【数学】第4章 三角函数及三角恒等变换 第2节 三角函数的图像和性质及三角恒等变换

掌门1对1教育 高中数学【数学】2014版6年高考4年模拟第四章 三角函数及三角恒等变换第二节 三角函数的图象和性质及三角恒等变换第一部分 六年高考荟萃 2013年高考题一、选择题 （2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案）将函数的图象沿轴向左平移个单位后,得到一个偶函数的图象,则的一个可能取值为(A) (B) (C)0 (D) 答案：B将函数y=sin（2x +）的图像沿x轴向左平移 个单位，得到函数，因为此时函数为偶函数，所以，即，所以选B. （2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对）已知函数,下列结论中错误的是(A)的图像关于中心对称 (B)的图像关于直线对称(C)的最大值为 (D)既奇函数,又是周期函数答案：C 对于A选项，因为f（2x）+f（x）=cos（2x）sin2（2x）+cosxsin2x=cosxsin2x+cosxsin2x=0，故y=f（x）的图象关于（，0）中心对称，A正确；对于B选项，因为f（x）=cos（x）sin2（x）=cosxsin2x=f（x），故y=f（x）的图象关于x=不对称，故B正确；对于C选项，f（x）=cosxsin2x=2sinxcos2x=2sinx（1sin2x）=2sinx2sin3x，令t=sinx1，1，则y=2t2t3，t1，1，则y=26t2，令y0解得，故y=2t2t3，在上增，在与上减，又y（1）=0，y（）=，故函数的最大值为，故C错误；对于D选项，因为f（x）+f（x）=+cosxsin2x+cosxsin2x=0，故是奇函数，又f（x+2）=cos（2+x）sin2（2+x）=cosxsin2x，故2是函数的周期，所以函数即是奇函数，又是周期函数，故D正确。综上知，错误的结论只有C，故选C （2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案）函数的图象大致为答案：D函数y=xcosx + sinx为奇函数，所以图象关于原点对称，所以排除B，C.当时，,排除A,选D. （2013年高考四川卷（理）函数的部分图象如图所示,则的值分别是( )(A) (B) (C) (D)答案：A 因为在同一周期内，函数在x=时取得最大值，x=时取得最小值，所以函数的周期T满足=，由此可得T=，解得=2，得函数表达式为f（x）=2sin（2x+）又因为当x=时取得最大值2，所以2sin（2+）=2，可得+=+2k（kZ）因为，所以取k=0，得=。选：A（2013年高考湖北卷（理）将函数的图像向左平移个长度单位后,所得到的图像关于轴对称,则的最小值是( ) A. B. C. D. 答案：B本题考查三角函数的图象与平移以及三角函数的图象与性质。y=cosx+sinx,将函数的图像向左平移m（m0）个单位长度后，得到，此时关于y轴对称，则，所以，所以当时，m的最小值是，选B.二、填空题 （2013年高考上海卷（理）已知ABC的内角A、B、C所对应边分别为a、b、c,若,则角C的大小是_(结果用反三角函数值表示)答案： （2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题）函数的最小正周期为_.答案： （2013年高考江西卷（理）函数的最小正周期为为_.答案：本题考查三角函数的化简，以及三角函数的图象和性质。，所以周期.三、解答题（2013年高考陕西卷（理）已知向量, 设函数. () 求f (x)的最小正周期. () 求f (x) 在上的最大值和最小值. 解:() =. 最小正周期. 所以最小正周期为. () . . 所以,f (x) 在上的最大值和最小值分别为. （2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案）已知函数. () 求f(x)的最小正周期; () 求f(x)在区间上的最大值和最小值. （2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版）设向量(I)若 (II)设函数 （2013年高考上海卷（理）(6分+8分)已知函数,其中常数;(1)若在上单调递增,求的取值范围;(2)令,将函数的图像向左平移个单位,再向上平移1个单位,得到函数的图像,区间(且)满足:在上至少含有30个零点,在所有满足上述条件的中,求的最小值.(1)因为,根据题意有 (2) , 或, 即的零点相离间隔依次为和, 故若在上至少含有30个零点,则的最小值为. （2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版）已知函数的最小正周期为.()求的值; ()讨论在区间上的单调性.解: () .所以 () 所以 （2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版）已知函数的周期为,图像的一个对称中心为,将函数图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),在将所得图像向右平移个单位长度后得到函数的图像.(1)求函数与的解析式;(2)是否存在,使得按照某种顺序成等差数列?若存在,请确定的个数;若不存在,说明理由.(3)求实数与正整数,使得在内恰有2013个零点.解:()由函数的周期为,得 又曲线的一个对称中心为, 故,得,所以 将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)后可得的图象,再将的图象向右平移个单位长度后得到函数 ()当时, 所以 问题转化为方程在内是否有解 设, 则 因为,所以,在内单调递增 又, 且函数的图象连续不断,故可知函数在内存在唯一零点, 即存在唯一的满足题意 ()依题意,令 当,即时,从而不是方程的解,所以方程等价于关于的方程, 现研究时方程解的情况 令, 则问题转化为研究直线与曲线在的交点情况 ,令,得或 当变化时,和变化情况如下表当且趋近于时,趋向于 当且趋近于时,趋向于 当且趋近于时,趋向于 当且趋近于时,趋向于 故当时,直线与曲线在内有无交点,在内有个交点; 当时,直线与曲线在内有个交点,在内无交点; 当时,直线与曲线在内有个交点,在内有个交点 由函数的周期性,可知当时,直线与曲线在内总有偶数个交点,从而不存在正整数,使得直线与曲线在内恰有个交点;当时,直线与曲线在内有个交点,由周期性,所以 综上,当,时,函数在内恰有个零点 （2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题）本小题满分14分.已知,.(1)若,求证:;(2)设,若,求的值.解:(1) 即, 又, (2) 即 两边分别平方再相加得: （2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版）已知函数,.() 求的值; () 若,求.(); () 因为,所以, 所以, 所以. （2013年高考湖南卷（理）已知函数.(I)若是第一象限角,且.求的值;(II)求使成立的x的取值集合.解: (I). (II) （2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）本题共有2个小题,第一小题满分4分,第二小题满分9分.在平面直角坐标系中,点在轴正半轴上,点在轴上,其横坐标为,且 是首项为1、公比为2的等比数列,记,.(1)若,求点的坐标;(2)若点的坐标为,求的最大值及相应的值.P20xyAP1P3P4解(1)(2)解(1)设,根据题意,.由,知, 而, 所以,解得或. 故点的坐标为或. (2)由题意,点的坐标为,. . 因为,所以, 当且仅当,即时等号成立. 易知在上为增函数, 因此,当时,最大,其最大值为. 2012年高考题一、选择题1.【2012高考重庆理5】设是方程的两个根，则的值为（A）-3 （B）-1 （C）1 （D）3【答案】A【解析】因为是方程的两个根，所以，所以，选A.2.【2012高考浙江理4】把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图像是【答案】A【解析】把函数ycos2x1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得：y1cosx1，向左平移1个单位长度得：y2cos(x+1)1，再向下平移1个单位长度得：y3cos(x+1)令x0，得：y30；x，得：y30；观察即得答案3.【2012高考新课标理9】已知，函数在上单调递减.则的取值范围是（ ） 【答案】A【解析】法1：函数的导数为，要使函数在上单调递减，则有恒成立，则，即，所以，当时，又，所以有，解得，即，选A.法2：选 不合题意 排除 合题意 排除另：， 得：4.【2012高考四川理4】如图，正方形的边长为，延长至，使，连接、则（ ）A、 B、 C、 D、【答案】B【解析】，由正弦定理得，所以.点评注意恒等式sin2+cos2=1的使用，需要用的的范围决定其正余弦值的正负情况.5.【2012高考陕西理9】在中，角所对边长分别为，若，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C.【解析】由余弦定理知，故选6.【2012高考山东理7】若，则（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】法1：因为，所以，所以，又，所以，选D.法2：由及可得，而当时，结合选项即可得.答案应选D。7.【2012高考辽宁理7】已知，(0，)，则=(A) 1 (B) (C) (D) 1【答案】A【解析一】，故选A【解析二】，故选A【点评】本题主要考查三角函数中的和差公式、倍角公式、三角函数的性质以及转化思想和运算求解能力，难度适中。8.【2012高考江西理4】若tan+ =4,则sin2=A B. C. D. 【答案】D【命题立意】本题考查三角函数的倍角公式以及同角的三角函数的基本关系式。【解析】由得， ，即，所以，选D.【点评】本题需求解正弦值，显然必须切化弦，因此需利用公式转化；另外，在转化过程中常与“1”互相代换，从而达到化简的目的；关于正弦、余弦的齐次分式，常将正弦、余弦转化为正切，即弦化切，达到求解正切值的目的. 体现考纲中要求理解三角函数的基本关系式，二倍角公式.来年需要注意二倍角公式的正用，逆用等.9.【2012高考湖南理6】函数f（x）=sinx-cos(x+)的值域为 A -2 ,2 B.-, C.-1,1 D.- , 【答案】B【解析】f（x）=sinx-cos(x+)，值域为-,.【点评】利用三角恒等变换把化成的形式，利用，求得的值域.10.【2012高考上海理16】在中，若，则的形状是（ ）A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D不能确定【答案】C【解析】根据正弦定理可知由,可知，在三角形中，所以为钝角，三角形为钝角三角形，选C.【点评】本题主要考查正弦定理及其推理、余弦定理的运用.主要抓住所给式子的结构来选择定理，如果出现了角度的正弦值就选择正弦定理，如果出现角度的余弦值就选择余弦定理.本题属于中档题. 11.【2012高考天津理2】设则“”是“为偶函数”的（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分与不必要条件【答案】A【命题意图】本试题主要考查了三角函数的奇偶性的判定以及充分条件与必要条件的判定.【解析】函数若为偶函数，则有,所以“”是“为偶函数”的充分不必要条件，选A.12.【2012高考天津理6】在中，内角A，B，C所对的边分别是，已知8b=5c，C=2B，则cosC=（A） （B） （C） （D）【答案】A【命题意图】本试题主要考查了正弦定理、三角函数中的二倍角公式. 考查学生分析、转化与计算等能力.【解析】因为,所以,根据正弦定理有，所以，所以。又，所以，选A.13.【2012高考全国卷理7】已知为第二象限角，则cos2=(A) （B） (C) (D)【答案】A【命题意图】本试题主要考查了三角函数中两角和差的公式以及二倍角公式的运用。首先利用平方法得到二倍角的正弦值，然后然后利用二倍角的余弦公式，将所求的转化为单角的正弦值和余弦值的问题。【解析】因为所以两边平方得，所以，因为已知为第二象限角，所以，所以=，选A.二、填空题14.【2012高考湖南理15】函数f（x）=sin ()的导函数的部分图像如图4所示，其中，P为图像与y轴的交点，A,C为图像与x轴的两个交点，B为图像的最低点.（1）若，点P的坐标为（0，），则 ;（2）若在曲线段与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在ABC内的概率为 .【答案】（1）3；（2）【解析】（1），当，点P的坐标为（0，）时；（2）由图知，设的横坐标分别为.设曲线段与x轴所围成的区域的面积为则，由几何概型知该点在ABC内的概率为.【点评】本题考查三角函数的图像与性质、几何概型等，（1）利用点P在图像上求，（2）几何概型，求出三角形面积及曲边形面积，代入公式即得.15.【2012高考湖北理11】设的内角，所对的边分别为，. 若，则角 【答案】考点分析：考察余弦定理的运用.【解析】16.【2012高考北京理11】在ABC中，若=2，b+c=7，cosB=，则b=_。【答案】4【解析】在ABC中，利用余弦定理 ，化简得：，与题目条件联立，可解得.17.【2012高考安徽理15】设的内角所对的边为；则下列命题正确的是若；则 若；则 若；则 若；则若；则【答案】【命题立意】本题解三角形的知识，主要涉及余弦定理与基本不等式的运算。【解析】正确的是当时，与矛盾取满足得：取满足得：18.【2012高考福建理13】已知ABC得三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为_.【答案】【命题立意】本题考查了解三角形和等比数列的相关知识，难度适中【解析】设最小边长为，则另两边为.所以最大角余弦19.【2012高考重庆理13】设的内角的对边分别为，且，,则 【答案】【解析】因为,所以，,根据正弦定理得,解得.20.【2012高考上海理4】若是直线的一个法向量，则的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）。【答案】【解析】设倾斜角为，由题意可知，直线的一个方向向量为（1,2），则，=。【点评】本题主要考查直线的方向向量、直线的倾斜角与斜率的关系、反三角函数的表示.直线的倾斜角的取值情况一定要注意，属于低档题，难度较小.21.【2012高考全国卷理14】当函数取得最大值时，x=_.【答案】【命题意图】本试题主要考查了三角函数性质的运用，求解值域的问题。首先化为单一三角函数，然后利用定义域求解角的范围，从而结合三角函数图像得到最值点。【解析】函数为，当时，由三角函数图象可知，当，即时取得最大值，所以.22.【2012高考江苏11】（5分）设为锐角，若，则的值为 【答案】。【考点】同角三角函数，倍角三角函数，和角三角函数。【解析】为锐角，即，。 ，。 。 。三、解答题23.【2012高考新课标理17】（本小题满分12分）已知分别为三个内角的对边，（1）求 （2）若，的面积为；求.【答案】（1）由正弦定理得： （2） 24.【2012高考湖北理17】（本小题满分12分）已知向量，设函数的图象关于直线对称，其中，为常数，且. （）求函数的最小正周期； （）若的图象经过点，求函数在区间上的取值范围.【答案】（）因为. 由直线是图象的一条对称轴，可得， 所以，即 又，所以，故. 所以的最小正周期是. （）由的图象过点，得，即，即. 故， 由，有，所以，得，故函数在上的取值范围为. 25.【2012高考安徽理16】）(本小题满分12分) 设函数。（I）求函数的最小正周期；（II）设函数对任意，有，且当时， ，求函数在上的解析式。【答案】本题考查两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、三角函数的周期等性质、分段函数解析式等基础知识，考查分类讨论思想和运算求解能力。【解析】 ，（I）函数的最小正周期（2）当时，当时， 当时， 得函数在上的解析式为。26.【2012高考四川理18】(本小题满分12分) 函数在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点，、为图象与轴的交点，且为正三角形。（）求的值及函数的值域；（）若，且，求的值。【答案】本题主要考查三角函数的图像与性质、同角三角函数的关系、两角和差公式，倍角公式等基础知识，考查基本运算能力，以及数形结合思想，化归与转化思想.解析（）由已知可得： =3cosx+又由于正三角形ABC的高为2，则BC=4所以，函数所以，函数。6分（）因为（）有 由x0所以，故 12分27.【2012高考陕西理16】（本小题满分12分）函数（）的最大值为3， 其图像相邻两条对称轴之间的距离为，（1）求函数的解析式；（2）设，则，求的值。【解析】（）函数的最大值是3，即。函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为，最小正周期，。故函数的解析式为。（），即，故。28.【2012高考广东理16】（本小题满分12分）已知函数，（其中0，xR）的最小正周期为10（1）求的值；（2）设，求cos（）的值【答案】本题考查三角函数求值，三角恒等变换，利用诱导公式化简三角函数式与两角和的余弦公式求值，难度较低。【解析】（1） （2） 29.【2012高考山东理17】（本小题满分12分）已知向量，函数的最大值为6.（）求；（）将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象.求在上的值域.解：（） 因为 ，由题意知 （）由（I） 将的图象向左平移个单位后得到 的图象；再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到 的图象 因此， 因为 ，所以 ，所以 ， 所以在上的值域为30.【2012高考北京理15】（本小题共13分）已知函数。（1）求的定义域及最小正周期；（2）求的单调递减区间。解（1）：得：函数的定义域为 得：的最小正周期为； （2）函数的单调递增区间为 则 得：的单调递增区间为31.【2012高考重庆理18】（本小题满分13分（）小问8分（）小问5分）设，其中（）求函数 的值域（）若在区间上为增函数，求 的最大值.解：（1） 因，所以函数的值域为（2）因在每个闭区间上为增函数，故在每个闭区间上为增函数。依题意知对某个成立，此时必有，于是，解得，故的最大值为。32.【2012高考浙江理18】(本小题满分14分)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知cosA，sinBcosC()求tanC的值；()若a，求ABC的面积【答案】本题主要考查三角恒等变换，正弦定理，余弦定理及三角形面积求法等知识点。()cosA0，sinA，又cosCsinBsin(AC)sinAcosCsinCcosAcosCsinC整理得：tanC()由图辅助三角形知：sinC又由正弦定理知：，故 (1)对角A运用余弦定理：cosA (2)解(1) (2)得： or b(舍去)ABC的面积为：S33.【2012高考辽宁理17】(本小题满分12分) 在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c。角A，B，C成等差数列。 ()求的值； ()边a，b，c成等比数列，求的值。【命题意图】本题主要考查等差数列、等比数列概念、正余弦定理应用，是容易题.【解析】（1）由已知 6分（2）解法一：，由正弦定理得解法二：，由此得得所以， 12分【点评】本题主要考查三角形的正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理及等差、等比数列的定义，考查转化思想和运算求解能力，属于容易题。第二小题既可以利用正弦定理把边的关系转化为角的关系，也可以利用余弦定理得到边之间的关系，再来求最后的结果。34.【2012高考江西理17】（本小题满分12分）在ABC中，角A,B,C的对边分别为a，b，c。已知（1）求证： （2）若，求ABC的面积。解：（1）证明：由 及正弦定理得：，即整理得：，所以，又所以（2） 由（1）及可得，又 所以，所以三角形ABC的面积【点评】本题考查解三角形，三角形的面积，三角恒等变换、三角和差公式以及正弦定理的应用.高考中，三角解答题一般有两种题型：一、解三角形：主要是运用正余弦定理来求解边长，角度，周长，面积等；二、三角函数的图像与性质：主要是运用和角公式，倍角公式，辅助角公式进行三角恒等变换，求解三角函数的最小正周期，单调区间，最值（值域）等.来年需要注意第二种题型的考查.35.【2012高考全国卷理17】（本小题满分10分）三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cos（A-C）cosB=1，a=2c，求c.【命题意图】本试题主要考查了解三角形的运用，给出两个公式，一个是边的关系，一个角的关系，而求解的为角，因此要找到角的关系式为好。【解析】由，由正弦定理及可得所以故由与可得而为三角形的内角且，故，所以，故。【点评】该试题从整体来看保持了往年的解题风格，依然是通过边角的转换，结合了三角形的内角和定理的知识，以及正弦定理和余弦定理，求解三角形中的角的问题。试题整体上比较稳定，思路也比较容易想，先将三角函数关系式化简后，得到角关系，然后结合，得到两角的二元一次方程组，自然很容易得到角的值。36.【2012高考天津理15】（本小题满分13分）已知函数（）求函数的最小正周期；（）求函数在区间上的最大值和最小值.【解析】（1） 函数的最小正周期为（2） 当时，当时，【点评】该试题关键在于将已知的函数表达式化为的数学模型，再根据此三角模型的图像与性质进行解题即可.37.【2012高考江苏15】（14分）在中，已知（1）求证：；（2）若求A的值【答案】解：（1），即。 由正弦定理，得，。 又，。即。 （2） ，。 ，即。 由 （1） ，得，解得。 ，。【考点】平面微量的数量积，三角函数的基本关系式，两角和的正切公式，解三角形。【解析】（1）先将表示成数量积，再根据正弦定理和同角三角函数关系式证明。 （2）由可求，由三角形三角关系，得到，从而根据两角和的正切公式和（1）的结论即可求得A的值。2011年高考题一、选择题1.（山东理6）若函数 (0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则= A3 B2 C D【答案】C2.（山东理9）函数的图象大致是【答案】C3.（全国大纲理5）设函数，将的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则的最小值等于A B C D【答案】C4.（湖北理3）已知函数，若，则x的取值范围为A BC D【答案】B5.（全国新课标理11）设函数的最小正周期为，且则（A）在单调递减 （B）在单调递减（C）在单调递增 （D）在单调递增【答案】A6.（安徽理9）已知函数，其中为实数，若对恒成立，且，则的单调递增区间是（A） （B）（C） （D）【答案】C二、填空题7.（上海理8）函数的最大值为 。【答案】8.（辽宁理16）已知函数=Atan（x+）（），y=的部分图像如下图，则 【答案】三、解答题9.（江苏9）函数是常数，的部分图象如图所示，则f(0)= 【答案】10（北京理15）已知函数。（）求的最小正周期：（）求在区间上的最大值和最小值。解：（）因为所以的最小正周期为（）因为于是，当时，取得最大值2；当取得最小值1.11（福建理16）已知等比数列an的公比q=3，前3项和S3=。（I）求数列an的通项公式；（II）若函数在处取得最大值，且最大值为a3，求函数f（x）的解析式。本小题主要考查等比数列、三角函数等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，满分13分。 解：（I）由解得所以（II）由（I）可知因为函数的最大值为3，所以A=3。因为当时取得最大值，所以又 所以函数的解析式为12.（广东理16）已知函数（1）求的值；（2）设求的值解：（1）； （2）故13.（湖北理16）设的内角A、B、C、所对的边分别为a、b、c，已知（）求的周长（）求的值本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查基本运算能力。（满分10分）解：（）的周长为 （），故A为锐角，14.（四川理17）已知函数（1）求的最小正周期和最小值；（2）已知，求证：解析：（2）15.（天津理15）已知函数（）求的定义域与最小正周期；（II）设，若求的大小本小题主要考查两角和的正弦、余弦、正切公式，同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦、余弦公式，正切函数的性质等基础知识，考查基本运算能力.满分13分. （I）解：由， 得.所以的定义域为的最小正周期为 （II）解：由得整理得因为，所以因此由，得.所以16.（重庆理16）设，满足，求函数在上的最大值和最小值.解： 由因此当为增函数，当为减函数，所以又因为故上的最小值为2010年高考题一、选择题1.（2010全国卷2理）（7）为了得到函数的图像，只需把函数的图像（A）向左平移个长度单位 （B）向右平移个长度单位（C）向左平移个长度单位 （D）向右平移个长度单位【答案】B 【命题意图】本试题主要考查三角函数图像的平移.【解析】=，=，所以将的图像向右平移个长度单位得到的图像，故选B.2.（2010陕西文）3.函数f (x)=2sinxcosx是(A)最小正周期为2的奇函数（B）最小正周期为2的偶函数(C)最小正周期为的奇函数（D）最小正周期为的偶函数【答案】C解析：本题考查三角函数的性质f (x)=2sinxcosx=sin2x，周期为的奇函数3.（2010辽宁文）（6）设,函数的图像向右平移个单位后与原图像重合，则的最小值是（A） （B） （C） （D） 3【答案】 C解析：选C.由已知，周期4.（2010辽宁理）（5）设0,函数y=sin(x+)+2的图像向右平移个单位后与原图像重合，则的最小值是（A） (B) (C) (D)3 【答案】C【命题立意】本题考查了三角函数图像的平移变换与三角函数的周期性，考查了同学们对知识灵活掌握的程度。【解析】将y=sin(x+)+2的图像向右平移个单位后为，所以有=2k,即，又因为，所以k1,故，所以选C5.（2010重庆文）（6）下列函数中，周期为，且在上为减函数的是（A） （B）（C） （D）【答案】 A解析：C、D中函数周期为2，所以错误 当时，函数为减函数而函数为增函数，所以选A6.（2010重庆理）（6）已知函数的部分图象如题（6）图所示，则A. =1 = B. =1 =- C. =2 = D. =2 = -解析： 由五点作图法知，= -7.（2010山东文）（10）观察，由归纳推理可得：若定义在上的函数满足，记为的导函数，则=（A） (B) (C) (D)【答案】D8.（2010四川理）（6）将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是（A） （B） （C） （D）解析：将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，所得函数图象的解析式为ysin(x) 再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是.【答案】C9.（2010天津文）（8）为了得到这个函数的图象，只要将的图象上所有的点(A)向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变(B) 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变(C) 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变(D) 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变【答案】A【解析】本题主要考查三角函数的图像与图像变换的基础知识，属于中等题。由图像可知函数的周期为，振幅为1，所以函数的表达式可以是y=sin(2x+).代入（-，0）可得的一个值为，故图像中函数的一个表达式是y=sin(2x+)，即y=sin2(x+ )，所以只需将y=sinx（xR）的图像上所有的点向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变。【温馨提示】根据图像求函数的表达式时，一般先求周期、振幅，最后求。三角函数图像进行平移变换时注意提取x的系数，进行周期变换时，需要将x的系数变为原来的10.（2010福建文）11.（2010四川文）（7）将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是（A） （B）（C） （D）【答案】C解析：将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，所得函数图象的解析式为ysin(x) 再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是.12.（2010湖北文）2.函数f(x)= 的最小正周期为A. B.xC.2D.4【答案】D【解析】由T=|=4，故D正确.13.（2010福建理）1的值等于（ ）ABCD【答案】A【解析】原式=，故选A。【命题意图】本题考查三角函数中两角差的正弦公式以及特殊角的三角函数，考查基础知识，属保分题。二、填空题1.（2010浙江理）（11）函数的最小正周期是_ .解析：故最小正周期为，本题主要考察了三角恒等变换及相关公式，属中档题2.（2010浙江文）（12）函数的最小正周期是 。答案 3.（2010福建文）16.观察下列等式： cos2a=2-1; cos4a=8- 8+ 1; cos6a=32- 48+ 18- 1; cos8a=128- 256+ 160- 32+ 1; cos10a= m- 1280+ 1120+ n+ p- 1可以推测，m n + p = 【答案】962【解析】因为所以；观察可得，所以m n + p =962。【命题意图】本小题考查三角变换、类比推理等基础知识，考查同学们的推理能力等。4.（2010山东理）5.（2010福建理）14已知函数和的图象的对称轴完全相同。若，则的取值范围是 。【答案】【解析】由题意知，因为，所以，由三角函数图象知：的最小值为，最大值为，所以的取值范围是。6.（2010江苏卷）10、定义在区间上的函数y=6cosx的图像与y=5tanx的图像的交点为P，过点P作PP1x轴于点P1，直线PP1与y=sinx的图像交于点P2,则线段P1P2的长为_。解析 考查三角函数的图象、数形结合思想。线段P1P2的长即为sinx的值，且其中的x满足6cosx=5tanx，解得sinx=。线段P1P2的长为三、解答题1.（2010湖南文）16. （本小题满分12分）已知函数（I）求函数的最小正周期。(II) 求函数的最大值及取最大值时x的集合。2.（2010浙江理）（18）(本题满分l4分)在ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c，已知 (I)求sinC的值；()当a=2， 2sinA=sinC时，求b及c的长解析：本题主要考察三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同事考查运算求解能力。（）解：因为cos2C=1-2sin2C=，及0C所以sinC=.（）解：当a=2，2sinA=sinC时，由正弦定理，得c=4由cos2C=2cos2C-1=，J及0C得cosC=由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，得b2b-12=0解得 b=或2所以 b= b= c=4 或 c=43.（2010江西理）17.（本小题满分12分）已知函数。(1) 当m=0时，求在区间上的取值范围；(2) 当时，求m的值。【解析】考查三角函数的化简、三角函数的图像和性质、已知三角函数值求值问题。依托三角函数化简，考查函数值域，作为基本的知识交汇问题，考查基本三角函数变换，属于中等题.解：（1）当m=0时， ，由已知，得从而得：的值域为（2）化简得：当，得：，代入上式，m=-2.4.（2010浙江文）（18）（本题满分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,设S为ABC的面积，满足。（）求角C的大小；（）求的最大值。5.（2010北京文）（15）（本小题共13分）已知函数（）求的值；（）求的最大值和最小值解：（）= （） 因为,所以，当时取最大值2；当时，去最小值-1。6.（2010北京理）（15）（本小题共13分） 已知函数。（）求的值；（）求的最大值和最小值。解：（I） （II） = =, 因为， 所以，当时，取最大值6；当时，取最小值7.（2010广东理）16、（本小题满分14分）已知函数在时取得最大值4(1)求的最小正周期；(2)求的解析式；(3)若(+)=,求sin，8.（2010广东文）9.（2010湖北文）16.（本小题满分12分）已经函数()函数的图象可由函数的图象经过怎样变化得出？（）求函数的最小值，并求使用取得最小值的的集合。10.（2010湖南理）16（本小题满分12分）已知函数（）求函数的最大值；（II）求函数的零点的集合。2009年高考题一、选择题1.(2009年广东卷文)函数是 A最小正周期为的奇函数 B. 最小正周期为的偶函数 C. 最小正周期为的奇函数 D. 最小正周期为的偶函数 答案 A解析 因为为奇函数,所以选A.2.（2009全国卷理）如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为（ ）A . B. C. D. 答案 C解析: 函数的图像关于点中心对称 由此易得.故选C3.（2009全国卷理）若，则函数的最大值为 。答案 -8解析:令, 4.（2009浙江理）已知是实数，则函数的图象不可能是 ( )答案 D解析 对于振幅大于1时，三角函数的周期为，而D不符合要求，它的振幅大于1，但周期反而大于了5.（2009浙江文）已知是实数，则函数的图象不可能是（ ） 【命题意图】此题是一个考查三角函数图象的问题，但考查的知识点因含有参数而丰富，结合图形考查使得所考查的问题形象而富有深度答案 D解析 对于振幅大于1时，三角函数的周期为，而D不符合要求，它的振幅大于1，但周期反而大于了6.(2009山东卷理)将函数的图象向左平移个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是( ).A. B. C. D.答案 B解析 将函数的图象向左平移个单位,得到函数即的图象,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式为,故选B.【命题立意】:本题考查三角函数的图象的平移和利用诱导公式及二倍角公式进行化简解析式的基本知识和基本技能,学会公式的变形. 7.(2009山东卷文)将函数的图象向左平移个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是( ).A. B. C. D. 答案 A解析 将函数的图象向左平移个单位,得到函数即的图象,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式为,故选A.【命题立意】:本题考查三角函数的图象的平移和利用诱导公式及二倍角公式进行化简解析式的基本知识和基本技能,学会公式的变形.8.（2009安徽卷理）已知函数，的图像与直线的两个相邻交点的距离等于，则的单调递增区间是 A. B. C. D. 答案 C解析 ，由题设的周期为，由得，故选C9.（2009安徽卷文）设函数，其中，则导数的取值范围是A. B. C. D. 答案 D解析 ，选D10.（2009江西卷文）函数的最小正周期为A B C D 答案：A解析 由可得最小正周期为,故选A.11.（2009江西卷理）若函数，则的最大值为A1 B C D答案：B解析 因为=当是，函数取得最大值为2. 故选B12.(2009湖北卷理)函数的图象按向量平移到,的函数解析式为当为奇函数时，向量可以等于 答案 B解析 直接用代入法检验比较简单.或者设，根据定义，根据y是奇函数，对应求出，13.（2009全国卷理）若将函数的图像向右平移个单位长度后，与函数的图像重合，则的最小值为A B. C. D. 解析：，又.故选D答案 D14.（2009福建卷理）函数最小值是 ( )A-1 B. C. D.1答案 B解析 .故选B15.（2009辽宁卷理）已知函数=Acos()的图象如图所示，则=( )A. B. C. D. 解析 由图象可得最小正周期为 于是f(0)f(),注意到与关于对称 所以f()f()答案 B16.（2009全国卷文）如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为A. B. C. D. 【解析】本小题考查三角函数的图象性质，基础题。解: 函数的图像关于点中心对称 由此易得.故选A17.（2009湖北卷文）函数的图像F按向量a平移到F/，F/的解析式y=f(x),当y=f(x)为奇函数时，向量a可以等于A. B. C. D.答案 D解析 由平面向量平行规律可知，仅当时，：=为奇函数，故选D.18.(2009湖南卷理)将函数y=sinx的图象向左平移0 2的单位后，得到函数y=sin的图象，则等于 （D）A B C. D. 答案 D解析 由函数向左平移的单位得到的图象，由条件知函数可化为函数，易知比较各答案，只有，所以选D项19.（2009天津卷理）已知函数的最小正周期为，为了得到函数的图象，只要将的图象 A 向左平移个单位长度 B 向右平移个单位长度 C 向左平移个单位长度 D 向右平移个单位长度 【考点定位】本小题考查诱导公式、函数图象的变换，基础题。解析：由题知，所以，故选择A答案 A二、填空题20.（2009江苏卷）函数（为常数，）在闭区间上的图象如图所示，则= . 答案 3解析 考查三角函数的周期知识 ，所以， 21（2009宁夏海南卷理）已知函数y=sin（x+）（0, -）的图像如图所示，则 =_ 答案：解析：由图可知，22.（2009宁夏海南卷文）已知函数的图像如图所示，则 。 答案 0解析 由图象知最小正周期T（），故3，又x时，f（x）0，即2）0，可得，所以，2023.(2009湖南卷理)若x(0, )则2tanx+tan(-x)