯效应：流体绕流圆柱体会产生升力的现象。问题：1）分析乒乓球和排球中的弧圈球2）Buckan号试验船，1983年美国又造了一艘作了改进的试验船“追踪号”如图6-1564附加惯性力与附加质量物体在无界流体内的运动可分为两大类：1）匀速直线运动1）非匀速直线运动。匀速直线运动：坐标转与物体固定在一起，问题转换为均匀、定常绕流问题。非匀速直线运动：坐标固定于物体上，得到的绕流问题本身可能就是不定常运动，要另想办法来处理这一不定常运动问题。设在无界的流体中取一半径非常大的球面X,物体质量为M,推动物体的力不仅必须为增加物体的动能而作功，而且还要为增加流体的动能而作功。力F将大于Ma,若设F=（M+入）a（635）入称为附加质量，M+入称为虚质量。将入a移到（635）式左边，令FI=入a（636）则有：F+FI=Ma(637)FI为物体加速周围流体质点时受到周围流体质点的作用力，称为附加惯性力,由（6-36）可见FI的方向与加速度方向相反。当a0时FIV0,即物体加速度运动时，FI为阻力;当aVO时，FI0,即物体减速时，FI为推力，即FI使既难于加速也难于减速，结果使物体惯性加大，在效果上相当于质量增加了一个附加质量入。附加质量的计算：在物体外部，工内部流场T体积内的流体动能为Tv2dv2dv2d(638)v2v2U)2x2(-)x2()()yyzz2r)z所以-(x-(yy-()zz(639)根据高斯定理，对于在区域T及外边界工和内边界S上所定义的单值连续函数PQR有:(上xPcos(n,x)Qcos(n,y)Rcos(n,z)dPcos(n,x)sQcos(n,y)Rcos(n,z)d式中将上式用于（639）和（638）式，可得Tcos(n,x)2xcos(n,y)ycos(n,z)dzcos(n,x)2sxcos(n,y)ycos(n,z)dz由方向导数的疋义可知：cos(n,x)cos(n,y)-cos(n,z)xyzn因此上式中对工的面积分可以略去不计。以圆柱运动为例，当圆柱体在静止流体中运动时，其绝对速度势为Vcos11速度势及其微分的量阶为s2r1rrnr:当工取得足够大时，fS，则d二0nr(6-40)所以动能计算式简化为Td2sn设单位速度V=1所对应的速度势用00表示，则式中(x,y,z,t),VV(t),o(x,y,z)(6-41)是（6-40）可写成丄d)V2n(6-42)可见,0d在动能表达中处于质量的地位，起质量的作用，也具有质量的量纲，令:0d(6-62)(6-43)即为附加质量的计算式。式中$0是V=1所对应的单位速度势，仅与物体的形状和运动的方向有关，而与物体的速度或加速度无关，因而附加质量也具有此性质。实际上，物体（如船舶）的运动有六个自由度，在船舶与海洋工程中：纵荡（surge）:纵向非定常运动，附加质量入11，入11=（0.050.5m,横荡（sway）:横向非定常运动，附加质量入22,入22（0.91.2）m;升沉（Heave）:垂向非定常运动，附加质量入33（0.91.2m;横摇（Roll）:绕x轴的转动，附加转动惯量入44（0.05-0.15）Ixx,纵摇（Pitch）:绕y轴的转动，附加转动惯量入55（12）Iyy首摇（Y0W）:船舶绕Z轴的转动，相应有附加转动惯量入66屁5。m,Ixx,Iyy分别为船舶排开的水质量；绕x轴转动时的转动惯量；绕y轴的转动惯量。船舶靠离码头，总是要作加速或减速运动，因此要考虑附加质量。另外，在研究船舶横摇，纵摇时要考虑附加转动惯量。6-7作用在物体上的流体动力和力矩如图6-19所示，作用于dS上的力为pdS，在x和y方向的投影分别为dXpdSsinpdydYpdScospdx积分得x和y方向的总力:(6-63)XopdyYpdxsPXiY(6-64)PXiY(6-65)则将(6-63）式代入（6-65）式，可得共轭作用力现按下述表达式定义作用力P和共轭作用力P:在物体周线上dzdSedSdei2dzei2Pisp(dxidy)ipdz(6-66)由伯努利方程式pC1v22因此Pi(C1|v)ei2dz式中式中iCei2dzsiC(dxidy)sCdyiCdx0ss所以i(-)s|vei(2)、，dw、2i2dzi)dzi(二)()dzdz1 dw2()2dz2 sdz1 /dw、2巩丁)dz2 sdz2Y22sReIm(6-67)(668)P冋Vx上两式即为计算作用在物体上流体动力的卜拉休斯（Blasius）公式。这样，如果绕任意形状柱体流动的复势W（z）为已知，就可以根据这一公式求出作用在单位长度柱体上的共轭作用力，取实部即得X,取虚部加负号就是Y。现在来求作用在任意形状柱体上对坐标原点的力矩。由图6-19及（6-62）式，可得dMdYxdXyp(xdxydy)所以Mp(xdxsydy)(6-69)由于ZdZ(xiy)(dxidy)xdxydy)i(ydxxdy)xdxydyRe(zdz)将伯努利方程pC12v2代入(6-69)式进行积分。因osC(xdxydy)2Cx2汁Is0所以M02sV2(xdxydy)2ojvRezdz因为dzei2dz再考虑到|v|$也是实数，上式可写成:2i2MReajvezdz)即MRe-(W)zdZsdz上式即为计算作用在物体上的流体动力力矩的卜拉休斯公式。(6-70)这样，如果绕任意形状柱体流动的复势W(z)为已知，则只要对上式方括号内积分进行运解：vx一3x23yvy6xyxy算，然后取其实部，便可求得作用于单位长度柱体上作用力对原点的力矩。例6.1已知速度势$=x3-3xy2求流函数“。22vx3x3yVy6xyyx将上式积分得：2222(3x3y)dyf(x)3xyyf(x)式中f(x)为与y无关的函数。将“对x求导：6xyf(x)vy6xyx所以即f(x)=C。从而求得流函数为3x2yy2c例6.2已知平面点涡的流函数求两者迭加后的速度势。解：将两个基本解迭加得Tlnr和平面点汇的流函数2Inr1(2Q27积分得：对B求导得另外又有QlnrC()C()另外rr所以r2r2C()C()将C(B代入(a)式得势函数为2|nr2与流函数Inr2比较,显然是相互正交的。例6.3已知流函数100rsin“25628r(17)6TIn5求：(1)(2)(3)(4)628驻点位置；绕物体的环量；无穷远处的速度；作用在物体上的力。解(1)求驻点位置(先求速度场)25vr100cos(1亍)rr25100sin(1)令=0,可解出零流线为r=5,可知r=5的圆柱即为物面。在物面上，：r=5时，=0,所以v200sin令v0=0,有62810rsins628门，2000U.11740165044即驻点位置为s1s22)求环量。2vrd02(200sin062气10)5d628(m2/s)(3)求速度在物面上4rVsins所以V6284rsins45(誌)100(m/s)即为无穷远的来流速度。4）求合力。若p=1000kg/m3则1=6.28X107N/mo例6.4在x0的右半平面（y轴为固壁）内处于x轴上距壁面为a处有一强度为m的点源，求流动的复势及壁面上的速度分布。解用镜像法，在z=a的对称位置z=-a处虚设一个等强度的点源，则可形成y轴处固壁，这时流动的复势为w(z)mln(za)mln(za)i11,zir2emln(ad),m(12)则,tan2所以tan从而Q.2Q2ln(.(xa)2Q2(lnr1lna)Q；2(ln,(xa)2y2.(xa)2y2)在x=0处即固壁上VxVyln(xa)2y2)Q_21QtgQtgx0xx0yQ2(xa)2(xa)02222x02(xa)y(xa)yQy(xa)2Qy(xa)22Qy22ya