2021-2021学年新教材高中数学第三章函数3.1.1函数及其表示方法（第2课时）函数的表示方法教师用书新人教B版必修第一册

2019-2020学年新教材高中数学第三章函数3.1.1函数及其表示方法（第2课时）函数的表示方法教师用书新人教B版必修第一册第2课时函数的表示方法考点学习目标核心素养函数的三种表示方法了解函数的三种表示法及各自的优缺点，会根据不同需要选择恰当的方法表示函数数学抽象求函数的解析式掌握求函数解析式的常用方法数学运算函数图像的作法及应用会作函数的图像并从图像上获取有用信息直观想象 问题导学预习教材P89的内容，思考以下问题：1函数的表示方法有哪几种？2函数的表示方法有什么特点？函数的表示法名师点拨 (1)列表法：采用列表法的前提是函数值对应清楚，选取的自变量要有代表性(2)图像法：图像既可以是连续的曲线，也可以是离散的点(3)解析法：利用解析法表示函数的前提是变量间的对应关系明确，且利用解析法表示函数时要注意注明其定义域 判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)任何一个函数都可以用解析法表示()(2)函数的图像一定是定义区间上一条连续不断的曲线()答案：(1)(2) 已知y与x成反比，且当x2时，y1，则y关于x的函数解析式为()AyByxCy Dy解析：选C.设y，由题意得1，解得k2，所以y. 已知函数f(x)由下表给出，则f(f(3)_x1234f(x)3241解析：由题设给出的表知f(3)4，则f(f(3)f(4)1.答案：1 函数f(x)的图像如图所示，则f(x)的定义域是_，值域是_答案：1，0)(0，21，1)函数的三种表示方法某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x(x为正整数)与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图像法、解析法表示出来【解】(1)列表法：x/台12345678910y/元3 0006 0009 00012 00015 00018 00021 00024 00027 00030 000(2)图像法：如图所示(3)解析法：y3 000x，x1，2，3，10 (1)函数三种表示方法的选择解析法、图像法和列表法分别从三个不同的角度刻画了自变量与函数值的对应关系采用解析法的前提是变量间的对应关系明确，采用图像法的前提是函数的变化规律清晰，采用列表法的前提是定义域内自变量的个数较少(2)应用函数三种表示方法应注意以下三点解析法必须注明函数的定义域；列表法必须能清楚表明自变量与函数值的对应关系；图像法必须清楚函数图像是“点”还是“线” 1某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是()解析：选D.由题意可知，一开始速度较快，后来速度变慢，所以开始曲线比较陡峭，后来曲线比较平缓，又纵轴表示离校的距离，所以开始时距离最大，最后距离为0.2下表表示函数yf(x)，则f(x)x的整数解的集合是_x0x55x1010x1515x20yf(x)46810解析：当0xx的整数解为1，2，3当5xx的整数解为5当10xx的整数解为.当15xx的整数解为.综上所述，f(x)x的整数解的集合是1，2，3，5答案：1，2，3，53已知两个函数f(x)和g(x)的定义域和值域都是集合1，2，3，其函数对应关系如下表：x123f(x)231x123g(x)321则方程g(f(x)x的解集为_解析：当x1时，f(1)2，g(f(1)2，不符合题意；当x2时，f(2)3，g(f(2)1，不符合题意；当x3时，f(3)1，g(f(3)3，符合题意综上，方程g(f(x)x的解集为3答案：3求函数的解析式(1)已知f(x)是一次函数，且f(f(x)9x4，求f(x)的解析式；(2)已知f(1)x2，求f(x)；(3)已知2ff(x)x(x0)，求f(x)【解】(1)设f(x)kxb(k0)，则f(f(x)k(kxb)bk2xkbb9x4.所以解得或所以f(x)3x1或f(x)3x2.(2)法一：(配凑法)因为f(1)x2(1)21(11)，所以f(x)x21(x1)法二：(换元法)令1t(t1)，则x(t1)2(t1)，所以f(t)(t1)22t21(t1)所以f(x)x21(x1)(3)f(x)2fx，令x，得f2f(x).于是得到关于f(x)与f的方程组解得f(x)(x0)求函数解析式的常用方法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数的解析式(2)换元法(有时可用“配凑法”)：已知函数f(g(x)的解析式求f(x)的解析式可用换元法(或“配凑法”)，即令g(x)t，反解出x，然后代入f(g(x)中求出f(t)，从而求出f(x)(3)消元法(或解方程组法)：在已知式子中，含有关于两个不同变量的函数，而这两个变量有着某种关系，这时就要依据两个变量的关系，建立一个新的关于这两个变量的式子，由两个式子建立方程组，通过解方程组消去一个变量，得到目标变量的解析式，这种方法叫做消元法(或解方程组法) 1(2019辽源检测)设函数fx，则f(x)的解析式为()Af(x)Bf(x)Cf(x) Df(x)解析：选C.令t，解得x，代入fx，可得f(t)，所以f(x).2已知f(x)2f(x)x22x，求f(x)的解析式解：因为f(x)2f(x)x22x，所以将x换成x，得f(x)2f(x)x22x.2得3f(x)x26x，所以f(x)x22x.函数图像的作法及应用作出下列函数的图像并求出其值域(1)y2x1，x0，2；(2)y，x2，)；(3)yx22x，x2，2【解】(1)列表：x012y12345当x0，2时，图像是直线的一部分，观察图像可知，其值域为1，5(2)列表：x2345y1当x2，)时，图像是反比例函数y的一部分，观察图像可知其值域为(0，1(3)列表：x21012y01038画图像，图像是抛物线yx22x在2x2之间的部分由图可知函数的值域是1，8函数yf(x)图像的画法(1)若yf(x)是已学过的基本初等函数，则描出图像上的几个关键点，直接画出图像即可，有些可能需要根据定义域进行取舍(2)若yf(x)不是所学过的基本初等函数之一，则要按：列表；描点；连线三个基本步骤作出yf(x)的图像 作出下列函数的图像：(1)yx2，|x|3；(2)yx22，xZ且|x|2.解：(1)因为|x|3，所以函数的图像为线段，而不是直线，如图(1)；(2)因为xZ且|x|2，所以函数的图像是五个孤立的点，如图(2)1已知函数f(x)的图像如图所示，其中点A，B的坐标分别为(0，3)，(3，0)，则f(f(0)()A2B4C0 D3解析：选C.结合题图可得f(0)3，则f(f(0)f(3)0.2已知函数f(2x1)6x5，则f(x)的解析式是()Af(x)3x2 Bf(x)3x1Cf(x)3x1 Df(x)3x4解析：选A.法一：令2x1t，则x.所以f(t)653t2，所以f(x)3x2.法二：因为f(2x1)3(2x1)2，所以f(x)3x2.3已知函数f(x)x，且此函数的图像过点(5，4)，则实数m的值为_解析：因为函数f(x)x的图像过点(5，4)，所以45，解得m5.答案：54已知f(x)是二次函数，且满足f(0)1，f(x1)f(x)2x，求f(x)解：因为f(x)是二次函数，设f(x)ax2bxc(a0)，由f(0)1，得c1.由f(x1)f(x)2x，得a(x1)2b(x1)1ax2bx12x.整理得2ax(ab)2x，由系数相等得所以所以f(x)x2x1.A基础达标1下表表示y是x的函数，则函数的值域是()x0x55x1010x1515x20y2345A.2，5B2，3，4，5C(0，20 DN*解析：选B.由表格可知，y的值为2，3，4，5.故函数的值域为2，3，4，52已知f(x)x2bxc，且f(1)0，f(3)0，则f(1)()A0 B8C2 D2解析：选B.因为f(x)x2bxc，且f(1)0，f(3)0，所以解得即f(x)x24x3，所以f(1)1438.3已知函数f(x1)x23，则f(2)的值为()A2 B6C1 D0解析：选B.法一：令x1t，则xt1，所以f(t)(t1)23，所以f(2)(21)236.法二：f(x1)(x1)22(x1)2，所以f(x)x22x2，所以f(2)222226.法三：令x12，所以x3，所以f(2)3236.4已知f(x)是一次函数，且满足3f(x1)2x17，则f(x)等于()A.x5 B.x1C2x3 D2x1解析：选A.因为f(x)是一次函数，所以设f(x)axb(a0)，由3f(x1)2x17，得3a(x1)b2x17，整理得3ax3(ab)2x17，所以所以所以f(x)x5，故选A.5一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示(至少打开一个水口)给出以下3个论断：0点到3点只进水不出水；3点到4点不进水只出水；4点到6点不进水也不出水则正确论断的个数是()A0 B1C2 D3解析：选B.由题意可知在0点到3点这段时间，每小时进水量为2，即2个进水口同时进水且不出水，所以正确；从丙图可知3点到4点水量减少了1，所以应该是有一个进水口进水，同时出水口也出水，故错；当两个进水口同时进水，出水口也同时出水时，水量保持不变，故错6已知函数yf(x)的对应关系如表所示，函数yg(x) 的图像是如图的曲线ABC，其中A(1，3)，B(2，1)，C(3，2)，则f(g(2)的值为_x123f(x)230解析：由函数g(x)的图像知，g(2)1，则f(g(2)f(1)2.答案：27(2019莆田检测)函数yx22x3在区间3，0上的值域为_解析：yx22x3(x1)24，抛物线的开口向上，对称轴为直线x1，因为x3，0，所以当x3时，ymax0，当x1时，ymin4.函数的值域为4，0答案：4，08已知a，b为常数，若f(x)x24x3，f(axb)x210x24，则5ab_解析：由f(x)x24x3，f(axb)x210x24，得(axb)24(axb)3x210x24，即a2x2(2ab4a)xb24b3x210x24，由系数相等得解得a1，b7或a1，b3，则5ab2.答案：29已知函数pf(m)的图像如图所示求：(1)函数pf(m)的定义域；(2)函数pf(m)的值域；(3)p取何值时，有唯一的m值与之对应解：(1)观察函数pf(m)的图像，可以看出图像上所有点的横坐标的取值范围是3m0或1m4，由题图知定义域为3，01，4(2)由题图知值域为2，2(3)由题图知：p(0，2时，只有唯一的m值与之对应10已知函数f(x)g(x)h(x)，g(x)关于x2成正比，h(x)关于成反比，且g(1)2, h(1)3.求：(1)函数f(x)的解析式及其定义域；(2)f(4)的值解：(1)设g(x)k1x2(k1R，且k10)，h(x)(k2R，且k20)，由于g(1)2，h(1)3，所以k12，k23.所以f(x)2x2，定义域是(0，)(2)由(1)，得f(4)242.B能力提升11已知f(x1)，则f(x)的解析式为()Af(x)(x1)Bf(x)(x1)Cf(x)(x1)Df(x)(x1)解析：选C.设t，则x(t1)，所以f(t)，即f(x)(x1)故选C.12设f(x)2xa，g(x)(x23)，且g(f(x)x2x1，则a的值为()A1 B1C1或1 D1或2解析：选B.因为g(x)(x23)，所以g(f(x)(2xa)23(4x24axa23)x2x1，求得a1.故选B.13画出二次函数f(x)x22x3的图像，并根据图像回答下列问题：(1)比较f(0)、f(1)、f(3)的大小；(2)求函数f(x)的值域解：f(x)(x1)24的图像如图所示：(1)f(0)3，f(1)4，f(3)0，所以f(1)f(0)f(3)(2)由图像可知二次函数f(x)的最大值为f(1)4，则函数f(x)的值域为(，4C拓展探究14设二次函数f(x)满足f(x2)f(x2)，且f(x)的图像与y轴交点的纵坐标为1，被x轴截得的线段长为2，求f(x)的解析式解：设f(x)ax2bxc(a0)由f(x2)f(x2)得4ab0；又因为|x1x2|2，所以b24ac8a2；又由已知得c1.由解得b2，a，c1，所以f(x)x22x1.- 29 -