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一、考题重点内容分析重基础,全面学习无论是为了学好还是为在考试中取得理想成绩,都应当全面学习、全面复习。下面就(一)微积分的主要考试题目进行分析:【例一】 考题(一)(5)A B2 C3 D4分析:学员需要知道是奇函数,所以有:要求学员根据定积分的几何意义知道:是半径为R的上半圆的面积,所以有: 应选A。【例二】 考题(一)(3)A0 B1 Ce D不存在分析:首先,要求学员知道x0时,tanxx。要求学员掌握微积分基本定理:要求学员掌握第二个重要极限要求学员掌握罗必达法则 tanxx 选C。【例三】 考题(三)(18)计算分析:要求学员熟记积分表:要求学员熟记积分表: 【例四】 考题(三)(22)计算 分析:需要学员掌握三角函数的倍角公式: 需要学员熟记微分公式:需要学员掌握分部积分公式:需要学员熟记积分表: 主要内容反复练习高数(一)微积分无论从学习还是从考试的角度看,最主要也是最核心的内容是一元函数的微分学和积分学及其应用:一方面是这部分内容占考分的70%;另一方面是这一部分内容掌握好了,其他内容特别是多元微积分部分就迎刃而解了。【例五】 考题三(17),求分析:这是一道多次复合而成的函数的导数问题,只要关于复合函数的导数经过反复训练,经过多次复合函数导数公式便可容易得到结果,请看:【例六】 考题三(16)计算 分析:本题虽然是未定式型,但不宜用罗必达法则,但在教材的例题和作业中,经常利用公式变形后计算,所以有:【例七】 计算定积分分析:解法一: 需要学员熟记积分公式: 需要学员知道完全平方公式: 解法二:部分分式需要学员知道: 学员应熟记积分公式: 【例八】 考题三(21) 求dy分析:本题是只有一次复合而生成的函数,直接用复合函数导数公式即可【例九】 考题四(24)(a0),y=0,x=1所围图形绕x轴旋转一周所成的旋转体体积为,求a。解: (舍去)【例十】 考题三(23)D是x=1,y=2,y=x-1所围区域求 解:因为对y积分原函数不是初等函数,所以应先对x积分D:0y2,1x1+y =【例十一】 考题三(20)确定解:上面所列考题,都是教材和作业中常见的练习题和例题的类型题,只要考生在学习过程中反复练习,就不会感到生疏或困难。建议考生将教材中的练习做过一遍以后,过两周再重做一遍,考前再做一遍,通过考试就会有较大把握。如今社会上的辅导材料太多,有的并不完全符合考试要求,建议考生还应以教材为主,学习之余感到教材练习已做得很熟练后,再考虑看参考辅导材料。有个别考题,未见得在教材或习题中见过,不要因为试卷中有个别偏题,就盲目到处找辅导材料。其实任何一份考试题都会有个别题目难度偏大,并不为怪,例如在1995年4月高数(一)的考题中的证明题五(25)就比较困难。例如 考题五(25)已知f(x)在0,1上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=0,证明存在C(0,1),使得本题明显和微分中值定理有关系,需要用微分中值定理证明,如果直接做,则有f(0)=0,但f(1)不知道,立即就出现问题和困难,习惯是引入一个新函数,对于大多数学员来说,如何引进新函数是比较困难的,在本题中,因为f(1)不知道,因此新函数中不应出现f(1),因此,令F(x)=(1-x)f(x) F(x)在0,1上连续,且在(0 ,1)内有 由于F(1)=0,F(1)=0由罗尔中值定理,存在C(0,1),使,即 随时总结知识,记忆积分表考生一定要对学过的知识进行总结,使知识系统化并掌握其中的要点。例如,学过不定积分的概念和计算方法以后,可以小结如下:()不定积分的概念()不定积分的性质()基本积分表 特别情形: 特别情形: 由于不定积分难度较大,最好多记一些积分表大有好处。例如,根据公式(20)和(26)便有:根据公式(25)和(27)便有:根据公式(23)和(27)便有:()换元积分公式(一)凑微分法常见情形有:此外,还需注意:()换元积分法(二) 常见情形有:f(x)中含有时,令f(x)中含有时,令x=a sintf(x)中含有时,令x=a tantf(x)中含有时,令x=a sect均能达到有理化的目的。()分部积分公式或 常见情形有:此外,需记住下列结果:打好基础练习,做拔高训练在基本练习题已经比较熟练的基础上,可以做一些下面的例题,以达到提高水平的目的。【例一】 计算(1)解: (2)解: 【例二】 计算(1)解: (2)解: 【例三】 计算解: 令 ,dx=2tdt【例四】 计算解: 【例五】 考题三(18)计算 解: 令x=2 sint dx=2 cost dt二、练习做题微积分(上)练习册第一章 函数习题1-1 函数1. 填空题:(1)的定义域 。(2)的定义域 。(3)的反函数 。(4)已知,则 。2. 设 ,求,并作出函数的图形。班级: 姓名: 学号:3. 指出下列函数的复合过程。(1)(2)(3)4. 设为定义在(-L,L)内的奇函数,若在(0,L)内单调增加,证明:在(-L,0)内也单调增加。微积分(上)练习册第一章 函数 5. 设 (1)求; (2)求,(写出最终的结果)班级: 姓名: 学号:6. 某运输公司规定货物的吨公里运价为:在a公里内,每公里k元;超过a公里,超过部分每公里k元,求运价m和里程s之间的函数关系,并作出此函数的图形。7. 某商店年销售某种产品800件,均匀销售,分批进货。若每批订货费为60元,每件每月库存费为0.2元,试列出库存费与进货费之和p与批量x之间的函数关系。微积分(上)练习册第一章 函数习题1-2 常用的经济函数 1. 某车间设计最大生产力为月生产100台机床,至少要完成40台方可保本,当生产x台时的总成本函数(百元),按市场规律,价格为(x为需求量),可以销售完,试写出月利润函数。 2. 某工厂生产某种产品年产量为x台,每台售价为250元,当年产量在600台内时,可全部售出,当年产量超过600台时,经广告宣传后又可再多出售200台,每台平均广告费为20元,生产再多,本年就售不出去了。试建立本年的销售收入R与年产量x的关系。班级: 姓名: 学号:3. 当某商品价格为P时,消费者对此商品的月需求量为D(P)= 12103-200P.(1)画出需求函数的图形; (2)将月销售额(即消费者购买此商品的支出)表达为价格P的函数。(3)画出月销售额的图形,并解释其经济意义。微积分(上)练习册第一章 函数4. 收音机每台售价为90元,成本为60元,厂商为鼓励销售商大量采购,决定凡是订购量超过100台以上的,每多订购100台售价就降低1元,但最低价为每台75元:(1)将每台的实际售价P表示为订购量X的函数;(2)将厂方所获的利润表示为订购量X的函数;(3)某一商行订购了1000台,厂方可获利润多少?班级: 姓名: 学号:5. 某饭店现有高级客户房60套,目前租金每天每套200元则基本客满,若提高租金,预计每租金提高10元均有一套房间会空出来,试问租金定为多少时,饭店租收入最大?收入多少元?这时饭店将空出多少套高级客房?微积分(上)练习册第二章 极限与连续习题2-1 极 限1. 填空:对任意给定的总存在使得当时,总有 2. 用极限的定义证明:班级: 姓名: 学号:3. 若,证明:,并举例说明反过来未必成立。4. 求在时的左右极限,并说明它在的极限是否存在。微积分(上)练习册第二章 极限与连续5. 证明:若,且,则存在,当时,恒有.6. 证明:的充要条件是班级: 姓名: 学号:7. 设,回答下列问题:(1)函数在处的右,左极限是否存在?(2)函数在处是否有极限?为什么?(3)函数在处是否有极限?为什么?微积分(上)练习册第二章 极限与连续习题2-2 无穷小,无穷大,极限运算法则 1. 填空题: (1)若,则a = ,b = .(2)若,则a = ,b = .(3)若,则a = ,b = .(4) .2. 根据定义证明:为当时的无穷大,问x应满足什么条件,能使?班级: 姓名: 学号:3. 计算下列极限.(1) (2)(3) (4)微积分(上)练习册第二章 极限与连续(5) (6)(7) (8)班级: 姓名: 学号:(9) (10)(11) (12)微积分(上)练习册第二章 极限与连续习题2-3 极限存在准则,两重要极限及无穷小比较1. 计算下列极限(1) (2)(3)(x为不等于0的常数) (4)班级: 姓名: 学号:2. 利用夹逼准则计算下列极限(1)(2),其中为取整函数(3)数列(1)证明:存在. (2)求微积分(上)练习册第二章 极限与连续4. 当时,无穷小和下列无穷小是否同阶?是否等价?(1) (2)5. 已知当时,与是等价无穷小,求a.6. 已知,求c.班级: 姓名: 学号:7. 利用等价无穷小的性质,求下列极限.(1) (2)(3) (4)微积分(上)练习册第二章 极限与连续习题2-4 函数的连续性1. 填空题(1)设,若补充 可使在处连续.(2)是的第 类间断点,且为 间断点.(3)函数是第 类间断点,且为 间断点.是第 类间断点,且为 间断点.是第 类间断点,且为 间断点.(4)是的第 类间断点,且为 间断点.(5)是的第 类间断点,且为 间断点.2. 指出函数的间断点,并判定其类型.班级: 姓名: 学号:3. 已知,(1)求函数的表达式.(2)讨论的连续性,若有间断点,判别其类型.4. 设,当a取何值时,在处连续.微积分(上)练习册第二章 极限与连续5. 求下列函数的极限.(1) (2)(3) (4)班级: 姓名: 学号:(5) (6)(7) (8)(9) (10)微积分(上)练习册第二章 极限与连续习题2-5 闭区间上连续函数的性质1. 试证下列方程在指定区间内至少有一实根.(1),在区间(1,2);(2),在区间(0,2).班级: 姓名: 学号:2. 设函数在区间0,2a上连续,且证明:在0,a上至少存在一点,使.3. 证明方程至少有一个小于1的正根.微积分(上)练习册第二章 极限与连续4. 若在(a,b)上连续,为(a,b)内的n个点,证明:在(a,b)内至少存在一点,使5. 设在a,b上连续,且无零点,则在a,b上的值不变号.(提示:用反证法)班级: 姓名: 学号:6. 若与都在a,b上连续,且,则至少存在一点,使.7. 若在(a,b)内连续,且证明:在(a,b)内有最小值.微积分(上)练习册第三章 导数、微分、边际与弹性习题3-1 导数的概念1. 填空题:(1)若,则 .(2)若存在,则下列的A取何值. . .(3)函数在处可导是在处连续的 条件.(4)曲线在处切线方程 ,法线方程 .2. 利用导数的定义求下列函数的导数.(1),求 (2)在处的导数.班级: 姓名: 学号:3. 设,其中在处连续,求.4. 讨论函数在处的连续性与可导性.微积分(上)练习册第三章 导数、微分、边际与弹性5. 已知在处可导,求a,b.6. 设,求导函数.班级: 姓名: 学号:7. 已知在处连续,且,求.8. 若,求.微积分(上)练习册第三章 导数、微分、边际与弹性习题3-2 导数的四则运算1. 求下列函数的导数(a、b、c为常数,x、t、为自变量)(1) (2)(3) (4)班级: 姓名: 学号:(5) (6)2. 求下列函数在给定点处的导数.(1),求(2),求微积分(上)练习册第三章 导数、微分、边际与弹性3. 设,求4. 求曲线的切线方程,使此切线平行于直线.班级: 姓名: 学号:5. 设某产品的需求函数,P为价格,Q为销售量.(1)求收益R(Q)对销售量Q的变化率.(2)问当销售量分别为15和20时,哪一点处收益变化得快?微积分(上)练习册第三章 导数、微分、边际与弹性习题3-3 复合函数的导数1. 求下列函数的导数(1) (2)(3) (4)(5) (6)班级: 姓名: 学号:(7) (8)(9) (10)2. 求下列函数的导数(1) (2)微积分(上)练习册第三章 导数、微分、边际与弹性(3) (4)(5) (6)3. 设可导,求.班级: 姓名: 学号:4. 设可导,求函数的导数.5. 设,试讨论在处的连续性.微积分(上)练习册第三章 导数、微分、边际与弹性习题3-4 高阶导数1. 填空题(1) .(2) .(3) .(4) (二阶可导).(5) .(6) .2. 验证函数满足关系式.班级: 姓名: 学号:3. 求下列函数的n阶导数(1) (2)(3) (4)微积分(上)练习册第三章 导数、微分、边际与弹性4. ,求.5. 设二阶可导,求下列函数的二阶导数.(1) (2)班级: 姓名: 学号:(3)6. 已知,且二阶导数存在,求.微积分(上)练习册第三章 导数、微分、边际与弹性习题3-5 隐函数的导数由参数方程确定函数的导数1. 填空题(1), .(2), .(3), .(4) .(5), .(6),= .2. 求由下列方程所确定的隐函数y的二阶导数(1)班级: 姓名: 学号:(2)3. 用对数求导法求下列函数的导数(1)(2)微积分(上)练习册第三章 导数、微分、边际与弹性4. ,其中可导,且,求5. 设,其中存在且不为0,求.6. 设,求证:班级: 姓名: 学号:7. 已知,求及.8. 求曲线在处的切线方程.微积分(上)练习册第三章 导数、微分、边际与弹性习题3-6 函数的微分及应用1. 选择题(1)函数在处连续是在处可微的( )条件 A 充分 B 必要 C 充分必要 D 无关的(2)函数在处可导是在处可微的( )条件 A 充分 B 必要 C 充分必要 D 无关的(3)设为可微函数,则在点x处,当0时,是关于的( ) A 同阶无穷小 B 低降无穷小 C 高阶无穷小 D 等价无穷小2. 填空题:将适当的函数填入下列括号内,使等式成立.(1)d( )= (2)d( )=(3)d( )= (4)d( )= (5)d( )= (6)d( )=(7)d( )= (8)d( )=(9)d( )= (10)d( )=(11)d( )= (12)d( )=(13)d( )= (14)d( )=3. 已知,计算处时, ,dy = .班级: 姓名: 学号:4. 若可微函数,则 .5. 利用一阶微分的形式不变性,求下列函数在指定点处的微分.(1)(2)微积分(上)练习册第三章 导数、微分、边际与弹性6. 求下列方程确定的隐函数y的微分dy.(1)(2)(3)班级: 姓名: 学号:7. 计算的近似值.8. 一个外直径为10的球,球壳厚度为,试求球壳体积的近似值.微积分(上)练习册第三章 导数、微分、边际与弹性习题3-7 边际与弹性1. 填空题(1)设某产品的产量为x千克时的总成本函数为(元),则产量为100千克时的总成本是 元;平均成本是 元/千克;边际成本是 元,这时的边际成本表明,当产量为100千克时,若再增产1千克,其成本将增加 .(2)设市场上白糖的需求函数为,则= ;又某商品的需求函数为,则= .(3)某商品的需求函数为,则其需求价格弹性为= ,当p = 3时的需求弹性为 ;其收入R关于价格p的函数为 ;收入对价格的弹性函数是= ; ;在p = 3时,若价格p上涨1%,其总收入的变化是 百分之 .2. 求下列函数的边际函数与弹性函数.(1) (2),a、b、c为常数.班级: 姓名: 学号:3. 某商品的价格P关于需求量Q的函数为,求(1)总收益函数,平均收益函数和边际收益函数.(2)当Q = 20个单位时的总收益,平均收益,边际收益.4. 设某商品的需求函数为,求(1)需求弹性函数(2)P = 3,5,6时的需求弹性,并说明其经济意义.微积分(上)练习册第三章 导数、微分、边际与弹性5. 某商品需求函数为(1)求需求弹性函数(2)求P = 6时的需求弹性(3)在P = 6时,若价格上涨1%,总收益增加还是减少?将变化百分之几?6. 设某商品的需求函数为Q = Q(P),收益函数为R = PQ,其中P为产品价格,Q为需求量(产量),Q(P)为单调减少函数,如果当价格为对应产量为时,边际收益,收益对价格的边际收益为,需求对价格的弹性为,求,.班级: 姓名: 学号:7.某商品的需求量Q为价格P的函数,求(1)当P = 6时的边际需求,并说明其经济意义(2)当P = 6时的需求弹性,并说明其经济意义(3)当P = 6时,若价格下降2%,总收益将变化百分之几?是增加还是减少?8. 某商品的需求弹性为,在P = 5时,若价格上涨1%,总收益是增加还是减少?变化百分之几?微积分(上)练习册第四章 中值定理及导数的应用习题4-1 中值定理1. 填空题:(1)在1,e上满足拉格朗日定理条件,则在(1,e)内存在一点 ,使.(2)若在0,1上连续,在(0,1)内可导,且,由拉格朗日定理,必存在点(0,1),使 .(3)设,在区间1,4上,适合拉格朗日中值定理的 , .(4)函数及在区间上满足柯西中值定理条件,即存在点,使 .(5),则方程,有 个实根,分别位于区间 内.(6)时, .班级: 姓名: 学号:2. 求证:若,则.3. 若函数在内有二阶导数,且,其中,证明:在内至少有一点,使.微积分(上)练习册第四章 中值定理及导数的应用4. 在1,2上连续,在(1,2)内可导,且,证明:存在点(1,2),使.5证明:在区间(a,b)内(0a0, y0, 且xy)微积分(上)练习册第四章 中值定理及导数的应用5填表并描绘函数图形:函数定义域单调增区间单调减区间极值点极 值凹区间凸区间拐 点渐近线图形:班级: 姓名: 学号:6描绘下列函数的图形:(1)(2)微积分(上)练习册第四章 中值定理及导数的应用习题4-4 函数的最大值和最小值及其在经济中的应用1填空题:(1)最大值为 ,最小值为 .(2) 有最大值,x = 有最小值.(3) 有最 值.2求下列函数的最大值、最小值(1), 班级: 姓名: 学号:(2), x0微积分(上)练习册第四章 中值定理及导数的应用3求下列经济应用问题中的最大值或最小值.(1)某商品的需求量Q是单价P的函数,商品的成本C是需求量Q的函数,每单位商品需纳税2,试求使销售利润最大的商品价格和最大利润。(2)设价格函数为(x为产量),求量大收益时的产量、价格和收益.班级: 姓名: 学号:(3)设生产某商品的总成本为(x为产量),问产量为多少时,每件产品的平均成本最低?(4)某商品年销售量为100万件,分为N批购进,每批需要采购费用1000元,而每件商品的一年的库存费用为0.05元,如果销售是均匀的,且每批售完后立即购进下一批,问N为何值时,才能使采购费用与库存费用之和最小?微积分(上)练习册第四章 中值定理及导数的应用习题4-5 泰勒公式1填空题:(1)函数在时的三阶泰勒公式为: (2)函数的n阶麦克劳林公式为: = (3)函数的n阶麦克劳林公式为(余项用拉格朗日型表示): = 2求函数当时的n阶泰勒公式.班级: 姓名: 学号:3,利用泰勒公式求4求函数的二阶麦克劳林公式.微积分(上)练习册第四章 中值定理及导数的应用习题4-6 第四章总习题1. 求下列极限:(1)(2)(3)班级: 姓名: 学号:2. 某商场一年内要分批购进某商品2400件,每件商品批发价为6元(购进),购进商品的贷款利率为每年10%,每批商品的采购费用为160元,问分几批购进才能使货款利息和采购费用两项开支之和最小?(不包含商品批发价)3. 某企业生产产品x件时的总成本为.总收益为,国家对每件产品征税k元,若企业按最大利润投产,问当k为何值时,才能使征税的总额最大?微积分(上)练习册第五章 不定积分习题5-1 不定积分的概念、性质1. 填空题:(1)若在某区间上,则叫做在该区间上的一个 ,的带有任意常数项的原函数称为在该区间上的 .(2)在积分曲线族中,过点(0,1)的曲线方程是 .(3)因为,所以是 的一个原函数.(4)设的一个原函数为,则 .(5)若曲线上点(x,y)的切线斜率与成正比例,并且通过点A(1,6)和B(2,9),则该曲线方程为 .(6) .2. 计算题:(1)班级: 姓名: 学号:(2)(3)(4)(5)微积分(上)练习册第五章 不定积分(6)(7)3一曲线过点(1,0)且在任一点处切线斜率为该点横坐标的倒数,求曲线方程.班级: 姓名: 学号:4设且f(0 = 1),求f(x).5证明函数,都是的原函数.微积分(上)练习册第五章 不定积分习题5-2 换元积分法(一)1填空题:(1)xdx = (2) (3) (4)( )(5) (6) 2计算题:(1)班级: 姓名: 学号:(2)(3)(4)(5)微积分(上)练习册第五章 不定积分(6)(7)(8)(9)班级: 姓名: 学号:(10)(11)(12)(13)微积分(上)练习册第五章 不定积分习题5-2 换元积分法(二)1填空题:(1) (2) (3) (4) (5) (6) 2计算题:(1)班级: 姓名: 学号:(2)(3)(4)(5)微积分(上)练习册第五章 不定积分(6)(7)(8)(9)班级: 姓名: 学号:(10)(11)用指定的变换计算() ()微积分(上)练习册第五章 不定积分习题5-3 分部积分法1. 求下列不定积分(1)(2)(3)(4)班级: 姓名: 学号:(5)(6)(7)(8)微积分(上)练习册第五章 不定积分习题5-4 有理函数的积分1. 求下列积分(1)(2)(3)班级: 姓名: 学号:(4)(5)(6)微积分(上)练习册第五章 不定积分习题5-5 不定积分总复习1. 计算:(1)(2),求f(x)(3)(4)班级: 姓名: 学号:(5)(6)(7)(8)微积分(上)练习册第五章 不定积分(9)
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