二次函数与几何综合(辅助圆)

二次函数背景下辅助圆的作用【题型特点】代几综合题命题的主要结合点是方程与几何、函数与几何等。它的解法多种多样,所涉及的重要知识一般有：一元二次方程根的判别式和求解方法；一次函数和二次函数的图象及其性质；圆的有关性质和相似形；解直角三角形等。解题中用到的数学思想方法主要有：方程与函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化思想及待定系数法、配方法等。从题型上看,大致有两类：是以代数知识为主要背景,结合函数图象及某些几何条件,求函数解析式、一元二次方程或它们中的字母系数的范围,以及一些相关的问题；二是以几何图形为主要背景,求一个几何量与另一个几何量之间的函数关系及相关问题。这些综合题需要有较强的阅读理解能力以及获取有效信息的能力。温习时首先要打好基础,熟悉基本图形和基本方法是解好综合题的前提,要注意知识的前后联系,其次要注重对同一问题的通法和巧解的理解。 在某些数学习题中,借助辅助圆解（证）题是比较生疏的一种解题方法,但同时又是一种行之有效的解题方法。解（证）平面几何题,最棘手的莫过于添加辅助线。常用添辅助线的方法,有连结、延长、平移或旋转,这些都是对直线而言的。至于利用辅助圆解（证）平面几何题,虽远不如直线那么为人所熟知,但如果辅助圆添加合理,同样可以使分散的条件集中,隐蔽的条件明显；同样为交流条件与结论之间的内在联系而起到事半功倍的作用；同样可以交流数学知识之间的联系。因此,在平时的学习中,将已知条件、欲求的结论以及所给图形的特点三个方面去认真分析、思考,即可发现,适当添加辅助圆,并利用圆的有关性质以及定理,就能巧妙地找到解决问题的途径。【真题分析】例1（2012朝阳一模） 在矩形ABCD中,点P在AD上,AB=2,AP=1,将三角板的直角顶点放在点P处,三角板的两直角边分别能与AB、BC边相交于点E、F,连接EF（1）如图,当点E与点B重合时,点F恰好与点C重合,求此时PC的长；（2）将三角板从（1）中的位置开始,绕点P顺时针旋转,当点E与点A重合时停止,在这个过程中,请你观察、探究并解答：PEF的大小是否发生变化？请说明理由。例2（2011绍兴）抛物线y=与y轴交于点A,顶点为B,对称轴BC与x轴交于点C（1）如图1求点A的坐标及线段OC的长；（2）点P在抛物线上,直线PQBC交x轴于点Q,连接BQ。 若含45角的直角三角板如图2所示放置其中,一个顶点与点C重合,直角顶点D 在BQ上,另一 个顶点E在PQ上求直线BQ的函数解析式； 若含30角的直角三角板一个顶点与点C重合,直角顶点D在直线BQ上,另一个顶 点E在PQ上,求点P的坐标。例3平面直角坐标系xOy中,抛物线与x轴交于点A、点B,与y轴的正半轴交于点C,点 A的坐标为(1,0),OB=OC,抛物线的顶点为D。 （1） 求此抛物线的解析式； （2） 若此抛物线的对称轴上的点P满足APB=ACB,求点P的坐标； （3）变式：若此抛物线的对称轴上的点P满足APD=ACB,求点P的坐标。例4如图抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）,与y轴交于点C 。（1）求点A、B的坐标；（2）若直线l过点E（4,0）,M为直线l上的动点,当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时,求直线l的解析式 。【专题归纳】我们需要的圆并不存在(有时题设中没有涉及圆；有时虽然题设涉及圆,但是此圆并不是我们需要用的圆),这就需要我们利用已知条件,借助图形把需要的实际存在的圆找出来。（一）构造辅助圆可提供思路方向的基本题型和基本图形：1、确定直角顶点或等腰三角形顶点的题2、含共点相等线段的图形3、一组对角互补的四边形4、一个外角等于它的内对角的四边形5、同底同侧顶角相等的两个三角形6、同底同侧顶角存在2倍关系的三角形7、有大众斜边的两个直角三角形（二）添补辅助圆的常见方法有：1利用圆的定义构造辅助圆：题目中含有共点的等线段时,由圆的定义,便可以配合的端点为圆心,以等线段的长为半径构造辅助圆。2利用圆周角的性质构造辅助圆：题目中确定直角三角形直角顶点的位置时,常利用圆周角的性质：直径所对的圆周角为直角。由此构造以斜边为直径的圆。3.直接作三角形的外接圆（通过作两边垂直平分线的交点确定外接圆圆心）。 （三）画出辅助圆就可以应用圆的有关性质。 常用的有：1、同弧所对的圆周角相等。2、圆内接四边形对角互补,外角等于内对角。3、圆心角(圆周角)、弧、弦、弦心距的等量关系。恰当地构造辅助圆,巧妙地运用圆的有关知识找到解题捷径, 往往可化难为易, 化繁为简。构造辅助圆解题的关键是要善于发现隐含于题中与圆有关的信息,抓住题目的特征,从复杂图形中提炼出构造辅助圆的基本图形,从而拓宽解题思路。因此,构造辅助圆在二次函数背景下的代几综合题中具有不可忽视的作用。知识改变命运4 / 4