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_第一章 有理数1.1 正数和负数知识点一：正数和负数的概念正数就是我们在小学学习的除0外的所有的数，负数就是在正数前面加上一个“”号的数。说明：1、0既不是正数，也不是负数，它是正数与负数的分界。 2、正数有时也可以在前面加“”（正）号，有时“”（正）号省略不写。【例】下列各数中哪些是正数？哪些是负数？-2，0.5，+，0，-3.14，160，-.知识点二：用正负数可以表示具有相反意义的量 相反意义的量的正负性是相对的，且是可以互换的。【例】如果向北走85米记作+85米，那么向南走70米记作 。知识规律小结：1、区分正负数要根据正负数的概念，也可以根据符号区别，如果一个数的符号为“-”，则该数为负数；如果一个数的符号为“+”或没有符号，则该数为正数。2、0既不是正数，也不是负数。3、非正数：负数和零。4、非负数：正数和零。拓展：向东走-6米实际上就是向 走 米。易错：零的意义是什么？（零是正数与负数的分界，不仅仅表示没有，也表示实际意义。如收支0元，表示收入与支出平衡。1.2 有理数第一课时 有理数 数轴知识点一：有理数的有关概念整数和分数统称有理数。正整数、零、负整数统称整数。正分数、负分数统称分数。说明：1、有时可以把整数看作分母是1的分数。2、因为有限小数、无限循环小数都可以化为分数，所以有限小数、无限循环小数都是有理数。3、因为圆周率是无限不循环小数，不能化成分数，所以圆周率不是有理数。4、引入负数后，数的范围扩大到了有理数，所以在整数和分数中不要忘记都有负数。5、奇数和偶数也扩展到了负数。知识点二：有理数的分类按整数、分数分类： 按正负性分类： 说明：1、正整数和零，即自然数，称为非负整数，负整数和零称为非正整数。 2、前者是按除法的性质分类，后者是按减法的性质分类。知识点三：数集的概念把一些数放在一起，就组成了一个数的集合，简称数集。说明：1、数集可以用大括号表示，也可以用圆圈表示。2、一个数集内不能有两个一样的数。3、一个数集内有无限多时，要用“”号。4、所有有理数组成的数集叫有理数集；所有整数组成的数集叫整数集；所有正数组成的数集叫正数集；所有正整数和零组成的数集叫自然数集，也叫非负整数集。【例1】把-，6，-6.5，0，-，-7.210，0.0，-43，-5%填入相应的数集内。正数集正整数集非负数集负分数集ACB【例2】在有理数中，是整数而不是正数的数是 ，是负数而不是分数的数是 。拓展：有A=3，2，0，4、B=5，6，-5，0，2、C=-5，0，4，-2三个数集，请把这些数填入对应的三个圆圈内。知识点四：数轴的概念规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。如图：说明：1、数轴是一条直线，可以向两方无限延伸，画出的部分两边不要描点，以免画成射线或线段。2、原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，一般取右为正方向，箭头画在最右端。知识点五：数轴的画法。1、画一条水平的直线。2、在直线上适当选取一点为原点。3、确定向右为正方向，用箭头表示出来。4、根据需要选取适当长度为单位长度，从原点向右、向左每隔一个单位长度取一点，依次标数。说明：三要素缺一不可，数轴是一条直线，不要画成射线或线段，单位长度一定要一致。知识点六：数轴上的点与有理数之间的关系。1、所有的有理数都可以在数轴上的点来表示，但数轴上的点并不都表示有理数。如可以在数轴上表示，但不是有理数。2、正数可以用原点右边的点表示，反过来原点右边的点表示正数；负数可以用原点左边的点表示，反过来原点左边的点表示负数；0可以用原点表示，反过来原点表示0。3、零是正数和负数的分界点。【例1】在数轴上画出表示下列各数的点4，-3，-1.5，0，0.5【例2】如图，比较a，-a，b，-b，0的大小，并用“”连接。拓展：已知a为整数，且-1a3，则a= 。1.2 有理数第二课时 相反数知识点一：相反数的概念相反数的代数意义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。零的相反数是零本身。相反数的几何意义：在数轴上，位于原点两旁并且到原点距离相等的两个点所表示的两个数互为相反数。说明：1、相反数总是成对出现的，只能两个数互为相反数，对一个数而言是谈不上互为相反数的。2、只有是指除符号不同外，其他完全相同。3、-a与a互为相反数，a的相反数是-a，-a的相反数是a。【例】分别写出下列各数的相反数。-3，2，4.5，0，知识点二：多重符号的化简方法一个数前面是正号，可以把正号去掉；一个正数前面有偶数个负号，可以把负号一起去掉；一个正数前面有奇数个负号，则化简负号只剩一个负号。 【例】化简下列各数 -（-5） -（+2） -（-6） +-（-5）1.2 有理数第三课时 绝对值知识点一：绝对值几何意义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。代数意义：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。 绝对值等于它本身的是正数与零，易漏掉零；绝对值等于它的相反数的数的负数与零，易漏掉零。说明：1、0既可以看作0本身，也可以看作是它的相反数。 2、数a的绝对值 3、无论是绝对值的几何意义，还是绝对值的代数意义，都揭示了一个绝对值的重要意义非负性，即|a|0，也就是绝对值的最小值是0。【例1】求下列各数的绝对值（略）【例2】化简： 知识点二：有理数大小的比较比较有理数的大小的方法有两种：1、利用数轴直观比较有理数的大小：数轴上右边的数总比左边的数大。2、利用绝对值的知识比较有理数的大小：正数大于0，负数小于0，正数大于负数。两个负数，绝对值大的反而小。说明：在数轴上比较有理数大小比较直观，一目了然，但比较麻烦；而绝对值比较有理数大小比较方便，一般都采用。【例3】比较大小： 综合应用：1、已知X是整数，且3X5，则X= 。 2、已知|m2|n3|=0,求m、n的值。 3、化简：|X3| |X2|X5| 4、数a,b,c在数轴上的位置如图，化简1.3 有理数的加减法第一课时 有理数的加法知识点一：有理数的加法法则法则1、同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。法则2、绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两数相加得0。法则3、一个数同0相加，仍得这个数。说明：1、一个有理数由符号和绝对值两部分组成，法则1、2就是分别确定了和的符号和绝对值。2、互为相反数的两数相加得0，反之，如果两数的和为0，那么这两个数互为相反数。3、加法法则的第一步是确定和的符号，第二步是确定和的绝对值。 进行有理数的加法运算时，首先要确定用哪一条法则。【例1】知识点二：有理数加法的运算律1、交换律：有理数加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变。2、结合律：有理数加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。说明：1、符号相同的或分母相同的先相加。2、相加得0的或相加得整数的先相加。 运算符号和性质符号要分开，如3（-4）中前一个“”是运算符号，后一个“-”是性质符号。【例2】【例3】1.3 有理数的加减法第二课时 有理数的减法知识点一：有理数减法法则减去一个数，等于加上这个数的相反数。即ab=a(-b)说明：在有理数减法中，利用相反数，减法可转化成加法。【例1】知识点一：有理数的加减混合运算的步骤、1、把有理数的减法运算统一成加法运算。2、根据需要写成省略加号和括号的代数和的形式。3、灵活运用有理数加法法则和加法运算律进行正确的、简便的计算。说明：1、统一加法后，括号和加号可以省略。 2、也可以利用符号化简直接简写。 3、读法：20753读作“负20、正7、正5、负3”，或“负20加7加5减3”【例2】【例3】3579118综合应用：1、123456 991002、（-78）（-77）（-76）（-75） （+99）（+100）3、对于整数a、b、c、d，符号，已知13，则bd的值是 。1.4 有理数的乘除法第一课时 有理数的乘法知识点一：有理数的乘法法则法则1、两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。法则2、任何数同零相乘都得零。法则3、几个不是零的数相乘，负因数的个数是偶数个时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数。法则4、几个数相乘，如果其中有因数为0，则积等于0。说明：1、有理数乘法，要先根据负因数的个数确定符号，再把绝对值相乘。 2、在运算中要把小数化为分数，带分数化成假分数，便于约分。【例1】 （-2）（-5） 【例2】 1.2（）（-2.5）（）知识点二：有理数的运算律乘法交换律、结合律、乘法分配律仍适用于有理数乘法。【例3】（-25）39（-4） -17 （-36） 知识点三：项、项的系数、合并含有相同字母的项项：在含有字母的和的形式中，每个加数就是一项。项的系数：在字母与数字的乘积中，数字因数就是项的系数。合并含有相同字母的项的法则：只需将它们的系数相加，作为结果的系数，再乘以字母因式，即ax+bx=(a+b)x，其中x为字母因数，a,b分别为ax,bx的系数。 合并含有相同字母的项时要找准项民以及项的系数，千万别漏掉项的符号，不同字母的项不能合并。【例4】 5x2x 综合应用：1、若ab0,-b0,且|a|b|,则ab 0.(填上“”“”或“=”)2、已知a,b,c为三个不等于0的数，且满足abc0,abc0，求的值.3、已知a,b,c为三个均不等于0的有理数，化简。4、计算： 列项公式： （a,b为自然数） （a,b为自然数,且ab）1.4 有理数的乘除法第二课时 有理数的除法知识点一：倒数的概念乘积是1的两个数互为倒数。当a0时，a与互为倒数；当m0,n0时,与互为倒数。说明：1、由倒数的意义可知，正数的倒数仍为正数，负数的倒数仍为负数。 2、在小学我们知道，1的倒数等于1，比1大的倒数比本身小，比1小的倒数比本身大。数的范围扩大到了有理数，有：-1的倒数等于-1，0-1之间的数的倒数比本身小，小于-1的数倒数比本身大。如图：【例1】求下列各数的倒数-4 0.125 知识点二：有理数除法的法则法则1：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。法则2：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。说明：当两个数不能整除时，用法则1比较方便；当两个数能整除时，用法则2比较方便。分数可以理解为分子除以分母。【例2】 （） 36（-4） 【例3】 【例4】观察下列算式：1！=1 2！=21 3！=321 4！=4321 计算：= .1.5 有理数的乘方第一课时 乘方 知识点一：乘方的意义定义：求n个相同因数的积的运算叫做乘方。 ,读作a的n次方。乘方的结果叫做幂，即an叫做幂，也读作“a的n次幂”。a叫做底数，n叫做指数。说明：1、一个数可以看作是自身的一次方。通常指数1省略不写。 2、指数是2时读作平方，指数是3时读作立方。 当底数是负数或分数时，底数要用括号，以免造成误解。【例1】把下列各算式写成乘方的形式，并指出底数、指数各是多少？ （-5）（-5）（-5）（-5） 知识点二：乘方的法则1、负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。2、正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。说明：1、互为相反数的两个数的奇数次幂仍然是相反数。即：若a+b=0,则a2n+1+b2n+1=0(n为自然数)2、互为相反数的两个数的偶数次幂相等。即：若a+b=0,则a2n=b2n【例2】计算（-3）2 -32 （）2 （-1）2003 2知识点三：有理数的混合运算顺序1、先乘方，再乘除，最后加减。2、同级运算，从左到右进行。3、如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。【例3】计算（-2）2（-3）2 -34（）4 （-4）（）（）（）3综合应用：1、如果规定一种新的运算“”，定义ab=a2aba1. 请根据“”的定义，计算下列各题. 36 （13）（-3）2、若a,b,c为有理数，且|ab|19|ca|99=1,试化简： |ca|ab|bc|. 3、已知x、y互为倒数，且绝对值相等，求(-x)nyn的值.这里n为正整数。1.5 有理数的乘方第二课时 科学记数法、近似数和有效数字知识点一：科学记数法把一个大于10的数表示成a10n的形式（其中a是整数数位只有一位的数，即1a10,n是正整数），这种记数方法叫做科学记数法。【例1】 5670000000000 = 5.671012说明：1、 （n是正整数） 2、科学记数法的一般表示方法：小数点向左移动几位，就乘10的几次方。3、小于-10的数只考虑表示它的绝对值，再加“-”号。知识点二：科学记数法中的负指数 一般地，当a0时，n是正整数，说明：1、2、科学记数法的一般表示方法：小数点向右移动几位，就乘10的负几次方。3、大于-1的数只考虑表示它的绝对值，再加“-”号。【例2】 0.0000000195 = 1.9510-8知识点三：近似数和有效数字一般地，一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。一个近似数，从左边第一个非零数字起，到末位数字止，所有数字都是这个近似数的有效数字。 取近似数时，为了精确到某一位或保留一定的有效数字，要用科学记数法。如38460（精确到百位）3.85104 3540000（保留两位有效数字）3.5106【例3】下列四舍五入得到的近似数各精确到哪一位？各有几位有效数字 4.20 0.0022 4.5万 3.05104【例4】用四舍五入法取下列各数的近似数。0.507（精确到百分位）86400（保留两个有效数字）0.02866（精确到0.01）1.99（精确到0.1）1.6 章末总结知识点一：知识网络图示知识点二：专题总结及应用一、正数和负数的意义对于正数和负数这部分知识，单独考查时常以填空题、选择题为主，同时它又是有理数的基础知识，因此应牢固掌握。1、 气温是零下3记作（ ） A -3 B 3 C -3 D 32、食品包装袋上标有“净含量3864克”，这包食品的合格净含量范围是 -390克。二、有理数的有关概念有理数与数轴上的点的对应关系在中考题中经常出现，常见于比较大小的题型当中，要充分把握数轴的直观性，灵活运用数轴的性质，准确迅速解决问题，相反数是中考常考查的一个知识点。单独考查时常以填空题、选择题为主：绝对值在中考中也是经常出现，填空题、选择题及解答题中均有所涉及。1、若|mn|=-(mn)，则（ ） A mn0 B mn0 C mn=0 D mn02、下列四个数中，在-2和1之间的数是（ ） A -3 B 0 C 2 D 33、若a与2互为相反数，则|a2|= .三、有理数的运算按照运算法则进行计算，要特别注意对符号的要求。在运算前应先观察算式的结构，运算中尽可能多地运用运算律，使运算简便。对于有理数运算的考查，中考中常把它与绝对值、数轴联系起来，理解运算法则并能灵活运用是至关重要的。1、若中的x、y都扩大到原来的5倍，则= .2、计算：9（23、已知|x|=4，|y|=,且xy0，则的值等于 .4、12= . -32= .四、非负数的性质绝对值的非负性是中考中常考查的一个知识点，也是今后所学知识的基础，命题形式多样，多为填空题、选择题、还有解答题，主要考查学生对基础知识的把握和运用能力。1、若m、n互为相反数，则|m1n|= .2、已知(1m)2|n2|=0，则mn的值为 .五、科学计数法科学计数法是中考的一个热点，考查中多与现实生活、热点事件相结合，命题形式一般是填空题和选择题。1、党的十六大提出，全面建设小康社会就是使人均国民生产总值超过3000美元。若100美元可兑换880元人民币，则3000美元兑换成人民币用科学计数法表示为 .2、10349保留到百倍约是 .六、探寻规律探寻数学规律是中考考查中新增加的一类题型，主要考查学生阅读理解能力，解题时应抓住关键词和关键数据，从中寻求数字的规律，考查题型主要是选择题和填空题。1、观察右图，在“？”处填上适当的数。2、观察下列等式：1221=1（12），2222=2（22），3223=3（32），则第n个等式可以表示为 .七、有理数运算的实际应用有理运算的实际应用是指按照题目中的条件，列出相应的有理数加法、减法、乘法、除法、乘方或有理数混合运算的算式，然后应用有理数的相应法则以及运算律解决问题。1、一批货物总重1.4107，下列可将其一次性运走的合适运输工具是（ ）.A 一艘万吨巨轮 B 一架飞机 C 一辆汽车 D 一辆板车2、有8箱橘子，以每箱15千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，现记录如下（单位：千克）：1.2、-0.8、2.3、1.7、-1.5、-2.7、2、-0.2。则这8箱橘子的总重量是多少？第二章 整式的加减2.1 整式观察下面的式子： 知识点一：单项式1、用字母表示数：从具体的数字抽象到字母代替数，在认识上是一个飞跃。用字母表示数，表示数的共同性质或法则，揭示一些普遍的规律，使形式上更简单，使用上更方便。说明：用字母可以表示任何数。用字母表示实际问题中的某一数量时，字母的取值必须使这个问题有意义，并符合实际。在同一问题中，同一字母只能表示同一数量。2、代数式：数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式。一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值。【例1】当a=2,b=-3时，求代数式3a25ab4b2的值。3、单项式：由数和字母的积组成的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。单项式的次数：单项式中所有字母指数的和叫做这个单项式的次数。说明：数字的次数是0，单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写。【例2】单项式的系数是 ，次数是 . 单项式的系数是 ，次数是 .知识点二：多项式多项式：几个单项式的和叫做多项式。多项式的项：多项式中，每一个单项式叫做多项式的项。常数项：多项式中不含字母的项，叫做常数项。多项式的次数：在多项式里，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。说明：多项式组成元素是单项式，如果一个代数式中某一项不是单项式，那么它也就不是多项式。多项式中含有字母的项是几次就叫几次项；一个多项式含有几项，就叫几项式，若一个多项式有m项，次数为n，则这个多项式就叫n次m项式。【例3】下列各式中，哪些是单项式，哪些是多项式，并指出单项式及多项式的次数。 -2xy 2x2y 【例4】多项式5x4xy23的系数是 ，次数是 ，它是 次 项式。【例5】二次项系数为3，一次项系数为-2，常数项是-4的关于x的二次三项式是 .知识点三：多项式的排列降幂排列：把一个多项式按某个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列。升幂排列：把一个多项式按某个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列。说明：这里的排列指按某一个字母的次数排列。排列时各项要带着符号移动位置。对含有两个以上字母的多项式，一般按其中的某一个字母的指数排列顺序。【例6】将多项式-1aa2bab24a3分别按a的升幂和降幂进行排列。知识点四：整式单项式和多项式统称为整式.说明：因为单项式和多项式都是代数式，所以整式也是代数式，但代数式不一定是整式。综合应用：1、多项式(a4)x3xbxb是关于x的二次三项式，求a与b的差的相反数。2、（a1）x3ya+1是关于x、y的六次单项式，试求下列代数式的值，并根据结果说说你有什么想法。 a22a1 (a1)22.2 整式的加减知识点一：合并同类项同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。所有的常数项都是同类项。说明：判断同类项需要满足两个条件：一是单项式所含的字母相同，二是相同字母的指数也相同，二者缺一不可。【例1】下列各式哪些是同类项，说明理由。a2b与-ab2 xy2与3y2x 5ab与6a2b mn与nm【例2】如果单项式-3x2ym与xny3是同类项，那么mn= .合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。 法则：同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。【例3】合并同类项：2x23x4x26x5 (2a3b)2(ab)3(2a3b)24(ab)知识点二：去括号和添括号的法则去括号法则：括号前面是“+”号，把括号连同它前面的“+”去掉，括号内各项不变符号。括号前面是“-”号，把括号连同它前面的“-”去掉，括号内各项都改变符号。添括号法则：所添括号前面是“+”号，括在括号里的各项都不变符号。所添括号前面是“-”号，括在括号里的各项都要改变符号。【例4】先去括号，再合并同类项. 8a2b(5ab) -2a4a(a1)3a2a 6a2(ac) (xy)(xy)(xy)(xy)知识点二：整式加减整式的加减运算可归结为去括号、合并同类项。几个整式相加减，通常用括号把每个整式括起来，再用加减号连接，然后去括号，合并同类项。【例5】求2x2xy3y2与x2xy2y2的差。【例6】先化简，再求值。3（x22x1）4(3x2)2(x1),其中x=-3综合应用：1、已知（a2）2|ab5|=0，求3a2b2a2b(2aba2b)4a2ab的值。2、第一个多项式是x22xyy2，第二个多项式比第一个多项式的2倍少3，第三个多项式是前两个多项式的和，求这三个多项式的和。(设多项式为A)3、当x=1时，代数式px3qx1的值为2001，则当x=-1时，求代数式px3qx1的值.4、已知多项式(2mx2x23x1)(5x24y23x)，是否m存在，使此多项式与x无关？若存在，求出m的值。5、若a22a1=0，则2a24a= .2.3 章末总结知识点一：知识网络图示知识点二：专题总结及应用一、单项式的有关概念一个代数式是否是单项式，看它是否含有加减运算，字母是否出现在分母里。1、 下列代数式哪些是单项式，如果不是说明理由；如果是指出它的系数与次数。x4 a3b2、若32a2bcm为七次单项式，则m的值为 .二、多项式的有关概念多项式的判断：必须为整式。 必须含有加减运算。1、 下列代数式中，哪些是多项式？ 2x22xyy2 a32、多项式2y4y33y2y1是 次 项式，常数项是 ，三次项是 .3、把多项式13x2x35x2按x的降幂排列是 .三、同类项的概念及识别同类项的概念：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等。1、已知7xay4与-x5yb是同类项，则a= ,b= .2、已知2x2m+1y2与xm+2yn-3是同类项，则m= ,n= .四、整式的加减1、不含括号的直接合并同类项 合并同类项：0.5m2n0.4mn20.2nm20.8mn22、有括号要先去括号，然后再合并同类项。根据多重符号的去括号法则，可由里向外，也可由外向里逐层推进，在计算过程中要注意符号的变化。 化简：x2x(x2x)3、先代入，后化简已知：A=x2xyy2,B=-3xyx2。求2A3B.五、求代数式的值1、直接求值法 先化简，再求值：32xy3yx26xy4x2y,其中x=-1,y=-2.2、整体代入法 不求字母的值，将所求代数式变形成与已知条件有关的式子，再代入求值。 已知m2mn=7，mnn2=-2,求m2n2及m22mnn2的值。 当3ab=2时，求2b36a的值。3、换元法出现分式或某些整式的幂时，常常需要换元.已知=6，求代数式的值。第三章 一元一次方程3.1 一元一次方程第一课时 从算式到方程知识点一：方程的概念定义：含有未知数的等式叫做方程。方程必须具备两个条件： 是等式。 含有未知数。说明：方程是等式，但等式不一定是方程，区别是：是否含有未知数。【例1】1、3x-1是方程吗？ a+b=b+a是方程吗？a-3=-2是方程吗？为什么？知识点二：方程的解与解方程方程的解：使方程等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。解方程：求方程解的过程叫做解方程。说明：判断一个数是否是方程的解，把这个数代入方程的两边，若方程的两边相等，则该数是方程的解；反之，则不是方程的解。知识点三：一元一次方程的概念一元一次方程：只含有一个未知数，未知数的指数是1，这样的方程叫做一元一次方程。列一元一次方程解决实际问题：分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法。【例2】列方程：1、 把一些苹果分给几个小朋友，如果每人分5个，那么还剩2个苹果；如果每人分6个，那么还缺3个苹果。一共有几个小朋友？2、把1400元奖学金按照两种奖项奖给22名学生。其中一等奖每人200元，二等奖每人50元。获一等奖的学生有多少人？3.1 一元一次方程第二课时 等式的性质知识点一：等式的性质等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。 即：如果a=b,那么ac=bc等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。 即：如果a=b,那么ac=bc；如果a=b,那么=（c0）【例1】利用等式的性质求x。 2x8=3 x5=8【例2】已知方程（a4）x|a|-32=0是一元一次方程，求a的值，并求出方程的解。【例3】某地电话拨号入网有两种收费方式，用户可以任选其一。计时制：0.05元/分；包月制：50元/月此外，每一种上网方式都得加收通信费0.02元/分，用户每月上网多少小时，这两种收费方式收费一样？3.2 解一元一次方程（一）合并同类项与移项知识点一：列方程解决实际问题的基本题型题型一：总量 = 各部分量的和题型二：表示同一个量的两个不同的式子相等。说明：1、解决这类问题一般是先设其中一部分量为x，再用x表示出其它各部分量，然后根据相等关系列出方程，常见题型有数字问题，比例问题，长方形周长问题。2、在实际问题中，同一量可以用不同形式表示，因而可以用两个不同形式来表示同一个量（至多有一个未知量x），由这两个式子相等可列出方程。知识点二：移项把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项。移项是解一元一次方程的重要一步。【例1】解方程 3x2=5x6 4x5=3x32x【例2】把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本，这个班有多少学生？【例3】一次知识竞赛共有30道题，规定答对一道题得4分，答错或不答每道题得-1分，在这次竞赛中，小明得了90分，则小明答对了多少道题？综合应用：【例4】如果x=-3是关于x的方程mx3=8x6的解，求m的值。【例5】已知关于x的方程4x1=3x2a和3x1=6x2a的解相同，求：1、a的值.2、代数式(a2)2004(2a)2005的值。【例6】解方程 |2x3|=5探索创新：【例7】如右图所示1、填写下表中的表格2、按上面的方法继续分下去，第n个图形有多少个正方形，有多少个三角形？2、 当三角形个数为100时，是第几个图形？3.3 解一元一次方程（二）去括号与去分母知识点一：去括号法则括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同；括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相反。上述结论的依据是乘法分配律和有理数的乘法法则。【例1】 去括号，并合并同类项 2(5x10)3(2x5) x(2x3)(4x3) (4y5)(3y2) 2(m4n)(4mn)知识点二：去分母的方法方程各项都乘以所有分母的最小公倍数，依据是等式的性质2.说明：若分子是一个式子，去分母后要把分子作为一个整体括起来，去分母时不要漏掉不含分母的项。【例2】 知识点三：解一元一次方程的步骤去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1.这些步骤不固定，有时可以省略某个步骤，有时先去括号或者先合并同类项再去分母，这要根据一元一次方程的特点灵活运用。说明：有些方程只需要上面程序中的几个步骤。【例3】 综合应用：1、当m为何值时，代数式和的值相等。2、化循环小数0.为分数。3、一个两位数，十位上的数字比个位上的数字小4，如果把十位与个位上的数对调，那么，所得的两位数比原两位数的2倍少12，求原两位数。4、讨论关于x的方程ax=b的解的情况。5、解方程 3.4 实际问题与一元一次方程知识点一：如何找等量关系1、牢记计算公式，善于根据公式来找等量关系。（几何应用题）2、熟记数量关系，善于根据数量关系找等量关系。（工程问题、路程问题、价格问题）3、抓住关键字词，善于根据字词的提示找等量关系。（相当于、比、是等）4、要善于分析问题中的不变量，并利用不变量列出方程。5、要善于利用总量等于各个分量之和列方程。6、要善于用不同的方式表示同一个量，由此得到等量关系，从而列出方程。知识点二：列方程解应用题的一般步骤1、审：主要是仔细阅题，弄清题意。在此步骤中，要在草稿纸上把帮助理解题意的相关图形画出来，认真分析，出题意中的已知数量和未知数量。此步骤在解决问题中是比较重要的，但常常被忽略。2、设：设立未知数。在此步骤中，要根据列代数式的方法把各个数量用代数式表示出来。3、列：根据相等关系列出方程。在此步骤中，找出各代数式所包含的数量关系，列出一个能表达全部题意的含有未知数的相等关系，即得所列方程。4、解：根据解相应方程的方法求出方程的解。5、答：检验所求的解，写出答案。检验分两个方面：第一是检验所求得的解是不是原方程的解，第二是检验该解是否符合题意。 “设”与“答”必须写清单位名称。知识点三：正确设元1、直接设元法：即在题目里求什么，就设什么做未知数。这样设元后，只要能求出所列方程的解，就可以直接示得题目所求。在多数情况下，都可以用直接设元法来解元。2、间接设元法：有些问题中，若采用直接设元法，则不易列出方程。这里可考虑采取间接设元法，即通过间接的桥梁作用，来达到求解的目的。间接设元法可使问题得到简化。例如，按比例分配问题、和、差、倍、分问题，整数的组成问题等均可用间接设元法来解元。说明：有些问题既可以采用间接设元法，又可采用直接设元法，从而形成一个问题的多种解法。【例1】学校组织同学旅游，旅游车出发后刘洁同学因故迟到，他拦截了一辆“的士”追赶，“的士”司机告诉刘洁，若每小时走80公里，则需要1个半小时才能追上，若每小时走90公里，则需要40分钟就可追上，问“的士”司机估计旅游车的时速是多少？【例2】一个三位数，十位上的数字是0，其余两位上的数字的和为12，如果个位数字减2，百位数字加1，所得到的三位数比原来三位数的百位数字与个位数字对调所得的三位数还小100，求原来三位数。【例3】某果品公司急需将一批不易存放的水果从A市运到B市销售，现有三家运输公司可供选择，信息如下：回答下列问题1、若乙丙两家公司的包装与装卸及运输费用的总和恰好是甲公司的2倍，求A、B两市的距离。2、在1的条件下，若这批水果在包装与装卸以及运输的过程中的损耗为300元/时，那么要使果品公司支付的总费用（包装与装卸费用、运输费用、损耗三项之和）最少，应选择哪家运输公司？3.5 章末总结知识点一：知识网络图示知识点二：解一元一次方程的注意事项1、分母是小数时，把分母化为整数，根据的是分数的基本性质，不要与去分母混淆。2、去分母时，方程两边各项都乘以各分母的最小公倍数，此时不含分母的项切勿漏乘，分数线相当于括号，去分母后分子各项应加括号。3、去括号时，不要漏乘括号内的项，要依据法则，不要弄错符号。4、移项时，切记要变号，不要丢项。合并同类项和移项要灵活运用，有时可先合并再移项。5、系数化为1时不要弄错符号，分子分母不要颠倒。6、解方程的各步骤要灵活运用，以便找到最简便的解法。知识点三：专题总结及应用一、用一元一次方程的定义解有关问题【例1】已知ax3=2x5不是关于x的一元一次方程，求a的值。二、用一元一次方程的解的定义解有关问题【例2】已知x=是方程6(2xm)=3m2的解，求关于y的方程my2=m(12y)的解。三、解含有绝对值的方程在方程中，含有未知数的项带有绝对值，这样的方程不是一元一次方程，但是根据绝对值的意义，去掉绝对值后，这个方程就转化为一元一次方程；也可以利用数轴解含有绝对值的方程。【例3】利用数轴解含有绝对值的方程：|x2|=3 |x1|+|x1|=6四、列一元一次方程解应用题主要题型：和差倍分问题：有比较明显的等量关系。等积变形问题：以变形前和变形后体积相等为等量关系。数字问题：利用各数字的十进制关系，正确设元。调配问题：找准题中的等量关系，准确列出各情况的代数式。工作量问题：利用工作总量=工效工作时间列出方程。行程问题：利用路程=速度时间列出方程。利息问题：利用税后利息=本金利率时间（1-利息税）列出方程。五、一元一次方程解的三种情况【例5】已知关于x的方程ax2x1=a无解，试求a的值。【例6】已知关于x的方程ax3x=2b4有无数多个解，求（a+b）2003的值。第四章 图形认识初步4.1 多姿多彩的图形知识点一：认识立体图形长方体、正方体、球、圆柱和圆锥都是立体图形。此外，棱柱和棱锥也是常见的立体图形。说明：1、柱体分为棱柱和圆柱。相同点：有两个完全相同且平行的面；不同点：棱柱的两个平行的面是多边形，侧面是矩形，圆柱的两个平行的面是圆形，侧面是曲面。 2、棱柱通常以侧棱的条数命名。如有五条侧棱叫做五棱柱。 3、锥体分为棱锥与圆锥。相同点：只有一个公共顶点。不同点：棱锥的侧面是三角形，底面是多边形，圆锥的侧面是曲面，底面是圆形。知识点二：认识平面图形平面图形有三角形、长方形、正方形，梯形、圆等，共同特点是在同一平面内。知识点三：从不同方向看几何体从正面、上面、侧面（左面和右面）三个不同方向看一个物体，然后描绘出三张所看到的图，就是视图。从正面看到的图形称为正视图；从上面看到的图形称为俯视图；从侧面看到的图形称为侧视图，根据观看方向不同，有左视图和右视图。【例1】画出四棱锥的三视图。【例2】根据物体的三视图，说出该物体的名称。知识点四：立体图形的平面展开图许多立体图形是由一些平面图形围成的，将它们适当地剪开，就可以展开成平面图形。同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平面展开图是不一样的。 立体图形和平面图形的关系：平面图形围成立体图形，立体图形展开就是平面图形知识点五：点、线、面、体的关系几何体也简称体，包围着体的是面，面和面相交的地方是线，线和线相交的地方是点。 反之：点动成线，线动成面，面动成体。 几何图形都是由点线面体组成，其中点是最基本的图形，点线面体经过运动变化，就能组成各种各样的几何图形，形成多姿多彩的图形世界。4.2 直线、射线、线段知识点一：直线、射线、线段的定义。（略）知识点二：直线1、 直线的表示方法：用直线上的两个点表示。如直线AB. 用一个小写字母表示。如直线l. 2、直线的基本性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线。也可以说两点确定一条直线。说明：直线公理的条件是：经过任意两点；结论是：有一条直线，并且只有一条直线。 “有”表示存在， “只有”表示唯一。3、直线的特点：是直的，没有端点，向两方无限延长，不可度量，不可比较长度。知识点三：射线1、 射线的表示方法：用射线的端点以及射线上任意一点表示。如射线OC 用小写字母表示。如射线l. 表示射线时，端点字母必须写在前面。2、射线的特点：是直的，有一个端点，向一方无限延长，不可度量，不可比较长度。知识点三：线段1、线段的表示方法：可用两个端点的大写字母表示。如线段AB. 用一个小写字母来表示。如线段a. 说明：表示线段、射线、直线时，都要在字母前面写上“线段”、“射线”或“直线”。 表示线段和直线的两个大写字母地位平等，可以互换，但射线不可以。2、线段的特点：线段是直的，它有两个端点，它的长度是可以度量的。3、线段的画法：用圆规或直尺。4、连接AB的意义：就是画出以A、B为端点的线段。 线段的延长线：延长线段AB是指按由A到B的方向延长；延长线段BA是指按由B到A的方向延长（也可以说反向延长AB）。注意延长线应画成虚线。5、线段大小的比较：叠合法或度量法。6、线段的中点：点B的线段AC分成相等的两条线段，点B叫线段AC的中点。 即AB=BC=AC或AC=2AB=2BC 等分点：点B、点C把线段分成相等的三条线段，点B和点C叫做线段的三等分点。7、两点的距离：连接两点间线段的长度，叫做这两点的距离。 距离是一个长度，只说连接两点的线段叫做两点间的距离是错误的。8、线段的性质：两点的所有连线中，线段最短，即两点之间，线段最短。【例1】能用字母表示的直线、射线、线段各有哪几条？【例2】如图，已知线段AD=6，线段AC=BD=4，E、F分别是线段AB、CD的中点，求线段EF的长。【例3】在一条直线上有A、B、C三个点，M为AB中点，N为BC中点，若AB=10，BC=4，求MN的长。4.3 角第一课时 角的认识知识点一：角的概念概念1：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的两条边。概念2：由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形。射线旋转时经过的平面部分叫做角的内部，平面的其余部分叫做角的外部。射线OA绕点O旋转，当终止位置OC和起始位置OA成一条直线时，所成的角叫做平角；继续旋转，回到起始位置OA时，所成的角叫做周角。如图所示。说明：1、角的大小与边的长短无关，只与构成角的两边的射线张开的幅度大小有关。 2、角的大小可以度量，可以比较，也可以参与计算。知识点二：角的度量单位与换算把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记做1.把1度的角60等分，每一份就是1分的角，记做1.把1分的角60等分，每一份就是1秒的角，记做1.即：1=60，1=60，1周角=360，一平角=180，1周角=2平角=4直角.以度、分、秒为单位的角的度量制叫做角度制。此外还有弧度制、密位制等。【例1】如图，O是直线AB上一点，AOC=5317，求BOC的度数。知识点三：角的表示方法 角可以用英文字母、阿拉伯数字或小写希腊字母表示。如下图： 用三个大写英文字母表示角时，一定要把顶点字母写在中间。【例2】如图1、可表示为 . FCG可表示为 .可表示为 . 1可表示为 .BDE可表示为 .知识点四：角的比较方法：度量法、叠合法。知识点五：角的和差4.3 角第二课时 角的运算知识点一：角的平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。【例3】如图，OC是AOD的平分线，OE是BOD的平分线 如果AOB=130，那么COE是多少度？ 如果COD=20，那么BOE是多少度？知识点二：余角和补角1、如果两个角的和等于90（直角），就说这两个角互为余角。即其中一个角是另一个角的余角。锐角的余角是90。2、如果两个角的和等于180（平角），就说这两个角互为补角。即其中一个角是另一个角的补角。的余角是180。3、互余、互补的性质：同角（或等角）的余角（或补角）相等。4、互为邻补角：有公共边，另外的一边在一条直线上，并且12=180.【例4】已知一个角是它的余角的，求这个角的补角的度数。知识点三：方向角 就是用角度和方向表示位置的角。在平面图上方向为：上北、下南、左西、右东。 说明：一般地，第一个方向表示角的始边向第二个方向转动，就形成了方向角，习惯上把南或北写在前，东或西写在后。综合应用：【例5】如图，AOB是直角，AOC是锐角，ON是AOC的平分线，OM是BOC的平分线，求MON的度数。【例6】将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，则AOCBOD为多少度？3.5 章末总结知识点一：知识网络图示知识点二：专题总结及应用1、 画出所示两个物体的三视图。2、如图，其中正方体的展开图是（ ）3、甲、乙两人，甲在乙的北
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