立体几何的解题技巧

.立体几何新题型的解题技巧【命题趋向】在2007年高考中立体几何命题有如下特点：1.线面位置关系突出平行和垂直，将侧重于垂直关系2.多面体中线面关系论证，空间角与距离的计算常在解答题中综合出现3.多面体及简单多面体的概念、性质多在选择题，填空题出现4.有关三棱柱、四棱柱、三棱锥的问题，特别是与球有关的问题将是高考命题的热点此类题目分值一般在17-22分之间，题型一般为1个选择题，1个填空题，1个解答题.【考点透视】(A)版.掌握两条直线所成的角和距离的概念，对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离.掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念.掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念.空间距离和角是高考考察的重点：特别是以两点间距离，点到平面的距离，两异面直线的距离，直线与平面的距离以及两异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角等作为命题的重点容，高考试题中常将上述容综合在一起放在解答题中进展考察，分为多个小问题，也可能作为客观题进展单独考察.考察空间距离和角的试题一般作为整套试卷的中档题，但也可能在最后一问中设置有难度的问题.不管是求空间距离还是空间角，都要按照一作，二证，三算的步骤来完成，即寓证明于运算之中，正是本专题的一大特色.求解空间距离和角的方法有两种：一是利用传统的几何方法，二是利用空间向量。【例题解析】考点1 点到平面的距离求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度，其关键在于确定点在平面的垂足，当然别忘了转化法与等体积法的应用.典型例题例12007年卷理如图，正三棱柱的所有棱长都为，为中点ABCD求证：平面；求二面角的大小；求点到平面的距离考察目的：本小题主要考察直线与平面的位置关系，二面角的大小，点到平面的距离等知识，考察空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力解答过程：解法一：取中点，连结ABCDOF为正三角形，正三棱柱中，平面平面，平面连结，在正方形中，分别为的中点，在正方形中，平面设与交于点，在平面中，作于，连结，由得平面，为二面角的平面角在中，由等面积法可求得，又，所以二面角的大小为中，在正三棱柱中，到平面的距离为设点到平面的距离为由，得，点到平面的距离为解法二：取中点，连结为正三角形，在正三棱柱中，平面平面，平面*zABCDOFy取中点，以为原点，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，平面设平面的法向量为，令得为平面的一个法向量由知平面，为平面的法向量，二面角的大小为由，为平面法向量，点到平面的距离小结：本例中采用了两种方法求点到平面的距离.解法二采用了平面向量的计算方法，把不易直接求的B点到平面的距离转化为容易求的点K到平面的距离的计算方法，这是数学解题中常用的方法；解法一采用了等体积法，这种方法可以防止复杂的几何作图，显得更简单些，因此可优先考虑使用这一种方法.例2.( 2006年卷)如图,两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高分别为1和2,AB=4.()证明PQ平面ABCD；()求异面直线AQ与PB所成的角；()求点P到平面QAD的距离.命题目的：此题主要考察直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离根本知识，考察空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.QBCPADOM过程指引：方法一关键是用恰当的方法找到所求的空间距离和角；方法二关键是掌握利用空间向量求空间距离和角的一般方法.解答过程：方法一取AD的中点，连结PM，QM.因为PABCD与QABCD都是正四棱锥，所以ADPM，ADQM. 从而AD平面PQM.又平面PQM，所以PQAD.同理PQAB，所以PQ平面ABCD.连结AC、BD设，由PQ平面ABCD及正四棱锥的性质可知O在PQ上，从而P、A、Q、C四点共面.取OC的中点N，连接PN.因为，所以，从而AQPN，BPN或其补角是异面直线AQ与PB所成的角.因为，所以.从而异面直线AQ与PB所成的角是.()连结OM，则所以MQP45.由知AD平面PMQ，所以平面PMQ平面QAD. 过P作PHQM于H，PH平面QAD.从而PH的长是点P到平面QAD的距离.又.QBCPADzy*O即点P到平面QAD的距离是.方法二连结AC、BD，设.由PABCD与QABCD都是正四棱锥，所以PO平面ABCD，QO平面ABCD.从而P、O、Q三点在一条直线上，所以PQ平面ABCD.由题设知，ABCD是正方形，所以ACBD. 由，QO平面ABCD. 故可分别以直线CA、DB、QP为*轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图，由题条件，相关各点的坐标分别是P0，0，1，A，0，0，Q0，0，2，B0，0.所以于是.()由，点D的坐标是0，0，设是平面QAD的一个法向量，由得.取*=1，得.所以点P到平面QAD的距离.考点2 异面直线的距离此类题目主要考察异面直线的距离的概念及其求法，考纲只要求掌握已给出公垂线段的异面直线的距离.典型例题例3三棱锥，底面是边长为的正三角形，棱的长为2，且垂直于底面.分别为的中点，求CD与SE间的距离.思路启迪：由于异面直线CD与SE的公垂线不易寻找，所以设法将所求异面直线的距离，转化成求直线与平面的距离，再进一步转化成求点到平面的距离.解答过程：如下图，取BD的中点F，连结EF，SF，CF，为的中位线，面,到平面的距离即为两异面直线间的距离.又线面之间的距离可转化为线上一点C到平面的距离，设其为h，由题意知，,D、E、F分别是AB、BC、BD的中点，在Rt中，在Rt中，又由于，即，解得故CD与SE间的距离为.小结：通过本例我们可以看到求空间距离的过程，就是一个不断转化的过程.考点3 直线到平面的距离此类题目再加上平行平面间的距离，主要考察点面、线面、面面距离间的转化.典型例题例4如图，在棱长为2的正方体中，G是的中点，求BD到平面的距离.BACDOGH思路启迪：把线面距离转化为点面距离，再用点到平面距离的方法求解.解答过程：解析一平面，上任意一点到平面的距离皆为所求，以下求点O平面的距离,，平面,又平面平面，两个平面的交线是,作于H，则有平面，即OH是O点到平面的距离.在中，.又.即BD到平面的距离等于.解析二平面，上任意一点到平面的距离皆为所求，以下求点B平面的距离.设点B到平面的距离为h，将它视为三棱锥的高，则, 即BD到平面的距离等于.小结：当直线与平面平行时，直线上的每一点到平面的距离都相等，都是线面距离.所以求线面距离关键是选准恰当的点，转化为点面距离.本例解析一是根据选出的点直接作出距离；解析二是等体积法求出点面距离.考点4 异面直线所成的角此类题目一般是按定义作出异面直线所成的角，然后通过解三角形来求角.异面直线所成的角是高考考察的重点.典型例题例52007年卷文如图，在中，斜边可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角的直二面角是的中点I求证：平面平面；II求异面直线与所成角的大小思路启迪：II的关键是通过平移把异面直线转化到一个三角形.解答过程：解法1：I由题意，是二面角是直二面角，又，平面，又平面平面平面II作，垂足为，连结如图，则，是异面直线与所成的角在中，又在中，异面直线与所成角的大小为解法2：I同解法1II建立空间直角坐标系，如图，则，异面直线与所成角的大小为小结：求异面直线所成的角常常先作出所成角的平面图形，作法有：平移法：在异面直线中的一条直线上选择特殊点，作另一条直线的平行线，如解析一，或利用中位线，如解析二；补形法：把空间图形补成熟悉的几何体，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系，如解析三.一般来说，平移法是最常用的，应作为求异面直线所成的角的首选方法.同时要特别注意异面直线所成的角的围：.例62006年卷如下图，AF、DE分别是O、O1的直径.AD与两圆所在的平面均垂直，AD8,BC是O的直径，ABAC6，OE/AD.()求二面角BADF的大小；()求直线BD与EF所成的角.命题目的：此题主要考察二面角以及异面直线所成的角等根本知识，考察空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.过程指引：关键是用恰当的方法找到所求的空间距离和角并掌握利用空间向量求空间距离和角的一般方法.解答过程： ()AD与两圆所在的平面均垂直,ADAB,ADAF,故BAF是二面角BADF的平面角.，由于ABFC是正方形，所以BAF450. 即二面角BADF的大小为450；()以O为原点，BC、AF、OE所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系如图，则O0，0，0，A0，0，B，0，0,D0，8，E0，0，8,F0，0所以，设异面直线BD与EF所成角为，则.故直线BD与EF所成的角为.考点5 直线和平面所成的角此类题主要考察直线与平面所成的角的作法、证明以及计算.线面角在空间角中占有重要地位，是高考的常考容.典型例题例7.2007年全国卷理四棱锥中，底面为平行四边形，侧面底面，证明；求直线与平面所成角的大小考察目的：本小题主要考察直线与直线,直线与平面的位置关系，二面角的大小，点到平面的距离等知识，考察空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力解答过程：解法一：作，垂足为，连结，由侧面底面，得底面因为，所以，又，故为等腰直角三角形，由三垂线定理，得DBCAS由知，依题设，故，由，得，的面积连结，得的面积设到平面的距离为，由于，得，解得设与平面所成角为，则所以，直线与平面所成的我为解法二：作，垂足为，连结，由侧面底面，得平面因为，所以DBCAS又，为等腰直角三角形，如图，以为坐标原点，为轴正向，建立直角坐标系，所以取中点，连结，取中点，连结，与平面两条相交直线，垂直所以平面，与的夹角记为，与平面所成的角记为，则与互余，所以，直线与平面所成的角为小结：求直线与平面所成的角时，应注意的问题是1先判断直线和平面的位置关系；2当直线和平面斜交时，常用以下步骤：构造作出斜线与射影所成的角，证明论证作出的角为所求的角，计算常用解三角形的方法求角，结论点明直线和平面所成的角的值.考点6 二面角此类题主要是如何确定二面角的平面角，并将二面角的平面角转化为线线角放到一个适宜的三角形中进展求解.二面角是高考的热点，应重视.典型例题例82007年卷文ABCQP如图，直二面角，直线和平面所成的角为I证明； II求二面角的大小命题目的：此题主要考察直线与平面垂直、二面角等根本知识，考察空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.ABCQPOH过程指引：I在平面过点作于点，连结因为，所以，又因为，所以而，所以，从而，又，所以平面因为平面，故II解法一：由I知，又，所以过点作于点，连结，由三垂线定理知，故是二面角的平面角由I知，所以是和平面所成的角，则，不妨设，则，在中，所以，于是在中，故二面角的大小为解法二：由I知，故可以为原点，分别以直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图因为，所以是和平面所成的角，则不妨设，则，ABCQPO*yz在中，所以则相关各点的坐标分别是，所以，设是平面的一个法向量，由得取，得易知是平面的一个法向量设二面角的平面角为，由图可知，所以故二面角的大小为小结：此题是一个无棱二面角的求解问题.解法一是确定二面角的棱，进而找出二面角的平面角.无棱二面角棱确实定有以下三种途径：由二面角两个面的两条相交直线确定棱，由二面角两个平面的两条平行直线找出棱，补形构造几何体发现棱；解法二则是利用平面向量计算的方法，这也是解决无棱二面角的一种常用方法，即当二面角的平面角不易作出时，可由平面向量计算的方法求出二面角的大小.例9( 2006年卷)如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD,DAB为直角，ABCD，AD=CD=2AB, E、F分别为PC、CD的中点.试证：CD平面BEF；设PAkAB,且二面角E-BD-C的平面角大于,求k的取值围.命题目的：此题主要考察直线与平面垂直、二面角等根本知识，考察空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.过程指引：方法一关键是用恰当的方法找到所求的空间距离和角；方法二关键是掌握利用空间向量求空间距离和角的一般方法.解答过程：解法一：证：由DFAB且DAD为直角，故ABFD是矩形，从而CDBF.又PA底面ABCD,CDAD，故由三垂线定理知CDPD.在PDC中，E、F分别PC、CD的中点，故EFPD,从而CDEF,由此得CD面BEF. 连结AC交BF于G.易知G为AC的中点.连接EG,则在PAC中易知EGPA.又因PA底面ABCD,故EG底面ABCD.在底面ABCD中，过G作GHBD,垂足为H,连接EH.由三垂线定理知EHBD.从而EHG为二面角E-BD-C的平面角.设AB=a,则在PAC中，有EG=PA=ka.以下计算GH，考察底面的平面图.连结GD.因SGBD=BDGH=GBDF.故GH=.在ABD中，因为ABa,AD=2a,得BD=a.而GB=FB=AD=a，DF=AB,从而得GH=因此tanEHG=由k0知是锐角，故要使，必须tan=解之得，k的取值围为k解法二：如图，以A为原点，AB所在直线为*轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，设AB=a,则易知点A,B,C,D,F的坐标分别为A(0,0,0),B(a,0,0),C(2a,2a,0),D(0,2a,0), F(a,2a,0).从而=(2a,0,0), =(0,2a,0), =0,故 .设PA=b,则P(0,0,b),而E为PC中点.故E.从而=，=0,故.由此得CD面BEF.设E在*Oy平面上的投影为G，过G作GHBD垂足为H,由三垂线定理知EHBD.从而EHG为二面角E-BD-C的平面角.由PAkAB得P(0,0,ka),E,G(a,a,0).设H(*,y,0)，则=(*-a,y-a,0),=(-a,2a,0),由=0得-a(*-a)+2a(y-a)=0,即*-2y=-a又因=(*-a,y,0),且与的方向一样，故，即2*+y=2a由解得*=a,y=a,从而，a.tanEHG=.由k0知，EHG是锐角，由EHG得tanEHGtan即故k的取值围为k.考点7 利用空间向量求空间距离和角众所周知，利用空间向量求空间距离和角的套路与格式固定.当掌握了用向量的方法解决立体几何问题这套强有力的工具时，不仅会降低题目的难度，而且使得作题具有很强的操作性.典型例题例102007年卷如图，是棱长为的正方体，点在上，点在上，且1求证：四点共面；2假设点在上，点在上，垂足为，求证：平面；3用表示截面和侧面所成的锐二面角的大小，求命题意图：本小题主要考察平面的根本性质、线线平行、线面垂直、二面角等根底知识和根本运算，考察空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力过程指引：解法一：1如图，在上取点，使，连结，则，因为，所以四边形，都为平行四边形从而，又因为，所以，故四边形是平行四边形，由此推知，从而因此，四点共面2如图，又，所以，因为，所以为平行四边形，从而又平面，所以平面3如图，连结因为，所以平面，得于是是所求的二面角的平面角，即因为，所以，解法二：1建立如下图的坐标系，则，所以，故，共面又它们有公共点，所以四点共面2如图，设，则，而，由题设得，得因为，有，又，所以，从而，故平面3设向量截面，于是，而，得，解得，所以又平面，所以和的夹角等于或为锐角于是故小结：向量法求二面角的大小关键是确定两个平面的法向量的坐标，再用公式求夹角；点面距离一般转化为在面BDF的法向量上的投影的绝对值.例112006年全国卷如图,l1、l2是互相垂直的两条异面直线，MN是它们的公垂线段，点A、B在l1上，C在l2上，AM=MB=MNI证明AB；II假设，求NB与平面ABC所成角的余弦值.命题目的：此题主要考察异面直线垂直、直线与平面所成角的有关知识，考察空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.过程指引：方法一关键是用恰当的方法找到所求的空间角；方法二关键是掌握利用空间向量求空间角的一般方法.解答过程：解法一：()由l2MN, l2l1 , MNl1 =M,可得l2平面ABN. 由MNl1 , AM=MB=MN,可知AN=NB且ANNB. 又AN为AC在平面ABN的射影. ACNBRtCANRtB, AC=BC,又ACB=60,因此ABC为正三角形. RtANBRtB, NC=NA=NB,因此N在平面ABC的射影H是正三角形ABC的中心,连结BH,NBH为NB与平面ABC所成的角.在RtNHB中,cosNBH= = = . 解法二：如图,建立空间直角坐标系M*yz. 令MN=1, 则有A(1,0,0),B(1,0,0),N(0,1,0),()MN是 l1、l2的公垂线, l1l2, l2平面ABN.l2平行于z轴. 故可设C(0,1,m). 于是 =(1,1,m), =(1,1,0). =1+(1)+0=0 ACNB. () =(1,1,m), =(1,1,m), |=|, 又ACB=60,ABC为正三角形,AC=BC=AB=2. 在RtB中,NB=, 可得NC=,故C(0,1, ). 连结MC,作NHMC于H,设H(0, ) (0). =(0,1,), =(0,1, ) = 12=0, = ,H(0, , ), 可得=(0, ), 连结BH, 则=(1, ),=0+ =0, , 又MCBH=H, HN平面ABC, NBH为NB与平面ABC所成的角. 又=(1,1,0),cosNBH= = = .考点8 简单多面体的有关概念及应用，主要考察多面体的概念、性质，主要以填空、选择题为主，通常结合多面体的定义、性质进展判断.典型例题例12 .如图1，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器，当这个正六棱柱容器的底面边长为时容积最大.思路启迪设四边形一边AD，然后写出六棱柱体积，利用均值不等式，求出体积取最值时AD长度即可.解答过程：如图2设ADa，易知ABC60，且ABD30ABa .BD2a正六棱柱体积为V .V .当且仅当 12a4aa时，体积最大，此时底面边长为12a12 .答案为 .BACDEFGHIJ(A、B、C)DEFGHIJ例13.如图左，在正三角形ABC中，D、E、F分别为各边的中点，G、H、I、J分别为AF、AD、BE、DE的中点，将ABC沿DE、EF、DF折成三棱锥后，GH与IJ所成角的度数为A、90B、60C、45D、0思路启迪 画出折叠后的图形，可看出GH，IJ是一对异面直线，即求异面直线所成角.过点D分别作IJ和GH的平行线，即AD与DF，所以ADF即为所求.因此GH与IJ所成角为60，答案:B例14.长方体ABCDA1B1C1D1中， 设对角线D1B与自D1出发的三条棱分别成、角求证：cos2cos2cos21ABCADA1B1C1D1 设D1B与自D1出发的三个面成、角，求证：cos2cos2cos22思路启迪 因为三个角有一个公共边即D1B，在构造的直角三角形中，角的邻边分别是从长方体一个顶点出发的三条棱，在解题中注意使用对角线长与棱长的关系 利用长方体性质，先找出，然后利用各边 所构成的直角三角形来解.解答过程：连接BC1，设BD1C1，长方体三条棱长分别为a，b，c，设D1B则cos2同理cos2，cos2cos2cos2cos21连接D1C，BC平面DCC1D1BD1C即是D1B与平面DCC1D1所成的角，不妨设BD1C，则cos2同理：cos2，cos2.又2a2b2c2.cos2cos2cos22.考点9.简单多面体的侧面积及体积和球的计算棱柱侧面积转化成求矩形或平行四边形面积，棱柱侧面积转化成求三角形的面积.直棱柱体积V等于底面积与高的乘积.棱锥体积V等于Sh其中S是底面积，h是棱锥的高.典型例题例15.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，ABa，BCCAAA1a，A1在底面ABC上的射影O在AC上A1B1C1ABCDO 求AB与侧面AC1所成角； 假设O恰好是AC的中点，求此三棱柱的侧面积.思路启迪 找出AB与侧面AC1所成角即是CAB；三棱锥侧面积转化成三个侧面面积之和，侧面BCC1B1是正方形，侧面ACC1A1和侧面ABB1A1是平行四边形，分别求其面积即可.解答过程：点A1在底面ABC的射影在AC上，平面ACC1A1平面ABC.在ABC中，由BCACa，ABa.ACB90，BCAC.BC平面ACC1A1.即CAB为AB与侧面AC1所成的角在RtABC中，CAB45.AB与侧面AC1所成角是45.O是AC中点，在RtAA1O中，AA1a，AOa. AO1a.侧面ACC1A1面积S1.又BC平面ACC1A1，BCCC1.又BB1BCa，侧面BCC1B1是正方形，面积S2a2.ABCMNKLABCMNKL过O作ODAB于D，A1O平面ABC，A1DAB.在RtAOD中，AOa，CAD45ODa在RtA1OD中，A1D.侧面ABB1A1面积S3.三棱柱侧面积SS1S2S3.例16.等边三角形ABC的边长为4，M、N分别为AB、AC的中点，沿MN将AMN折起，使得面AMN与面MNCB所成的二面角为30，则四棱锥AMNCB的体积为A、B、C、D、3思路启迪先找出二面角平面角，即AKL ,再在AKL中求出棱锥的高h，再利用VSh即可.解答过程：在平面图中，过A作ALBC，交MN于K，交BC于L.则AKMN，KLMN.AKL30.则四棱锥AMNCB的高h.答案A例17.如图，四棱锥PABCD中，底面是一个矩形，AB3，AD1，又PAAB，PA4，PAD60PAHEDBC 求四棱锥的体积； 求二面角PBCD的大小.思路启迪找棱锥高线是关键，由题中条件可设PAD的高PH即是棱锥的高.找出二面角平面角PEH，在RtPHE中即可求出此角.解答过程：PAAB，ADAB.AB面PAD.又AB面ABCD.面PAD面ABCD.在面PAD，作PHAD交AD延长线于H.则PH面ABCD，即PH就是四棱锥的高.又PAD60，PH.过H作HEBC交BC延长线于E，连接PE，则HEAB3.PH面ABCD，PEBC.PEH为二面角PBCD的平面角. tanPEH.即二面角的大小为 arctan.RrAO1O例18 .2006年全国卷圆O1是半径为R的球O的一个小圆，且圆O1的面积与球O的外表积的比值为，则线段OO1与R的比值为 .命题目的：球截面的性质；球外表积公式.过程指引：依面积之比可求得，再在RtOO1A中即得解答过程：设小圆半径为r，球半径为R则 cosOAO1而故填三、解答题1 在正三棱柱ABCA1B1C1中，底面边长为a,D为BC为中点，M在BB1上，且BM=B1M，又CMAC1;（1） 求证：CMC1D;（2） 求AA1的长.2 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是矩形且AD=2，AB=PA=，PA底面ABCD，E是AD的中点，F在PC上.(1) 求F在何处时，EF平面PBC；(2) 在(1)的条件下，EF是不是PC与AD的公垂线段.假设是，求出公垂线段的长度；假设不是，说明理由；(3) 在(1)的条件下，求直线BD与平面BEF所成的角.3如图，四棱锥SABCD的底面是边长为1的正方形，SD垂直于底面ABCD，SB=1求证BCSC；2求面ASD与面BSC所成二面角的大小；3设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SB所成角的大小4在直角梯形ABCD中，D=BAD=90,AD=DC=AB=a,(如图一)将ADC 沿AC折起，使D到记面AC为a,面ABC为b面BC为g 1假设二面角a-AC-b为直二面角如图二，求二面角b-BC-g的大小;2假设二面角a-AC-b为60如图三，求三棱锥-ABC的体积5如图，正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，AF=1，M是线段EF的中点1求证AM/平面BDE；2求二面角A-DF-B的大小；3试在线段AC上确定一点P，使得PF与BC所成的角是60.