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精品资源课题 ： 小结与复习 (三)教学目的：1在有关问题的解决过程中，进一步了解和掌握相关公理、定理的内容和功能，并探索立体几何中论证问题的规律；在有关问题的分析与解决的过程中提高逻辑思维能力、空间想象能力及化归和转化的数学思想的应用2在解决有关空间角的问题的过程中，进一步巩固关于直线和平面的平行垂直的性质与判定的应用，掌握作平行线 (面 )和垂直线 (面 )的技能；通过有关空间角的问题的解决，进一步提高学生的空间想象能力、逻辑推理能力及运算能力3通过教学使学生掌握基本的立体几何解题方法和常用解题技巧， 发掘不同问题之间的内在联系，提高解题能力4在学生解答问题的过程中，注意培养他们的语言表述能力和“说话要有根据”的逻辑思维的习惯、提高思维品质使学生掌握化归思想，特别是将立体几何问题转化为平面几何问题的思想意识和方法，并提高空间想象能力、推理能力和计算能力5使学生更好地理解多面体与旋转体的体积及其计算方法， 能够熟练地使用分割与补形求体积，提高空间想象能力、推理能力和计算能力授课类型： 练习课课时安排： 1 课时教具：多媒体、实物投影仪重要公式与方法：1三种空间角的向量法计算公式：异面直线a,b 所成的角： coscosa, b；直线 a 与平面( 法向量 n ) 所成的角： sincosa, n；锐二面角： coscosm, n，其中 m, n 为两个面的法向量。2. 用向量法求距离的公式：异面直线 a,b 之间的距离：AB na, nb, A a, Bb 。d，其中 n| n |直线 a 与平面之间的距离：AB n，其中 Aa, B。 n 是平面d的法向量。| n |两平行平面 ,之间的距离：欢下载精品资源AB nd，其中 A, B。 n 是平面的法向量。| n |点 A 到平面的距离：AB nd，其中 B， n 是平面的法向量。| n |点 A 到直线 a 的距离：| AB |2AB a2d，其中 Ba ， a 是直线 a 的方向向量。| a |两平行直线a, b之间的距离：AB a2d| AB|2，其中 A a, B b ， a 是 a 的方向向量。| a |教学过程 ：一、讲解范例：例 如图，已知正方形ABCD的边长为 4，E、 F 分别是 AB、 AD的中点， GC平面 ABCD，且 GC 2，求点 B到平面 EFG的距离分析：由题设可知、 、两两互相垂直， 可以由此建立空间直角坐标系用CG CB CD向量法求解，就是求出过B 且垂直于平面 EFG的向量，它的长即为点B 到平面的距离EFG解：如图，设 CD4 i， CB 4 j ， CG2 k ，以 i、 j、 k 为坐标向量建立空间直角坐标系C xyz由题设 C(0,0,0)，A(4,4,0) ，B(0,4,0) ，D(4,0,0)，E(2,4,0) ，F(4,2,0)，G(0,0,2)BE(2,0,0)， BF(4, 2,0) ，BG(0, 4,2) ， GE(2,4, 2) ，EF(2, 2,0)设 BM平面 EFG， M为垂足，则M、 G、 E、 F四点共面，由共面向量定理知，存在实数 a、 b、 c，使得 BMaBEbBFcBG (abc1) ，欢下载精品资源BMa(2,0,0)b(4,2,0)c(0,4,2)(2a+4,2 4c,2c)b b由BM平面，得BMGE，BMEF，于是EFGB MG E0， BM EF0( 2a4b,2b4c,2c)( 2,4, 2)0( 2a4b,2b4c,2c)( 2,2,0)0abc1a15a5c0117 整理得：a3b 2c 0，解得babc1113c11 BM (2 a+4b, 2b 4c,2 c) ( 2 , 2 , 6 ) 11 11 11222211226 |BM|11111111故点 B 到平面 EFG的距离为 2 1111另法： B(0, 4,0)， E(2,4,0)， F (4,2,0)， G (0,0,2)设 EFG的方程为：AxBy CzD 02A4BD0D , CD则4A2BD0 AB2CD062取 D 6，则 A=B=1,C=3所以 EFG的方程为：xy3z60 ，所以点 B(0, 4,0) 到平面 EFG的距离为：欢下载精品资源| Ax0 By0Cz0 D |22 11dB2C 211.A211说明：用向量法求点到平面的距离，常常不必作出垂线段，只需利用垂足在平面内、共面向量定理、两个向量垂直的充要条件解出垂线段对应的向量就可以了例 2已知正方体ABCD A B C D 的棱长为 1，求直线 DA 与 AC的距离分析：设异面直线DA 、 AC的公垂线是直线l ，则线段 AA 在直线 l 上的射影就是两异面直线的公垂线段， 所以此题可以利用向量的数量积的几何意义求解解：如图， 设 B A i ， B C j ， B Bk ，以 i 、 j 、k 为坐标向量建立空间直角坐标系B xyz ，则有 A(1,0,0) ， D (1,1,1) ， A(1,0,1) ， C(0,1,1) DA (0,1, 1)， AC(1,1,0) ， A A(0,0,1) 设 n(x, y, z) 是直线 l 方向上的单位向量，则x2y 2z21nDA ， nAC ，yz033xy0，解得 xyzxyz或3x2y 2z213取 n(3, 3,3 ) ，则向量 A A 在直线 l 上的投影为333n A A(3 ,3 ,3 ) (0,0,1)33333由两个向量的数量积的几何意义知，直线DA 与 AC的距离为33例 3如图，已知线段AB 在平面 内，线段 AC，线段 BD AB，线段DD ，DBD 30 ，如果AB a， AC BDb，求 C、 D间的距离欢下载精品资源解：由 AC，可知 ACAB 由DBD 30 可知， CA , BD 120 ， |CD |2 (CAABBD )2 |CA |2 | AB |2 | BD |2 2( CAAB CA BD AB BD ) b2a 2b22b 2 cos120 a 2b2 CDa 2b2小结：选定空间同起点且不公面的三个向量作为一个基底，并用它表示指定的向量，是用向量知识解决立体几何问题的基本要领解题中要结合已知和未知去观察图形、联想有关的运算法则和公式等，就近表示所需的向量，再对照目标将不符合要求的向量加以调整，如此反复，直至所有向量符合目标要求例 4如果一条直线与一个平面平行那麽过这个平面内的一点与这条直线平行的直线必在这个平面内已知： a ， A ， Ab 且 a b求证： b证明：假设 b过 A 点和 a 确定平面为a， =b1， b1， A b1Ab1 a a b1由 a b 而 b， b1 都过点 A这样，在平面内过 A 有两条直线 b 和 b1 都平行于 a这是不可能的 b例 5正方形ABCD和正方形 ABEF所在平面互相垂直，点M，N 分别在对角线 AC和 BF 上，且 AM=FN求证： MN平面 BEC分析：证线面平行线线平行，需找出面BEC中与 MN平行的直线证法（一）：作 NKAB 交 BE于 K，作 MH AB交 BC于 H MH NK ABCD与 ABEF是两个有公共边AB的正方形它们是全等正方形FE AM=FN CM=BNN又 HCM= KBN， HMC= KNBK HCM KBN MH=NKAB MHKN是平行四边形 MNHKP HK 平面 BEC MN平面 BECMHC欢下载精品资源 MN平面 BEC证法（二）：分析：利用面面平行线面平行过 N作 NP BE，连 MP， NP AF FN/FB=AP/AB AM=FN， AC=BF FN/FB=AM/AC AP/AB=AM/AC MP BC平面 MNP平面 BCE MN平面 BCE例 6在三棱锥 P-ABC中，三条侧棱 PA， PB， PC两两垂直， H 是 ABC的垂心求证： PH 底面 ABC ABC是锐角三角形P证明： PA PB PAPC且 PB PC=P PA 侧面 PBC 又 BC 平面 PBD PA BC H 是 ABC的垂心 AH BC PA AH=A BC 截面 PAH又 PH 平面 PAH BC PHACH同理可证： AB PH 又 AB BC=BPH 面 ABCE设 AH与直线 BC的交点为 E，连接 PEB由知 PH 底面 ABC AE为 PE在平面 ABC的射影由三垂线定理： PE BC PB PC即 BPC是直角三角形， BC为斜边 E 在 BC边上 由于 AE BC，故 B C都是锐角同理可证：A 也是锐角 ABC为锐角三角形例 7 正三棱柱ABC-A1B1C1 的侧面三条对角线AB1， BC1， CA1 中， AB1 BC1求证： AB1 CA1证明：取AB， A1B1 中点 D， D1 连接 CD， C1D1 及 A1D， BD1由三棱柱可知，面A1B1C1面 AB1C1在正 A1B1C1 中， C1D1A1B1 C1D 面 AB1 ( 同理 CD 面 AB1) BD1 是 BC1 在平面 AB1 内的射影 AB1 BC1 AB1 BD1 BD1 AD1 AB1 A1D且 AD1 是 A1C在平面 AB1 内的射影 AB1 A1C例 8 在正四棱柱 AC1 中，底面边长为 1，侧棱长为 2，求 D1B1 与平面 A1BCD1 所成的角求 B1 到平面 A1BC1 的距离A1B1CAB分析：按定义需作 B1D1 在平面 A1BCD1上的射影，那麽在此平面上射影的位置该落何处，这就是要考虑垂足的定位问题常用方法： 过 B1 作 A1B 的垂线 B1E B1E 平面 A1BCD1 过 B1 作平面 A1BCD1 的垂线 B1E 平面 A1BCD1 E A1B欢下载精品资源(3) 在垂面内做垂线D1解： BC AB , BCBB1 BC 面 A1B面 A1C 面 A1B过 B1 作 B1E A1B=EB1E 平面 A1BCD1A1连 D1E，则 D1E 是 B1D1 在平面 A1BCD1 上的射影故 B 1D1E 即 B1D1 与平面 A1BCD1所成的角DE且在 Rt B 1ED1 中， B1E=A1B1*B1B/A1B=252A Sin B 1D1E=51025(2) 解一：正方形A1B1C1 D1 中 ,等腰BA1C1 中 A1C1 B 1D1 ,BO A 1C1 A1C1 面 B1BO面 A1C1B 面 B1BO过 B1作高线 BO垂线B1 HBO 于 H则 B1 H面 A1C1B连 A1C1，过 B1 作平面 A1BC1 的垂线，垂足为 H，则 B1H的长即点 B1 到平面 A1BC1 的距离，由正棱柱性质 :B 1A1，B1C1， B1B 两两垂直 H是 A1BC1 的垂心连 BO则 BO A1C1 H BOC1B 1CB B1B 底面 A1C1B1B B1O， B1H BOBB1OB12222B 1H=323OB2(OB= 22(2) 23 2)22D 1OA 1HDC1B 1C即顶点 B1 到截面 A1BC1 的距离为23AB解二：（利用等积法 ）考察四面体B1A1BC1设顶点 B1 到 A1BC1 的距离为h则为三棱柱B1-A 1BC1 的高VB1-A 1BC1=VB-ABC1 1 *SA1BC1*h= 1 *S A1BC1*B1B A1C1 BO33 1 * 1 *A 1C1*BO*h= 1 * 1 *A 1B1*B1C1*BB13232 B 到平面 A1BC1 的距离为23欢下载精品资源二、小结：利用向量方法求解空间距离问题，可以回避此类问题中大量的作图、证明等步骤，而转化为向量间的计算问题运用向量的坐标表示及其运算研究立体几何中的角、距离、证明垂直等问题时，关键是建立适当的坐标系，进而将向量坐标化， 建立坐标系时， 要充分利用图形的几何性质 掌握运用向量求角、距离的方法三、课后作业：四、板书设计（略）五、课后记：欢下载
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