第一节不定积分的概念与性质

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,定义,1,设函数,y,=,f,(,x,),在某区间上有定义,，,如果存在函数,F,(,x,)，,对于该区间上任一点,x,，,使,F,(,x,)=,f,(,x,) 或 d,F,(,x,) =,f,(,x,)d,x,，,则称函数,F,(,x,),是已知函数,f,(,x,),在该区间上的一个,原函数,.,一、原函数与不定积分,(,x,3,+,C,),= 3,x,2,(,C,为任意常数,),，,所以,x,3,+ 1，,x,3,+,C,都是 3,x,2,在区间 (, ,) 内的原函数.,例如，因为在区间 (, ,) 内有(,x,3,),= 3,x,2,，,所以,x,3,是 3,x,2,在区间 (, ,) 内一个原函数，,又因为(,x,3,+,1,),= 3,x,2,，,一般地，,若,F,(,x,) 是,f,(,x,) 在某区间上的一个原函数，,则函数族,F,(,x,),+,C,(,C,为任意常数,),都是,f,(,x,) 在该区间上的原函数.,移项得,(,x,) =,F,(,x,),+,C,.,因为,(,x,) 是,f,(,x,),的任一个原函数，,因为 ,(,x,),-,F,(,x,),=,(,x,),F,(,x,) =,f,(,x,),-,f,(,x,) = 0，,由微分中值定理的推论得,(,x,),-,F,(,x,) =,C,(,C,为常数,)，,设,F,(,x,) 是,f,(,x,) 在区间,I,上的一个确定的原函数，,(,x,) 是,f,(,x,) 在区间,I,上的任一个原函数，,F,(,x,) =,f,(,x,)，,(,x,) =,f,(,x,).,所以,F,(,x,),+,C,是,f,(,x,) 在区间,I,上的全体原函数的一般表达式.,即,其中符号 称为积分号，,f,(,x,) d,x,称为被积表达式,，,或称被积分式,，,x,称为积分变量,，,定义,2,若,F,(,x,),是,f,(,x,),在区间,I,上的一个原函数,，,即,则,F,(,x,),+,C,(,C,为任意常数,),称为,f,(,x,),在该区间上的,不定积分,，,记为,f,(,x,),称为被积函数,，,C,称为积分常数,.,例,1,求下列不定积分,解,根据不定积分的定义，只要求出被积函数一个原函数之后，再加上一个积分常数,C,即可.,(,1,),被积函数,f,(,x,) = 2,x,，,因为 (,x,2,),= 2,x,，,即,x,2,是 2,x,的一个原函数 ，,所以，不定积分,(,2,),被积函数,f,(,x,) = sin,x,，,因为 (,-,cos,x,),= sin,x,，,即,-,cos,x,是 sin,x,的一个原函数，,所以，不定积分,所以得,所以得,当,x 0 时，,所以,合并以上两种情况，当,x,0 时，得,例,2,求不定积分,解,(,2,),或,二、不定积分的基本性质,(,1,),基本积分表,例,3,求不定积分,解,先把被积函数化为幂函数的形式，再利用基本积分公式，,(,1,),(,2,),得,例,4,求不定积分,解,性质,1,两个函数和的不定积分等于各个函数不定积分的和,，,三、不定积分的性质,即,性质 1 可推广到有限多个函数代数和的情况，,即,性质 1 称为分项积分.,证,根据不定积分定义，只须验证上式右端的导数等于左端的被积函数.,性质,2,被积函数中的不为零的常数因子可以提到积分号外,，,(,k,为不等于零的常数,),证,类似性质 1 的证法，,有,即,例,5,求不定积分,即各积分常数可以合并.,其中,C,=,C,1,-,2,C,2,+ 2,C,3,，,因此，求代数和的不定积分时，,解,只需在最后写出一个积分常数,C,即可.,例,6,求,解,例,7,求,解,四、不定积分的几何意义,若,y,=,F,(,x,) 是,f,(,x,) 的一个原函数，,则称,y,=,F,(,x,) 的图形是,f,(,x,) 的,积分曲线,.,因为不定积分,是,f,(,x,) 的原函数的一般表达式，,所以它对应的图形是,一族积分曲线,，,称它为积分曲线族,.,积分曲线族,y,=,F,(,x,),+,C,的特点是：,当,C, 0,时，向上移动；,(,1,)积分曲线族中任意一条曲线，,可由其中某一条(例如，曲线,y,=,F,(,x,),),沿,y,轴平行移动|,C,|单位而得到.,当,C, 0,时，向下移动；,(,2,),由于 ,F,(,x,),+,C,= F,(,x,) =,f,(,x,)，,即横坐标相同点,x,处，每条积分曲线上相应点的切线斜率相等，,都等于,f,(,x,)，,从而使相应点的切线相互平行,(,如图,),x,y,O,y = f,(,x,),y = f,(,x,),+,C,例,8,已知曲线上任一点的切线斜率等于该点处横坐标平方的 3 倍，且过点 (0,1)，求此曲线方程.,按题意，得,得,由条件,y,|,x,= 0,= 1 得,C,= 1，,y,=,x,3,+ 1.,解,设所求曲线为,y,=,f,(,x,).,于是所求曲线为,例,9,设一质点以速度,v,= 2,cos,t,作直线运动，开始时，质点的位移为,s,0,，求质点的运动规律.,解,质点的运动规律是指位移,s,是时间,t,的函数,s,=,s,(,t,)，,按题意有,得,由条件,s,|,t,=0,=,s,0,，,代入上式中，得,C,=,s,0,，,s,= 2sin,t,+,s,0,.,于是质点运动规律为,