微分例题讲解

二、微分运算法则二、微分运算法则三、微分在近似计算中的应用三、微分在近似计算中的应用四、微分在估计误差中的应用四、微分在估计误差中的应用第五节一、微分的概念一、微分的概念 机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数的微分 第二章 一、微分的概念一、微分的概念 引例引例:一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少?设薄片边长为 x,面积为 A,则,2xA 0 xx面积的增量为220)(xxxA20)(2xxxxx 020 xA xx 02)(x关于x 的线性主部高阶无穷小0 x时为故xxA02称为函数在 的微分0 x当 x 在0 x取得增量x时,0 x变到,0 xx边长由其机动 目录 上页 下页 返回 结束 的微分微分,定义定义:若函数)(xfy 在点 的增量可表示为0 x)()(00 xfxxfy(A 为不依赖于x 的常数)则称函数)(xfy 而 称为xA在)(xf0 x点记作yd,df或即xAyd定理定理:函数)(xfy 在点 可微的充要条件充要条件是0 x处可导，在点0)(xxfy,)(0 xfA且)(xoxA即xxfy)(d0在点0 x可微可微,机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理:函数证证:“必要性必要性”已知)(xfy 在点 可微,0 x则)()(00 xfxxfy)(limlim00 xxoAxyxxA故Axf)(0)(xoxA)(xfy 在点 的可导,0 x且)(xfy 在点 可微的充要条件充要条件是0 x)(xfy 在点 处可导,0 x且,)(0 xfA即xxfy)(d0机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理:函数)(xfy 在点 可微的充要条件充要条件是0 x)(xfy 在点 处可导,0 x且,)(0 xfA即xxfy)(d0“充分性充分性”已知)(lim00 xfxyx)(xfy)(0 xfxy)0lim(0 xxxxfy)(0故)()(0 xoxxf 线性主部 即xxfy)(d0在点 的可导,0 x)0)(0时 xf则机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:0)(0 xf时,xxfy)(d0)()(0 xoxxfyyyxdlim0 xxfyx)(lim00 xyxfx00lim)(11所以0 x时yyd很小时,有近似公式xyyd与是等价无穷小,当故当机动 目录 上页 下页 返回 结束 微分的几何意义xxfy)(d0 xx0 xyo)(xfy 0 xyydxtan当 很小时,xyyd时，当xy 则有xxfyd)(d从而)(ddxfxy导数也叫作微商切线纵坐标的增量自变量的微分自变量的微分,为称 x记作xdxyxd记机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如例如,3xy yd02.0d2xx23xxd02.0d2xx24.0,arctanxy ydxxd112基本初等函数的微分公式(见 P115表)又如又如,机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、二、微分运算法则微分运算法则设 u(x),v(x)均可微,则)(d.1vu)(d.2uC(C 为常数)(d.3vu)0()(d.4vvu分别可微,)(,)(xuufy)(xfy的微分为xyyxddxxufd)()(uduufyd)(d微分形式不变微分形式不变5.复合函数的微分则复合函数vudd uCdvuuvdd 2ddvvuuv机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.,)1(ln2xey求.dy解解:211dxey)1(d2xe211xe)(d2xxxeexxd21122xeexxxd12222xe机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.设,0)cos(sinyxxy求.dy解解:利用一阶微分形式不变性,有0)d(cos()sin(dyxxyxxyyxdcosdsin)sin(yx0)d(d yxxyd d)sin(cosyxxyxyxsin)sin(例例3.在下列括号中填入适当的函数使等式成立:xxd)d()1(tt dcos)d()2(221xtsin1说明说明:上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.CC注意 目录 上页 下页 返回 结束 注意:数学中的反问题往往出现多值性.)(22 44)(22)(4sin22)sin(k2224数学中的反问题往往出现多值性,例如注意 目录 上页 下页 返回 结束 三、三、微分在近似计算中的应用微分在近似计算中的应用)()(0 xoxxfy当x很小时,)()(00 xfxxfyxxf)(0 xxfxfxxf)()()(000 xxx0令使用原则使用原则:;)(,)()100好算xfxf.)20靠近与xx)()()(000 xxxfxfxf得近似等式:机动 目录 上页 下页 返回 结束 特别当xx,00很小时,xffxf)0()0()(常用近似公式常用近似公式:x1)1()1(x很小)x(xxxx1xsin)2(xe)3(xtan)4()1ln()5(x证明证明:令)1()(xxf得,1)0(f)0(f,很小时当 xxx1)1(机动 目录 上页 下页 返回 结束 180dx29sin的近似值.解解:设,sin)(xxf取300 x,629x则1802918029sin6sin6cos2123)0175.0(485.0)180(例例4.求29sin机动 目录 上页 下页 返回 结束 4848.029sin5245的近似值.解解:24335524551)2243(51)24321(33)2432511(0048.3例例5.计算xx1)1(机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6.有一批半径为1cm 的球,为了提高球面的光洁度,解解:已知球体体积为334RV镀铜体积为 V 在01.0,1RR时体积的增量,VVVd01.01RRRR 2401.01RR)(cm13.03因此每只球需用铜约为16.113.09.8(g)用铜多少克.)cmg9.8:(3铜的密度估计一下,每只球需要镀上一层铜,厚度定为 0.01cm,机动 目录 上页 下页 返回 结束 四、四、微分在估计误差中的应用微分在估计误差中的应用某量的精确值为 A,其近似值为 a,aA称为a 的绝对误差绝对误差aaA称为a 的相对误差相对误差若AaAA称为测量 A 的绝对误差限绝对误差限aA称为测量 A 的相对误差限相对误差限机动 目录 上页 下页 返回 结束 误差传递公式误差传递公式:已知测量误差限为,x按公式)(xfy 计算 y 值时的误差yydxxf)(xxf)(故 y 的绝对误差限约为xyxf)(相对误差限约为xyxfxfy)()(若直接测量某量得 x,机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7.设测得圆钢截面的直径 mm,0.60D测量D 的 绝对误差限,mm05.0D欲利用公式24DA圆钢截面积,解解:计算 A 的绝对误差限约为DAADD205.00.602715.4 A 的相对误差限约为242DDADADD20.6005.02%17.0试估计面积的误差.计算机动 目录 上页 下页 返回 结束(mm)内容小结内容小结1.微分概念 微分的定义及几何意义 可导可微2.微分运算法则微分形式不变性:uufufd)()(d(u 是自变量或中间变量)3.微分的应用近似计算估计误差机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1.设函数)(xfy 的图形如下,试在图中标出的点0 x处的yy,d及,dyy 并说明其正负.yd0 xx00 xxyoy00yyd机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.xxeed )d(arctanxe211xd xxee21xxsindtand.3x3secxxd2sin)(d.4Cx2cos21机动 目录 上页 下页 返回 结束 5.设)(xyy 由方程063sin33yxyx确定,.d0 xy解解:方程两边求微分,得xx d32当0 x时,0y由上式得xyxd21d0求yy d32xxd3cos30d6y6.设,0a且,nab 则nnba1nanba机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业P122 1;3(4),(7),(8),(9),(10);4;5;8(1);9(2);12习题课 目录 上页 下页 返回 结束 1.已知,)1sinarcsin(2xy 求.d y解解：因为 y所以yd备用题备用题22)1(sin11xx1sin2x1cos)1(2xxy dxxxxd2sin)1(sin11222机动 目录 上页 下页 返回 结束 方程两边求微分,得已知,yxexy求.d y解解：xyyxddyd2.)d(dyxeyxxexeyyxyxd习题课 目录 上页 下页 返回 结束