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一、考题重点内容分析重基础，全面学习无论是为了学好还是为在考试中取得理想成绩，都应当全面学习、全面复习。下面就（一）微积分的主要考试题目进行分析：【例一】 考题（一）（5）A B2 C3 D4分析：学员需要知道是奇函数，所以有：要求学员根据定积分的几何意义知道：是半径为R的上半圆的面积，所以有： 应选A。【例二】 考题（一）（3）A0 B1 Ce D不存在分析：首先，要求学员知道x0时，tanxx。要求学员掌握微积分基本定理：要求学员掌握第二个重要极限要求学员掌握罗必达法则 tanxx 选C。【例三】 考题（三）（18）计算分析：要求学员熟记积分表：要求学员熟记积分表： 【例四】 考题（三）（22）计算 分析：需要学员掌握三角函数的倍角公式： 需要学员熟记微分公式：需要学员掌握分部积分公式：需要学员熟记积分表： 主要内容反复练习高数（一）微积分无论从学习还是从考试的角度看，最主要也是最核心的内容是一元函数的微分学和积分学及其应用：一方面是这部分内容占考分的70%；另一方面是这一部分内容掌握好了，其他内容特别是多元微积分部分就迎刃而解了。【例五】 考题三（17），求分析：这是一道多次复合而成的函数的导数问题，只要关于复合函数的导数经过反复训练，经过多次复合函数导数公式便可容易得到结果，请看：【例六】 考题三（16）计算 分析：本题虽然是未定式型，但不宜用罗必达法则，但在教材的例题和作业中，经常利用公式变形后计算，所以有：【例七】 计算定积分分析：解法一： 需要学员熟记积分公式： 需要学员知道完全平方公式： 解法二：部分分式需要学员知道： 学员应熟记积分公式： 【例八】 考题三（21） 求dy分析：本题是只有一次复合而生成的函数，直接用复合函数导数公式即可【例九】 考题四（24）（a0），y=0，x=1所围图形绕x轴旋转一周所成的旋转体体积为，求a。解： (舍去)【例十】 考题三（23）D是x=1，y=2，y=x-1所围区域求 解：因为对y积分原函数不是初等函数，所以应先对x积分D：0y2，1x1+y =【例十一】 考题三（20）确定解：上面所列考题，都是教材和作业中常见的练习题和例题的类型题，只要考生在学习过程中反复练习，就不会感到生疏或困难。建议考生将教材中的练习做过一遍以后，过两周再重做一遍，考前再做一遍，通过考试就会有较大把握。如今社会上的辅导材料太多，有的并不完全符合考试要求，建议考生还应以教材为主，学习之余感到教材练习已做得很熟练后，再考虑看参考辅导材料。有个别考题，未见得在教材或习题中见过，不要因为试卷中有个别偏题，就盲目到处找辅导材料。其实任何一份考试题都会有个别题目难度偏大，并不为怪，例如在1995年4月高数（一）的考题中的证明题五（25）就比较困难。例如 考题五（25）已知f(x)在0，1上连续，在（0，1）内可导，且f(0)=0，证明存在C(0，1)，使得本题明显和微分中值定理有关系，需要用微分中值定理证明，如果直接做，则有f(0)=0，但f(1)不知道，立即就出现问题和困难，习惯是引入一个新函数，对于大多数学员来说，如何引进新函数是比较困难的，在本题中，因为f(1)不知道，因此新函数中不应出现f(1)，因此，令F(x)=(1-x)f(x) F(x)在0，1上连续，且在(0 ，1)内有 由于F(1)=0，F(1)=0由罗尔中值定理，存在C(0，1)，使，即 随时总结知识，记忆积分表考生一定要对学过的知识进行总结，使知识系统化并掌握其中的要点。例如，学过不定积分的概念和计算方法以后，可以小结如下：（）不定积分的概念（）不定积分的性质（）基本积分表 特别情形： 特别情形： 由于不定积分难度较大，最好多记一些积分表大有好处。例如，根据公式（20）和（26）便有：根据公式（25）和（27）便有：根据公式（23）和（27）便有：（）换元积分公式（一）凑微分法常见情形有：此外，还需注意：（）换元积分法（二） 常见情形有：f（x）中含有时，令f（x）中含有时，令x=a sintf（x）中含有时，令x=a tantf（x）中含有时，令x=a sect均能达到有理化的目的。（）分部积分公式或 常见情形有：此外，需记住下列结果：打好基础练习，做拔高训练在基本练习题已经比较熟练的基础上，可以做一些下面的例题，以达到提高水平的目的。【例一】 计算（1）解： （2）解： 【例二】 计算（1）解： （2）解： 【例三】 计算解： 令 ，dx=2tdt【例四】 计算解： 【例五】 考题三（18）计算 解： 令x=2 sint dx=2 cost dt二、练习做题微积分（上）练习册第一章 函数习题1-1 函数1. 填空题：（1）的定义域 。（2）的定义域 。（3）的反函数 。（4）已知，则 。2. 设 ，求，并作出函数的图形。班级： 姓名： 学号：3. 指出下列函数的复合过程。（1）（2）（3）4. 设为定义在（-L,L）内的奇函数，若在（0，L）内单调增加，证明：在（-L,0）内也单调增加。微积分（上）练习册第一章 函数 5. 设 （1）求； （2）求，（写出最终的结果）班级： 姓名： 学号：6. 某运输公司规定货物的吨公里运价为：在a公里内，每公里k元；超过a公里，超过部分每公里k元，求运价m和里程s之间的函数关系，并作出此函数的图形。7. 某商店年销售某种产品800件，均匀销售，分批进货。若每批订货费为60元，每件每月库存费为0.2元，试列出库存费与进货费之和p与批量x之间的函数关系。微积分（上）练习册第一章 函数习题1-2 常用的经济函数 1. 某车间设计最大生产力为月生产100台机床，至少要完成40台方可保本，当生产x台时的总成本函数（百元），按市场规律，价格为（x为需求量），可以销售完，试写出月利润函数。 2. 某工厂生产某种产品年产量为x台，每台售价为250元，当年产量在600台内时，可全部售出，当年产量超过600台时，经广告宣传后又可再多出售200台，每台平均广告费为20元，生产再多，本年就售不出去了。试建立本年的销售收入R与年产量x的关系。班级： 姓名： 学号：3. 当某商品价格为P时，消费者对此商品的月需求量为D（P）= 12103-200P.（1）画出需求函数的图形； （2）将月销售额（即消费者购买此商品的支出）表达为价格P的函数。（3）画出月销售额的图形，并解释其经济意义。微积分（上）练习册第一章 函数4. 收音机每台售价为90元，成本为60元，厂商为鼓励销售商大量采购，决定凡是订购量超过100台以上的，每多订购100台售价就降低1元，但最低价为每台75元：（1）将每台的实际售价P表示为订购量X的函数；（2）将厂方所获的利润表示为订购量X的函数；（3）某一商行订购了1000台，厂方可获利润多少？班级： 姓名： 学号：5. 某饭店现有高级客户房60套，目前租金每天每套200元则基本客满，若提高租金，预计每租金提高10元均有一套房间会空出来，试问租金定为多少时，饭店租收入最大？收入多少元？这时饭店将空出多少套高级客房？微积分（上）练习册第二章 极限与连续习题2-1 极 限1. 填空：对任意给定的总存在使得当时，总有 2. 用极限的定义证明：班级： 姓名： 学号：3. 若，证明：，并举例说明反过来未必成立。4. 求在时的左右极限，并说明它在的极限是否存在。微积分（上）练习册第二章 极限与连续5. 证明：若，且，则存在，当时，恒有.6. 证明：的充要条件是班级： 姓名： 学号：7. 设，回答下列问题：（1）函数在处的右，左极限是否存在？（2）函数在处是否有极限？为什么？（3）函数在处是否有极限？为什么？微积分（上）练习册第二章 极限与连续习题2-2 无穷小，无穷大，极限运算法则 1. 填空题： （1）若，则a = ，b = .（2）若，则a = ，b = .（3）若，则a = ，b = .（4） .2. 根据定义证明：为当时的无穷大，问x应满足什么条件，能使？班级： 姓名： 学号：3. 计算下列极限.（1） （2）（3） （4）微积分（上）练习册第二章 极限与连续（5） （6）（7） （8）班级： 姓名： 学号：（9） （10）（11） （12）微积分（上）练习册第二章 极限与连续习题2-3 极限存在准则，两重要极限及无穷小比较1. 计算下列极限（1） （2）（3）（x为不等于0的常数） （4）班级： 姓名： 学号：2. 利用夹逼准则计算下列极限（1）（2），其中为取整函数（3）数列（1）证明：存在. （2）求微积分（上）练习册第二章 极限与连续4. 当时，无穷小和下列无穷小是否同阶？是否等价？（1） （2）5. 已知当时，与是等价无穷小，求a.6. 已知，求c.班级： 姓名： 学号：7. 利用等价无穷小的性质，求下列极限.（1） （2）（3） （4）微积分（上）练习册第二章 极限与连续习题2-4 函数的连续性1. 填空题（1）设，若补充 可使在处连续.（2）是的第 类间断点，且为 间断点.（3）函数是第 类间断点，且为 间断点.是第 类间断点，且为 间断点.是第 类间断点，且为 间断点.（4）是的第 类间断点，且为 间断点.（5）是的第 类间断点，且为 间断点.2. 指出函数的间断点，并判定其类型.班级： 姓名： 学号：3. 已知，（1）求函数的表达式.（2）讨论的连续性，若有间断点，判别其类型.4. 设，当a取何值时，在处连续.微积分（上）练习册第二章 极限与连续5. 求下列函数的极限.（1） （2）（3） （4）班级： 姓名： 学号：（5） （6）（7） （8）（9） （10）微积分（上）练习册第二章 极限与连续习题2-5 闭区间上连续函数的性质1. 试证下列方程在指定区间内至少有一实根.（1），在区间（1，2）；（2），在区间（0，2）.班级： 姓名： 学号：2. 设函数在区间0，2a上连续，且证明：在0，a上至少存在一点，使.3. 证明方程至少有一个小于1的正根.微积分（上）练习册第二章 极限与连续4. 若在（a，b）上连续，为（a，b）内的n个点，证明：在（a，b）内至少存在一点，使5. 设在a，b上连续，且无零点，则在a，b上的值不变号.（提示：用反证法）班级： 姓名： 学号：6. 若与都在a，b上连续，且，则至少存在一点，使.7. 若在（a，b）内连续，且证明：在（a，b）内有最小值.微积分（上）练习册第三章 导数、微分、边际与弹性习题3-1 导数的概念1. 填空题：（1）若，则 .（2）若存在，则下列的A取何值. . .（3）函数在处可导是在处连续的 条件.（4）曲线在处切线方程 ，法线方程 .2. 利用导数的定义求下列函数的导数.（1），求 （2）在处的导数.班级： 姓名： 学号：3. 设，其中在处连续，求.4. 讨论函数在处的连续性与可导性.微积分（上）练习册第三章 导数、微分、边际与弹性5. 已知在处可导，求a，b.6. 设，求导函数.班级： 姓名： 学号：7. 已知在处连续，且，求.8. 若，求.微积分（上）练习册第三章 导数、微分、边际与弹性习题3-2 导数的四则运算1. 求下列函数的导数（a、b、c为常数，x、t、为自变量）（1） （2）（3） （4）班级： 姓名： 学号：（5） （6）2. 求下列函数在给定点处的导数.（1），求（2），求微积分（上）练习册第三章 导数、微分、边际与弹性3. 设，求4. 求曲线的切线方程，使此切线平行于直线.班级： 姓名： 学号：5. 设某产品的需求函数，P为价格，Q为销售量.（1）求收益R（Q）对销售量Q的变化率.（2）问当销售量分别为15和20时，哪一点处收益变化得快？微积分（上）练习册第三章 导数、微分、边际与弹性习题3-3 复合函数的导数1. 求下列函数的导数（1） （2）（3） （4）（5） （6）班级： 姓名： 学号：（7） （8）（9） （10）2. 求下列函数的导数（1） （2）微积分（上）练习册第三章 导数、微分、边际与弹性（3） （4）（5） （6）3. 设可导，求.班级： 姓名： 学号：4. 设可导，求函数的导数.5. 设，试讨论在处的连续性.微积分（上）练习册第三章 导数、微分、边际与弹性习题3-4 高阶导数1. 填空题（1） .（2） .（3） .（4） （二阶可导）.（5） .（6） .2. 验证函数满足关系式.班级： 姓名： 学号：3. 求下列函数的n阶导数（1） （2）（3） （4）微积分（上）练习册第三章 导数、微分、边际与弹性4. ，求.5. 设二阶可导，求下列函数的二阶导数.（1） （2）班级： 姓名： 学号：（3）6. 已知，且二阶导数存在，求.微积分（上）练习册第三章 导数、微分、边际与弹性习题3-5 隐函数的导数由参数方程确定函数的导数1. 填空题（1）， .（2）， .（3）， .（4） .（5）， .（6），= .2. 求由下列方程所确定的隐函数y的二阶导数（1）班级： 姓名： 学号：（2）3. 用对数求导法求下列函数的导数（1）（2）微积分（上）练习册第三章 导数、微分、边际与弹性4. ，其中可导，且，求5. 设，其中存在且不为0，求.6. 设，求证：班级： 姓名： 学号：7. 已知，求及.8. 求曲线在处的切线方程.微积分（上）练习册第三章 导数、微分、边际与弹性习题3-6 函数的微分及应用1. 选择题（1）函数在处连续是在处可微的（ ）条件 A 充分 B 必要 C 充分必要 D 无关的（2）函数在处可导是在处可微的（ ）条件 A 充分 B 必要 C 充分必要 D 无关的（3）设为可微函数，则在点x处，当0时，是关于的（ ） A 同阶无穷小 B 低降无穷小 C 高阶无穷小 D 等价无穷小2. 填空题：将适当的函数填入下列括号内，使等式成立.（1）d（ ）= （2）d（ ）=（3）d（ ）= （4）d（ ）= （5）d（ ）= （6）d（ ）=（7）d（ ）= （8）d（ ）=（9）d（ ）= （10）d（ ）=（11）d（ ）= （12）d（ ）=（13）d（ ）= （14）d（ ）=3. 已知，计算处时， ，dy = .班级： 姓名： 学号：4. 若可微函数，则 .5. 利用一阶微分的形式不变性，求下列函数在指定点处的微分.（1）（2）微积分（上）练习册第三章 导数、微分、边际与弹性6. 求下列方程确定的隐函数y的微分dy.（1）（2）（3）班级： 姓名： 学号：7. 计算的近似值.8. 一个外直径为10的球，球壳厚度为，试求球壳体积的近似值.微积分（上）练习册第三章 导数、微分、边际与弹性习题3-7 边际与弹性1. 填空题（1）设某产品的产量为x千克时的总成本函数为（元），则产量为100千克时的总成本是 元；平均成本是 元/千克；边际成本是 元，这时的边际成本表明，当产量为100千克时，若再增产1千克，其成本将增加 .（2）设市场上白糖的需求函数为，则= ；又某商品的需求函数为，则= .（3）某商品的需求函数为，则其需求价格弹性为= ，当p = 3时的需求弹性为 ；其收入R关于价格p的函数为 ；收入对价格的弹性函数是= ； ；在p = 3时，若价格p上涨1%，其总收入的变化是 百分之 .2. 求下列函数的边际函数与弹性函数.（1） （2），a、b、c为常数.班级： 姓名： 学号：3. 某商品的价格P关于需求量Q的函数为，求（1）总收益函数，平均收益函数和边际收益函数.（2）当Q = 20个单位时的总收益，平均收益，边际收益.4. 设某商品的需求函数为，求（1）需求弹性函数（2）P = 3，5，6时的需求弹性，并说明其经济意义.微积分（上）练习册第三章 导数、微分、边际与弹性5. 某商品需求函数为（1）求需求弹性函数（2）求P = 6时的需求弹性（3）在P = 6时，若价格上涨1%，总收益增加还是减少？将变化百分之几？6. 设某商品的需求函数为Q = Q（P），收益函数为R = PQ，其中P为产品价格，Q为需求量（产量），Q（P）为单调减少函数，如果当价格为对应产量为时，边际收益，收益对价格的边际收益为，需求对价格的弹性为，求，.班级： 姓名： 学号：7.某商品的需求量Q为价格P的函数，求（1）当P = 6时的边际需求，并说明其经济意义（2）当P = 6时的需求弹性，并说明其经济意义（3）当P = 6时，若价格下降2%，总收益将变化百分之几？是增加还是减少？8. 某商品的需求弹性为，在P = 5时，若价格上涨1%，总收益是增加还是减少？变化百分之几？微积分（上）练习册第四章 中值定理及导数的应用习题4-1 中值定理1. 填空题：（1）在1，e上满足拉格朗日定理条件，则在（1，e）内存在一点 ，使.（2）若在0，1上连续，在（0，1）内可导，且，由拉格朗日定理，必存在点（0，1），使 .（3）设，在区间1，4上，适合拉格朗日中值定理的 , .（4）函数及在区间上满足柯西中值定理条件，即存在点，使 .（5），则方程，有 个实根，分别位于区间 内.（6）时， .班级： 姓名： 学号：2. 求证：若，则.3. 若函数在内有二阶导数，且，其中，证明：在内至少有一点，使.微积分（上）练习册第四章 中值定理及导数的应用4. 在1，2上连续，在（1，2）内可导，且，证明：存在点(1,2)，使.5证明：在区间（a，b）内（0a0, y0, 且xy）微积分（上）练习册第四章 中值定理及导数的应用5填表并描绘函数图形：函数定义域单调增区间单调减区间极值点极 值凹区间凸区间拐 点渐近线图形：班级： 姓名： 学号：6描绘下列函数的图形：（1）（2）微积分（上）练习册第四章 中值定理及导数的应用习题4-4 函数的最大值和最小值及其在经济中的应用1填空题：（1）最大值为 ，最小值为 .（2） 有最大值，x = 有最小值.（3） 有最 值.2求下列函数的最大值、最小值（1）， 班级： 姓名： 学号：（2）， x0微积分（上）练习册第四章 中值定理及导数的应用3求下列经济应用问题中的最大值或最小值.（1）某商品的需求量Q是单价P的函数，商品的成本C是需求量Q的函数，每单位商品需纳税2，试求使销售利润最大的商品价格和最大利润。（2）设价格函数为（x为产量），求量大收益时的产量、价格和收益.班级： 姓名： 学号：（3）设生产某商品的总成本为（x为产量），问产量为多少时，每件产品的平均成本最低？（4）某商品年销售量为100万件，分为N批购进，每批需要采购费用1000元，而每件商品的一年的库存费用为0.05元，如果销售是均匀的，且每批售完后立即购进下一批，问N为何值时，才能使采购费用与库存费用之和最小？微积分（上）练习册第四章 中值定理及导数的应用习题4-5 泰勒公式1填空题：（1）函数在时的三阶泰勒公式为： （2）函数的n阶麦克劳林公式为： = （3）函数的n阶麦克劳林公式为（余项用拉格朗日型表示）： = 2求函数当时的n阶泰勒公式.班级： 姓名： 学号：3，利用泰勒公式求4求函数的二阶麦克劳林公式.微积分（上）练习册第四章 中值定理及导数的应用习题4-6 第四章总习题1. 求下列极限：（1）（2）（3）班级： 姓名： 学号：2. 某商场一年内要分批购进某商品2400件，每件商品批发价为6元（购进），购进商品的贷款利率为每年10%，每批商品的采购费用为160元，问分几批购进才能使货款利息和采购费用两项开支之和最小？（不包含商品批发价）3. 某企业生产产品x件时的总成本为.总收益为，国家对每件产品征税k元，若企业按最大利润投产，问当k为何值时，才能使征税的总额最大？微积分（上）练习册第五章 不定积分习题5-1 不定积分的概念、性质1. 填空题：（1）若在某区间上，则叫做在该区间上的一个 ，的带有任意常数项的原函数称为在该区间上的 .（2）在积分曲线族中，过点（0，1）的曲线方程是 .（3）因为，所以是 的一个原函数.（4）设的一个原函数为，则 .（5）若曲线上点（x，y）的切线斜率与成正比例，并且通过点A（1,6）和B（2，9），则该曲线方程为 .（6） .2. 计算题：（1）班级： 姓名： 学号：（2）（3）（4）（5）微积分（上）练习册第五章 不定积分（6）（7）3一曲线过点（1，0）且在任一点处切线斜率为该点横坐标的倒数，求曲线方程.班级： 姓名： 学号：4设且f（0 = 1），求f（x）.5证明函数，都是的原函数.微积分（上）练习册第五章 不定积分习题5-2 换元积分法（一）1填空题：（1）xdx = （2） （3） （4）( )（5） （6） 2计算题：（1）班级： 姓名： 学号：（2）（3）（4）（5）微积分（上）练习册第五章 不定积分（6）（7）（8）（9）班级： 姓名： 学号：（10）（11）（12）（13）微积分（上）练习册第五章 不定积分习题5-2 换元积分法（二）1填空题：（1） （2） （3） （4） （5） （6） 2计算题：（1）班级： 姓名： 学号：（2）（3）（4）（5）微积分（上）练习册第五章 不定积分（6）（7）（8）（9）班级： 姓名： 学号：（10）（11）用指定的变换计算（） （）微积分（上）练习册第五章 不定积分习题5-3 分部积分法1. 求下列不定积分（1）（2）（3）（4）班级： 姓名： 学号：（5）（6）（7）（8）微积分（上）练习册第五章 不定积分习题5-4 有理函数的积分1. 求下列积分（1）（2）（3）班级： 姓名： 学号：（4）（5）（6）微积分（上）练习册第五章 不定积分习题5-5 不定积分总复习1. 计算：（1）（2），求f（x）（3）（4）班级： 姓名： 学号：（5）（6）（7）（8）微积分（上）练习册第五章 不定积分（9）
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