尺规作图五点定椭圆的方法

尺规作图五点定椭圆的方法徐文平（东南大学 南京210096）摘要：已知椭圆上五点，通过确定椭圆圆心、椭圆主轴方向和椭圆长轴短轴位置等三个步骤，尺规作图完成椭圆作图。椭圆在开普勒行星运行三定律中扮演了重要角色，在机械制图和土木工程领域中也有重要运用。利用几何画板和cad软件，依据任意五个点的椭圆尺规作图，具有重要意义。一、引言在几何画板和cad软件中， 任意五个点作椭圆，具有意义。五点定椭圆在卫星轨道，机械制图和土木工程中是有重要用途。第一步，通过五点寻找椭圆圆心第二步，确定椭圆坐标x、y主轴方向第三步、确定椭圆的长轴a和短轴b 1）大狗熊定理1：二次圆锥曲线内接四边形的对边延伸线两交点调和分割对角线两极点。如图1，椭圆内接四边形KLMN，对边线KN与LM交于A，对边线KL与NM交于B，对角线KM的极点为C，对角线LN的极点为D，KM与LN交于Q点，则A、B、C、D四点共线，且AB调和分割CD，即1/AC+1/AD2/AB。双曲线和抛物线也具有同样性质。 2）命题1：已知椭圆的斜向割线AB，作一条过椭圆圆心O点的任意割线JK， JA、BK交于E点，JB、AK交于F点，确定EF的中点N点，连线NA、NB就是椭圆的切线。 证明：由于割线JK的切线交点极点在无穷远，利用定理1，可以快速证明这个命题。 定理2：圆锥曲线 的内接完全四点形的对边三点形是圆锥曲线的自配极三点形。命题3（高斯定理）：已知椭圆外一点P，过P点作PAB与PCD二条任意椭圆割线，AD、CB交于Q点，AC、BD延长交于R，连线QR与椭圆交于S、T两点，PS、PT就是椭圆的切线。 图 3二、通过五点寻找椭圆圆心原理：通过已知五点，作椭圆切线，获得割线的极点，将割线的极点和割线中点连接并延伸，必定通过椭圆的圆心。图 4问题1：只有五点，没有坐标轴和原点，椭圆斜的，割线PQ的切线极点如何办？切线方法：帕斯卡定理（五点 + 一个切点二次）做切线，或者如图5方法作切线。图 5命题4：已知椭圆上P、H、G、Q、A五点，利用椭圆内接四边形PQGH确定对角线PQ和GH交叉点T，可绘制极点T的极线E F，利用椭圆内接四边形PQAB(H)确定对角线PQ和AB(H)交叉S点（利用帕斯卡定理，新构造椭圆第六点B点，替换H点），绘制极点S的极线MN，极线MN和极线EF交于C点，C点即为PQ割线的极点。证明：依据极点极线的对偶定理，由于 S、T为PQ极线上的二点，可可知S、T极点的极线MN和极线EF相交于C点就是PQ的极点，连线PC、QC就是椭圆的切线。（该方法也适合于双曲线和抛物线的情况）问题2：椭圆上五点有时候似乎不够啊，如何构造椭圆上的临时第六点啊。命题5：运用帕斯卡原理，通过椭圆上五点，可以增加椭圆上一点。Pascals定理为通过五点作圆锥曲线提供了一种优美的解决方案。设已给1, 2, 3, 4, 5五点，其中任意三点不在同一直线上（特例将在后面讨论），但五点的平面位置为任意。我们将这五点依次相连，并设线段12与45的交点为L。为了构作圆锥曲线上的任意一点，如点6，我们通过点1任意作一直线a，设a与线段34交于点N，再通过L和N作直线b，设b与a交于M，图74-3；再通过5和M作直线c，则c与a的交点就是期望的第六点6命题6：利用侯明辉三割线定理加上阿波罗尼斯圆的调和分割性质，构造更多椭圆点。在尺规作图五点定椭圆中，已知椭圆上五点（不知道椭圆曲线，不知道椭圆圆心，也不知道椭圆的xy坐标主轴情况下），需要构造其他的椭圆点。即A、B、C三点已经知道（还有其他二点知道），采用其他办法作出AB割线的极点N，利用侯明辉三割线定理以及调和分割性质确定新的椭圆点 E点方法：连接CN线段交AB线段于M点，取线段MN中点J为圆心，画圆直径为MN，过C点作MN的垂直线交圆于F点，过F点作切线（或者是作垂直JF的线段EF），交MN于E点，则构成调和分割的第四点。本例子是构成了椭圆上的新点用途。图 7工程应用实例：（是用5点定圆心的，没有构造第六点方法）图 8三、确定椭圆坐标主轴方向目标：通过已知的椭圆圆心和椭圆上三点，寻找椭圆坐标主轴方向。图 9原理：利用椭圆圆心，构造二条共轭直径，然后确定椭圆坐标主轴方向方法：利用椭圆圆心，首先构造一条共轭直径，作图共轭直径端点的切线方向（确定另外一条共轭直径的方向），作平行线通过构筑一条椭圆共轭弦，采用仿射几何方法转换为二条共轭直径。1) 作AB割线的切线极点N图 102) 作AF共轭直径(连接OA)，作CL共轭弦(平行AN) 图 113) 仿射几何构筑OE共轭半径图 12方法：作直径为AF的圆，过N点作MN垂直AF，作三角形MNL. 作KO垂直AF，过K点作MLDE 平行线，KE和OE延伸交于E点。依据仿射原理，可知，OE为椭圆的共轭半径。4) 构筑椭圆坐标主轴方向图 13方法：绕椭圆圆心O点，OE旋转90度，获得N点，连接NA连线，获得NA中点KK点为圆心，作任意半径的圆，与KO交于W点，与NA交于H、G点。. 则WC为长轴方向，HW为短轴方向，完成椭圆坐标主轴方向确定。证明：分析OK线段的斜率与NA线段的斜率的关系（1）共轭直径的性质图 14 如果，点，椭圆共轭直径推理，则有， 对于点C分析，则有： ， （2）共轭直径的椭心角为90 简单分析可以得到，C1OA190 图 15（3）共轭半径旋转90图 16 分析可以得知：，C点绕原点旋转90，则：， （4）图形分析研究图 17 问题1：延伸连线NK，与坐标轴交于U、V两点。要构筑椭圆坐标主轴方向的方法成立，只需证明1VOA1VOK=OVU=1，即证明OKV和ONU是等腰三角形，命题就成立。 现在，VOK=1 已经成立 ，由于： ， 则： 坐标，可以化为 分析NA线段的斜率：则： ， 等腰三角形图形成立，命题成立。问题2：K点为OA1与NA线段的交点，是不是位于NA线段的中点啊。 假如K为NA线段的中点，分析K、A1、O三点共线，就ok K点坐标， 对于OK线段分析斜率： ，斜率相同，命题成立。四、确定椭圆长轴a和短轴b目标：已知椭圆心和坐标轴、已知椭圆上二点，确定椭圆长轴a和短轴b原理：运用极点和极线关系，构造自配极三角形，确定椭圆长轴和短轴位置。方法：利用椭圆上二点构造轴对称二点，构成椭圆内接四边形，连接对角线，获得交叉点和对边交叉点，运用二个极点的数学关系，完成长轴和短轴位置。 1）构造自配极三角形，寻找二个对偶极点图 18 E点为B点的轴对称点，N点为x轴与AE的交叉点 令 ，极点极线关系方程分析得知： （类似椭圆准线方程） 2）确定长轴a位置 连线QN， K为QN中点，以K圆心半径为KN画圆，过O点作圆K的切线E，以OE为半径原点O为圆心作一个圆，与 x轴交于F点，F点即为长轴a图 193）确定长轴b位置 利用切线方法，构造割线AB的极点N点，过N点作水平线交y轴于G点，延伸割线AB与y轴交于P点，连线PG， K为PG中点，以K圆心半径为KP画圆，过O点作圆K的切线R，以OR为半径原点O为圆心作一个圆，与y轴交于U点，U点即为短轴b图 20 参考文献：1 李建华.射影几何入门M，科学出版社，2011.62 徐文平.圆锥曲线内接四边形的四极点调和分割定理J，数学学习与研究2014.133 徐文平.圆锥曲线切线的尺规作图简明方法 J，数学学习与研究2014.74 格拉祖诺夫.（徐良佐译）.轴测投影学M，人民教育出版社，19565 汪贵平.椭圆的椭心角和共轭直径的性质 J，中学数学月刊究，2010.5