2022年高三数学4月联考试题理

2022年高三数学4月联考试题理注意事项：1.答题时，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置。2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4.选做题的作答：先把所做题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。5.考试结束后，请将答题卡上交；一、选择题：本题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 已知为虚数单位，复数，若为负实数，则的取值集合为（ ） A B C D 2.已知集合，集合，则集合为（ ）A. B. C. D. 3. 在展开式中， 二项式系数的最大值为 ，含项的系数为，则（ ）A. B. C. D. 4 .已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，直线过抛物线的焦点，且与抛物线的对称轴垂直，与交于两点，且，为抛物线准线上一点，则的面积为（ ）A. 16 B. 18 C. 24 D. 325.给出下列四个命题：“若为的极值点，则”的逆命题为真命题；“平面向量,的夹角是钝角”的充分不必要条件是若命题，则；命题“，使得”的否定是：“均有”.其中不正确的个数是（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 46. 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按31天算，记该女子一个月中的第天所织布的尺数为，则的值为（ ）A. B. C. D. 7. 若执行如右图所示的程序框图，输出的值为4，则判断框中应填入的条件是（ ） A. B. C. D.8. 已知，则（ ）A B C D 9. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 10. 若一个四位数的各位数字相加和为，则称该数为“完美四位数”，如数字“”.试问用数字组成的无重复数字且大于的“完美四位数”有（ ）个A B C D 11. 已知双曲线与双曲线的离心率相同，且双曲线的左、右焦点分别为，是双曲线一条渐近线上的某一点，且，则双曲线的实轴长为（ ）A. B. C. D. 12. 已知定义在上的函数与其导函数满足，若，则点所在区域的面积为（ ）A. 12 B. 6 C. 18 D. 9第卷（非选择题部分，共90分） 本卷包括必考题和选考题两部分。第1321题为必考题，每个试题考生都必须作答。第2223题为选做题，考生根据要求作答。二、填空题：本题共4题，每小题5分，共20分13.已知，若，则 .14. 若正实数满足，则的最小值为 .15. 已知等差数列的前项和为，并且，数列满足，记集合，若的子集个数为16，则实数的取值范围为 .16. 已知动点P在棱长为1的正方体的表面上运动，且线段，记点P的轨迹长度为.给出以下四个命题： ； ； 函数在上是增函数，在上是减函数.其中为真命题的是 （写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.（本小题满分12分）已知分别为锐角三个内角的对边，且（）求的大小；（）求的取值范围.18. （本小题满分12分）继共享单车之后，又一种新型的出行方式-“共享汽车”也开始亮相北上广深等十余大中城市，一款叫“一度用车”的共享汽车在广州提供的车型是“奇瑞eQ”，每次租车收费按行驶里程加用车时间,标准是“1元/公里+0.1元/分钟”，李先生家离上班地点10公里，每天租用共享汽车上下班，由于堵车因素，每次路上开车花费的时间是一个随机变量，根据一段时间统计40次路上开车花费时间在各时间段内的情况如下：时间（分钟）次数814882以各时间段发生的频率视为概率，假设每次路上开车花费的时间视为用车时间，范围为分钟.（）若李先生上、下班时租用一次共享汽车路上开车不超过45分钟，便是所有可选择的交通工具中的一次最优选择，设是4次使用共享汽车中最优选择的次数，求的分布列和期望.（）若李先生每天上下班使用共享汽车2次，一个月（以20天计算）平均用车费用大约是多少（同一时段，用该区间的中点值作代表）.19. （本小题满分12分）如图，多面体中，四边形是菱形，,，相交于，点在平面ABCD上的射影恰好是线段的中点（）求证：；（）若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成角（锐角）的余弦值 20. （本小题满分12分）如图所示，在中，的中点为,且，点在的延长线上，且.固定边，在平面内移动顶点，使得圆与边，边的延长线相切，并始终与的延长线相切于点，记顶点的轨迹为曲线.以所在直线为轴，为坐标原点如图所示建立平面直角坐标系.（）求曲线的方程；（）设动直线交曲线于两点，且以为直径的圆经过点，求面积的取值范围.21. （本小题满分12分）已知函数 ，（）当 时， 恒成立，求的取值范围；（）当 时，研究函数的零点个数；（）求证： (参考数据：)请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，已知圆的参数方程为，直线的参数方程为，定点. （）以原点为极点，轴的非负半轴为极轴，单位长度与平面直角坐标系下的单位长度相同建立极坐标系，求圆的极坐标方程；（）已知直线与圆相交于两点，求的值.23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知关于的不等式的解集不是空集，记的最小值为（）求的值； （）若不等式的解集包含 ，求实数的取值范围.江西省高三xx八校联考数学（理）试卷答案一、选择题：题号123456789101112答案BDBACBCADDDA二、填空题：本题共4题，每小题5分13.； 14. ； 15. ； 16. ；三、解答题17. 解：（）因为，由正弦定理有 即有 3分由余弦定理得，又A为锐角， A= 6分（）由题， 8分又在锐角中，有， 10分所以，所以， 的取值范围是. . 12分18. 解：（）李先生一次租用共享汽车，为最优选择的概率 依题意的值可能为0，1，2，3，42分 分布列01234P 6分 或 8分（）每次用车路上平均花的时间（分钟） 10 分每次租车的费用约为10+35.50.1=13.55元.一个月的平均用车费用约为542元. 12分19.解：（）取AO的中点H，连结EH，则EH平面ABCDBD在平面ABCD内，EHBD 2分又菱形ABCD中，ACBD 且EHAC=H，EH、AC在平面EACF内BD平面EACF，即BD平面ACF 5分 （）由（）知EH平面ABCD，以H为原点，如图所示建立空间直角坐标系H-xyz 6分EH平面ABCD，EAH为AE与平面ABCD所成的角，即EAH45，又菱形ABCD的边长为4，则 各点坐标分别为,E(0,0,) 7分易知为平面ABCD的一个法向量，记=，= ,= EF/AC， 8分设平面DEF的一个法向量为 （注意：此处可以用替代）即 ,令，则， 9分平面DEF与平面ABCD所成角（锐角）的余弦值为. 12分20. 解：（）依题意得，设动圆与边的延长线相切于，与边相切于， 则所以 2分所以点轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆，且挖去长轴的两个顶点.则曲线的方程为. 4分（）【法一】由于曲线要挖去长轴两个顶点，所以直线斜率存在且不为，所以可设直线 5分由得,，同理可得：,；所以，又，所以 8分令，则且，所以 10分又，所以，所以，所以，所以，所以面积的取值范围为. 12分【法二】依题意得直线斜率不为0，且直线不过椭圆的顶点，则可设直线：，且。设，又以为直径的圆经过点，则，所以 5分由得，则且，所以又 代入得：，所以， 代入得：恒成立所以且. 又；点到直线的距离为， 7分所以 9分（）当时，；（）当且时，又，当且仅当时取“”，所以，所以，所以，所以，所以； 11分 综合（1），（2）知. 12分21. 解： ()令则若，则，在递增，即在 恒成立，满足，所以； 2分若，在递增，且且时，则使进而在递减，在递增，所以当时，即当时， ，不满足题意，舍去；综合，知的取值范围为. 4分 ()依题意得，则，则在上恒成立，故在递增，所以，且时，；若，即，则，故在递减，所以，在无零点； 6分若，即，则使，进而在递减，在递增，且时，在上有一个零点，在无零点，故在有一个零点.综合，当时无零点；当时有一个公共点. 8分()由()知，当时，对恒成立， 令，则 即； 10分由()知，当时，对恒成立， 令，则，所以；故有. 12分22. 解：（）依题意得圆的一般方程为，将代入上式得，所以圆的极坐标方程为；4分（）依题意得点在直线上，所以直线的参数方程又可以表示为，代入圆的一般方程为得，设点分别对应的参数为，则，所以异号，不妨设，所以，所以. 10分23. 解：（）因为，当且仅当时取等号，故，即 5分 （） 则0.由已知得1-在上恒成立在上恒成立-43. 实数的取值范围是（-4，3）10分