第六节 差分方程

第六节 差分方程第1页，共21页。xxxxxxxxxxxyyyyyyyyyyyyxfy 12112122)()()()(,)(即即差差分分的的一一阶阶差差分分的的的的二二阶阶差差分分为为函函数数函函数数.以以上上的的差差分分高高阶阶差差分分：二二阶阶及及二二阶阶 3yx = ( 2yx)= yx+3 3yx+2 +3 yx+1 yx第2页，共21页。解解，则则设设2xy 12)1()(222 xxxxyx 2)12(1)1(2)12()(222 xxxxyx022)(233 xyx第3页，共21页。解解例例 2 2 求求下下列列函函数数的的差差分分 axyxyasin)2(;log) 1 ( );11(loglog)1(log)1(1xxxyyyaaaxxx .2sin)21(cos2sin)1(sin)2(axaaxxayx 第4页，共21页。)()()1(为为常常数数CyCCyxx xxxxzyzy )()2( xxxxxxxxxxyzzyyzzyzy 113可参照导数的四那么运算法那么学习可参照导数的四那么运算法那么学习第5页，共21页。 差分方程的根本概念差分方程的根本概念1.差分方程与差分方程的阶差分方程与差分方程的阶.,2称称为为差差分分方方程程的的函函数数方方程程含含有有未未知知函函数数的的差差分分xxyy0),(2 xnxxxyyyyxF形式：形式：定义定义第6页，共21页。定义：定义：.,1的的方方程程，称称为为差差分分方方程程个个以以上上时时期期的的符符号号含含有有未未知知函函数数两两个个或或两两 xxyy)1(0),(0),(11 nyyyxGyyyxFnxxxnxxx或或形形式式：.称称为为差差分分方方程程的的阶阶大大值值与与最最小小值值的的差差方方程程中中未未知知数数下下标标的的最最第7页，共21页。 注：由差分的定义及性质可知，差分方程的不注：由差分的定义及性质可知，差分方程的不同定义形式之间可以相互转换。同定义形式之间可以相互转换。是三阶差分方程；是三阶差分方程；如如0234235 xxxyyy. 0133112 tttyyyxt，即即可可写写成成事事实实上上，作作变变量量代代换换程，程，但实际上是二阶差分方但实际上是二阶差分方，虽然含有三阶差分，虽然含有三阶差分，013 xxyy，因此它是二阶差分方程因此它是二阶差分方程由于该方程可以化为由于该方程可以化为0133123 xxxyyy第8页，共21页。解解，33)1( xx，6)4(2)2( xx是三阶差分方程；是三阶差分方程；)1(.)2(是是六六阶阶差差分分方方程程第9页，共21页。2.差分方程的解差分方程的解.)(该该差差分分方方程程的的解解边边恒恒等等，则则称称此此函函数数为为两两代代入入差差分分方方程程后后，方方程程如如果果函函数数xy 含有相互独立的任意常数的个数与差分方程的含有相互独立的任意常数的个数与差分方程的阶数一样的差分方程的解阶数一样的差分方程的解. .差分方程的通解差分方程的通解第10页，共21页。为了反映某一事物在变化过程中的客观规律性，为了反映某一事物在变化过程中的客观规律性，往往根据事物在初始时刻所处状态，对差分方程往往根据事物在初始时刻所处状态，对差分方程所附加的条件所附加的条件. .通解中任意常数被初始条件确定后的解通解中任意常数被初始条件确定后的解. .初始条件初始条件差分方程的特解差分方程的特解第11页，共21页。阶常系数非齐次线性差分方程解的构造阶常系数非齐次线性差分方程解的构造 1111x nx nnxnxya yaya yf x 2由此可见，要求出由此可见，要求出n阶常系数非齐次线性差分方程阶常系数非齐次线性差分方程2的通解，只需求出的通解，只需求出1的通解和的通解和2的一个特解即可的一个特解即可.11110 x nx nnxnxya yaya y 1第12页，共21页。一阶常系数齐次线性差分方程的一般形式一阶常系数齐次线性差分方程的一般形式一阶常系数非齐次线性差分方程的一般形式一阶常系数非齐次线性差分方程的一般形式 1 2 .21次次线线性性差差分分方方程程所所对对应应的的一一阶阶常常系系数数齐齐为为注注：)0(01为为常常数数 aayyxx)(1xfayyxx )00( xfa为为常常数数，一阶常系数线性差分方程的解法一阶常系数线性差分方程的解法第13页，共21页。一一 、一阶常系数齐次线性差分方程的求解、一阶常系数齐次线性差分方程的求解迭迭代代法法. 1)0(01为为常常数数 aayyxx 1）依依次次可可得得，为为已已知知，由由方方程程（设设10y01ayy 0212yaayy 0323yaayy 第14页，共21页。.100 xxxxCaYCyyay 通通解解为为）的的方方程程（为为任任意意常常数数，于于是是差差分分满满足足差差分分方方程程，令令容容易易验验证证，01yaayyxxx .0211的的通通解解求求例例 xxyy解解21 a.21xxCY 差分方程的通解为差分方程的通解为第15页，共21页。.203201的特解的特解满足满足求求例例 yyyxx解解；差分方程的通解为差分方程的通解为xxCY 31031 xxyy原原方方程程可可改改写写为为013 特征方程为特征方程为31 特特征征根根220 Cy，得，得代入代入.312xxY 所求差分方程的特解为所求差分方程的特解为特征方程法特征方程法第16页，共21页。二、二、 一阶常系数非齐次线性差分方程的求解一阶常系数非齐次线性差分方程的求解.xxYy分分方方程程的的通通解解另另一一项项是是对对应应的的齐齐次次差差，解解一一项项是是该该方方程程的的一一个个特特的的和和组组成成：差差分分方方程程的的通通解解由由两两项项一一阶阶常常系系数数非非齐齐次次线线性性 .2 xxxyYy）的的通通解解为为即即差差分分方方程程（ 2)(1xfayyxx )00( xfa为为常常数数，第17页，共21页。(1)nnnnxbxbxbxQy 110)(令令011 a不不是是特特征征方方程程的的根根，即即(2) nnnnxbxbxbxxxQy 110)(令令011 a是是特特征征方方程程的的根根，即即综上讨论综上讨论，设设)(xQxynkx 是特征方程的根是特征方程的根不是特征方程的根不是特征方程的根1110k 型型xpxfn )(第18页，共21页。解解.32321的的通通解解求求差差分分方方程程例例xyyxx 对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程，02 特征根特征根，2 xxCY2 不是特征方程的根，不是特征方程的根，1，设设CBxAxyx 2代入方程代入方程, 得得963 CBA，9632 xxyx于于是是原方程通解为原方程通解为. 96322 xxCyxx第19页，共21页。 型型xpxfnx )(2. 10， 为为方方程程 2 xpayynxxx 1a）（ 1( )xxnyQ xa）（2( )xxnyxQ x例题 教材 208页 例3，例4第20页，共21页。谢谢观赏！2020/11/521第21页，共21页。