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平行四边形命题剖析考点突破考点平行四边形的性质与判定()命题角度【核心题型】平行四边形对角线的性质1添加条件构造平行四边形2平行四边形的性质3平行四边形的判定4应用平行四边形性质进行证明5【核心题型】1.(2016丽水中考)如图,ABCD的对角线AC,BD交于点O,已知AD=8,BD=12,AC=6,则OBC的周长为()A.13B.17C.20D.26【解析】选B.四边形ABCD是平行四边形,OC=AC,OB=BD,BC=AD,又AD=8,BD=12,AC=6,OC=3,OB=6,BC=8,OBC的周长为3+6+8=17.2.(2016邵阳中考)如图所示,四边形ABCD的对角线相交于点O,若ABCD,请添加一个条件_(写一个即可),使四边形ABCD是平行四边形.【解析】可以添加:ADBC(答案不唯一).答案:ADBC(答案不唯一)3.(2017武汉中考)如图,在ABCD中,D=100,DAB的平分线AE交DC于点E,连接BE.若AE=AB,则EBC的度数为_.【解题指南】由平行四边形性质求得ABE的度数由EBC=ABC-ABE求得EBC度数.【解析】四边形ABCD是平行四边形,ABC=D=100,ABCD,BAD=180-D=80,AE平分DAB,BAE=802=40,AE=AB,ABE=(180-40)2=70,EBC=ABC-ABE=30.答案:304.(2017咸宁中考)如图,点B,E,C,F在一条直线上,AB=DF,AC=DE,BE=FC.(1)求证:ABCDFE.(2)连接AF,BD,求证:四边形ABDF是平行四边形.【解题指南】(1)由SSS证明ABCDFE即可.(2)由全等三角形的性质得出ABC=DFE,证出ABDF,即可得出结论.【证明】(1)BE=FC,BC=EF,在ABC和DFE中,ABCDFE(SSS).(2)如图所示,由(1)知ABCDFE,ABC=DFE,ABDF,AB=DF,四边形ABDF是平行四边形.5.(2017大连中考)如图,在ABCD中,BEAC,垂足E在CA的延长线上,DFAC,垂足F在AC的延长线上.求证:AE=CF.【证明】四边形ABCD是平行四边形,ABCD且AB=CD,BAC=DCA,180-BAC=180-DCA,即BAE=DCF,又BEAC,DFAC,BEA=DFC=90,在BEA和DCF中BEADFC,AE=CF.【方法技巧】证明一组线段相等的常见思路:一是证明其所在的两个三角形全等;二是证明其是等腰三角形的两腰;三是证明其是平行四边形的对边;四是等量代换.【答题指导】1.平行四边形性质与判定的关系平行四边形的四边形2.提醒:“一组对边平行且另一组对边相等”的四边形不一定是平行四边形.考点矩形的性质与判定()命题角度【核心题型】中点四边形1矩形折叠性质2添加条件使四边形成为矩形4应用矩形角性质进行计算3矩形的判定5利用矩形性质进行证明6【核心题型】1.(2017株洲中考)如图,点E,F,G,H分别为四边形ABCD的四条边AB,BC,CD,DA的中点,则关于四边形EFGH,下列说法正确的是()A.一定不是平行四边形B.一定不是中心对称图形C.可能是轴对称图形D.当AC=BD时,它为矩形【解析】选C.如图,连接BD,AC,则EFAC且AC=2EF,GHAC且AC=2GH,EFGH且EF=GH,所以四边形EFGH是平行四边形,则A,B不正确,C正确,D当AC=BD时,因为AC=2EF,BD=2EH,所以EF=EH,平行四边形EFGH是菱形.2.(2017葫芦岛中考)如图,将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠,使点C落在AD边的中点C处,点B落在点B处,其中AB=9,BC=6,则FC的长为()A.B.4C.4.5D.5【解析】选D.设FC=x,则FD=9-x,BC=6,四边形ABCD为矩形,点C为AD的中点,AD=BC=6,CD=3.在RtFCD中,D=90,FC=x,FD=9-x,CD=3,FC2=FD2+CD2,即x2=(9-x)2+32,解得x=5.3.(2017兰州中考)如图,矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,ADB=30,AB=4,则OC=()A.5B.4C.3.5D.3【解析】选B.四边形ABCD是矩形,AC=BD,OA=OC,BAD=90,ADB=30,AC=BD=2AB=8,OC=AC=4.4.(2017日照中考)如图,已知BA=AE=DC,AD=EC,CEAE,垂足为E.(1)求证:DCAEAC.(2)只需添加一个条件,即_,可使四边形ABCD为矩形.请加以证明.【解题指南】(1)由SSS证明DCAEAC即可.(2)先证明四边形ABCD是平行四边形,再由全等三角形的性质得出D=90,即可得出结论.【解析】(1)在DCA和EAC中,DCAEAC(SSS).(2)添加AD=BC,可使四边形ABCD为矩形.理由如下:AB=DC,AD=BC,四边形ABCD是平行四边形,CEAE,E=90,由(1)得DCAEAC,D=E=90,四边形ABCD为矩形.答案:AD=BC(答案不唯一)5.(2017徐州中考)如图,在ABCD中,点O是边BC的中点,连接DO并延长,交AB延长线于点E,连接BD,EC. (1)求证:四边形BECD是平行四边形.(2)若A=50,则当BOD=_时,四边形BECD是矩形.【解析】(1)四边形ABCD为平行四边形,ABDC,AB=CD,OEB=ODC,又O为BC的中点,BO=CO,在BOE和COD中,BOECOD(AAS),OE=OD,四边形BECD是平行四边形.(2)若A=50,则当BOD=100时,四边形BECD是矩形.理由如下:四边形ABCD是平行四边形,BCD=A=50,BOD=BCD+ODC,ODC=100-50=50=BCD,OC=OD,BO=CO,OD=OE,DE=BC,四边形BECD是平行四边形,四边形BECD是矩形.答案:1006.(2017百色中考)矩形ABCD中,E,F分别是AD,BC的中点,CE,AF分别交BD于G,H两点.求证:(1)四边形AFCE是平行四边形.(2)EG=FH.【证明】(1)四边形ABCD是矩形,ADBC,AD=BC,E,F分别是AD,BC的中点,AE=AD,CF=BC,AE=CF,四边形AFCE是平行四边形.(2)四边形AFCE是平行四边形,CEAF,DGE=AHD=BHF,ABCD,EDG=FBH,在DEG和BFH中DEGBFH(AAS),EG=FH.【答题指导】1.矩形性质:矩形的对边平行;矩形的对边相等;矩形的四个角都是直角;矩形的对角线互相平分;矩形的对角线相等;矩形既中心对称又轴对称.2.矩形的判定思路:(1)若给出的图形是一般的四边形:思路一:证明有三个角都是直角;思路二:先证明为平行四边形,再证明有一个角是直角或证明其对角线相等.(2)若给出的四边形是平行四边形,则直接证明有一个角是直角或证明对角线相等.3.提醒:解答矩形折叠问题的关键是:轴对称变换为全等图形,从全等图形的对应边、对应角相等入手,结合勾股定理等性质列式求值.考点菱形的性质与判定()命题角度【核心题型】菱形的性质1应用菱形性质求周长3矩形与菱形综合2求菱形的面积4证明四边形是菱形5【核心题型】1.(2017益阳中考)下列性质中,菱形不一定具有的性质是()A.对角线互相平分B.对角线互相垂直C.对角线相等D.既是轴对称图形又是中心对称图形【解析】选C.菱形的对角线不一定相等.2.(2016兰州中考)如图,矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,CEBD,DEAC,AD=2,DE=2,则四边形OCED的面积为()A.2B.4C.4D.8【解析】选A.CEBD,DEAC,四边形OCED为平行四边形,ABCD为矩形,OC=OD,四边形OCED为菱形,OD=DE=2,BD=2OD=4,CD=2,三角形OCD为等边三角形,高为,所以四边形OCED的面积为2.3.(2017长沙中考)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD的长分别为6cm,8cm,则这个菱形的周长为()A.5 cmB.10 cmC.14 cmD.20 cm【解析】选D.四边形ABCD是菱形,ACBD,OA=AC=3,OB=BD=4,AB=5,菱形的周长是4AB=45=20.4.(2017菏泽中考)菱形ABCD中,A=60,其周长为24cm,则菱形的面积为_cm2.【解析】如图,连接BD,作DEAB,周长为24cm,AB=6cm.A=60,ABD是等边三角形.DE=3cm,菱形的面积为63=18(cm2).答案:185.(2017宁夏中考)在ABC中,M是AC边上的一点,连接BM.将ABC沿AC翻折,使点B落在点D处,当DMAB时,求证:四边形ABMD是菱形.【证明】如图,由折叠得AB=AD,BM=DM,1=2,DMAB,1=3,2=3,AD=DM,AB=AD=BM=DM,四边形ABMD是菱形.【答题指导】1.菱形的四条边都相等,菱形的对角线互相垂直平分,并且每条对角线平分一组对角.2.菱形的两种判定方法:(1)若四边形为(或可证明为)平行四边形,则再证一组邻边相等或对角线互相垂直.(2)若相等的边较多(或容易证出)时,可证四条边相等.3.要求菱形的周长可转化为求菱形的边长,根据菱形的对角线互相垂直得出四个直角三角形,进而可利用勾股定理求解.4.菱形除了具有平行四边形所有的性质以外,还有自身特有的性质:四条边都相等、对角线平分对角、对角线互相垂直.在此基础上,不难得到:菱形的一条对角线可以将菱形分为两个全等的等腰三角形,菱形的两条对角线可以将菱形分为四个全等的直角三角形,这也可由菱形的轴对称性直接得到.菱形的面积公式S=ab(a,b为菱形的对角线长).考点正方形的性质与判定()命题角度【核心题型】添加条件,判断正方形1正方形的折叠2正方形与正三角形综合3正方形的判定4正方形性质的应用5【核心题型】1.(2017兰州中考)在平行四边形ABCD中,对角线AC与DB相交于点O.要使四边形ABCD是正方形,还需添加一组条件.下面给出了四组条件:ABAD,且AB=AD;AB=BD,且ABBD;OB=OC,且OBOC;AB=AD,且AC=BD.其中正确的序号是:_.【解析】有一个角是直角的平行四边形是矩形;有一组邻边相等的矩形是正方形,即正确;BD为平行四边形的对角线,AB为平行四边形的一条边,所以AB=BD时,平行四边形不可能是正方形,即错误;对角线相等且垂直的平行四边形是正方形.由题意OB=OC,得AC=BD,由OBOC得ACBD,即四边形ABCD为正方形,即正确;邻边相等的平行四边形是菱形;对角线相等的菱形是正方形.依题意在平行四边形ABCD中,由AB=AD,得平行四边形ABCD为菱形,又AC=BD,四边形ABCD为正方形.即正确.答案:2.(2017枣庄中考)如图,把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开,折痕为MN,再过点B折叠纸片,使点A落在MN上的点F处,折痕为BE.若AB的长为2,则FM的长为()A.2B.C.D.1【解析】选B.四边形ABCD为正方形,AB=2,过点B折叠纸片,使点A落在MN上的点F处,FB=AB=2,BM=1,则在RtBMF中,FM=.3.(2017黄冈中考)已知:如图,在正方形ABCD的外侧,作等边三角形ADE,则BED=_度.【解析】由题意得,AB=AE,BAD=90,DAE=AED=60.所以BAE=150,AEB=15.所以BED=AED-AEB=60-15=45.答案:454.(2017崇左中考)如图,在等腰三角形ABC中,ACB=90,AC=BC=4,D是AB的中点,E,F分别是AC,BC上的点(点E不与端点A,C重合),且AE=CF,连接EF并取EF的中点O,连接DO并延长至点G,使GO=OD,连接DE,DF,GE,GF.(1)求证:四边形EDFG是正方形.(2)当点E在什么位置时,四边形EDFG的面积最小?并求四边形EDFG面积的最小值.【解析】(1)O是EF的中点,OE=OF.又OD=OG.四边形EDFG为平行四边形.AC=BC,D为AB的中点,ACB=90,AD=DC,A=FCD=45,CDAB.在AED和CFD中,AE=CF,A=FCD,AD=DC,AEDCFD.DE=DF,ADE=CDF.四边形EDFG为菱形.CDAD,ADE+EDC=90.EDC+CDF=90,即EDF=90.四边形EDFG为正方形.(2)四边形EDFG为正方形,当正方形的边长DE最短时,正方形的面积最小.垂线段最短,当DEAC时,四边形EDFG的面积最小.AD=DC,DEAC,AE=EC,DE=AC=2.当E为AC的中点时,四边形EDFG的面积最小,四边形EDFG的面积的最小值为22=4.5.(2017怀化中考)如图,四边形ABCD是正方形,EBC是等边三角形.(1)求证:ABEDCE.(2)求AED的度数.【解题指南】(1)根据正方形、等边三角形的性质,可以得到AB=BE=CE=CD,ABE=DCE=30,由此即可证明.(2)只要证明EAD=ADE=15,即可解决问题.【解析】(1)四边形ABCD是正方形,EBC是等边三角形,BA=BC=CD=BE=CE,ABC=BCD=90,EBC=ECB=60,ABE=ECD=30,在ABE和DCE中,ABEDCE(SAS).(2)BA=BE,ABE=30,BAE=(180-30)=75,BAD=90,EAD=90-75=15,同理可得ADE=15,AED=180-15-15=150.【答题指导】1.正方形的四条边相等,四个角是直角,对角线相等且互相垂直平分.2.判别正方形的三种思路:(1)先证明四边形是平行四边形,再证明有一个角为直角和一组邻边相等.(2)先证明四边形为矩形,再证明邻边相等或对角线互相垂直.(3)先证明四边形为菱形,再证明一个角为直角或对角线相等.3.正方形的判定方法主要体现正方形既是矩形,又是菱形.所以它的判定可以从两个方面来说:(1)先证它是矩形,再证它是菱形.(2)先证它是菱形,再证它是矩形.- 15 -
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