型曲线积分补充课件

型曲线积分补充第十一章积分学 定积分二重积分三重积分积分域 区 间 平面域 空间域 曲线积分曲线积分曲线弧曲线弧曲面域曲面域曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分曲面积分曲面积分曲线积分与曲面积分 目录 上页 下页 返回 结束 型曲线积分补充第一节一、对弧长的曲线积分的概念与性质一、对弧长的曲线积分的概念与性质二、对弧长的曲线积分的计算法二、对弧长的曲线积分的计算法对弧长的曲线积分 第十一章 目录 上页 下页 返回 结束 型曲线积分补充tttttfsyxfLd)()()(, )(d),(22二、对弧长的曲线积分的计算法二、对弧长的曲线积分的计算法基本思路基本思路:计算定积分转 化定理定理:),(yxf设且)()(tty上的连续函数,是定义在光滑曲线弧则曲线积分),(:txL,d),(存在Lsyxf求曲线积分目录 上页 下页 返回 结束 型曲线积分补充xyOxdydsd说明说明:, 0, 0) 1 (kkts因此积分限必须满足!(2) 注意到 22)(d)(ddyxstttd)()(22x因此上述计算公式相当于“换元法”. 目录 上页 下页 返回 结束 型曲线积分补充如果曲线 L 的方程为( ) (),yy xaxb则有Lsyxfd),(如果方程为极坐标形式:),()(: rrL则syxfLd),()sin)(,cos)(rrf推广推广: 设空间曲线弧的参数方程为)()(, )(),(:ttztytx则szyxfd),(ttttd)()()(22221( )dyxxd)()(22rr( , ( )baf x y x)(),(, )(tttf目录 上页 下页 返回 结束 型曲线积分补充例例1. 计算,dLsy其中 L 是抛物线2xy 与点 B (1,1) 之间的一段弧 . 解解:)10(:2xxyLLsyd10 xxxd)2(12xxxd4110210232)41 (121x)155(121上点 O (0,0)O1Lxy2xy ) 1 , 1 (B目录 上页 下页 返回 结束 型曲线积分补充例例2. 计算半径为 R ,中心角为2的圆弧 L 对于它的对称轴的转动惯量 I (设线密度 = 1). 解解: 建立坐标系如图,RxyOLsyILd2d)cos()sin(sin2222RRRdsin23 R0342sin22 R)cossin(3 R则 )(sincos:RyRxL目录 上页 下页 返回 结束 型曲线积分补充例例3. 计算,dsxIL其中L为双纽线)0()()(222222ayxayx解解: 在极坐标系下它在第一象限部分为)40(2cos:1arL利用对称性 , 得sxILd414022d)()(cos4rrr402dcos4a222a,2cos:22arLOyx44目录 上页 下页 返回 结束 型曲线积分补充例例5. 计算,d2sx其中 为球面 2222azyx被平面 所截的圆周. 0zyx解解: 由对称性可知sx d2szyxsxd)(31d2222sa d312aa2312332asy d2sz d2目录 上页 下页 返回 结束 型曲线积分补充d d s例例6. 计算,d)(222szyxI其中 为球面解解: , 11)(:24122121zxyx:202)sin2(2)cos2(2)sin2(18d22920Id2cos221z. 1的交线与平面 zx29222zyx化为参数方程 21cos2x sin2y则目录 上页 下页 返回 结束 型曲线积分补充内容小结内容小结1. 定义定义kkknkksf),(lim10szyxfd),(2. 性质性质kknkksf),(lim10Lsyxfd),(szyxgzyxfd),(),() 1 (21d),(d),(),()2(szyxfszyxfszyxfd),(21组成由ls d)3( l 曲线弧 的长度)szyxfd),(),(为常数szyxgd),(目录 上页 下页 返回 结束 型曲线积分补充3. 计算计算 对光滑曲线弧, )( , )(, )(:ttytxLLsyxfd),( 对光滑曲线弧, )()(:bxaxyLLsyxfd),(baxxf) )(,(),()(: rrLLsyxfd),()sin)(,cos)(rrf 对光滑曲线弧tttd)()(22xx d)(12d)()(22rr)(),(ttf目录 上页 下页 返回 结束 型曲线积分补充补充补充1. 已知椭圆134:22yxL周长为a , 求syxxyLd)432(22提示提示:0d2sxyL原式 =syxLd)34(1222sLd12a12O22yx3利用对称性sxyLd2sxyLd2上sxyLd2下x2xyd1222)(2xxyd1222分析分析: