导数的概念教案.doc

【教学课题】：2.1 导数的概念（第一课时）【教学目的】：能使学生深刻理解在一点处导数的概念，能准确表达其定义；明确其实际背景并给出物理、几何解释；能够从定义出发求某些函数在一点处的导数；明确一点处的导数与单侧导数、可导与连续的关系。 【教学重点】：在一点处导数的定义。【教学难点】：在一点处导数的几种等价定义及其应用。【教学方法】：系统讲授，问题教学，多媒体的利用等。【教学过程】：一） 导数的思想的历史回顾导数的概念和其它的数学概念一样是源于人类的实践。导数的思想最初是由法国数学家费马（Fermat）为研究极值问题而引入的，但导数作为微积分的最主要的概念，却是英国数学家牛顿（Newton）和德国数学家莱布尼兹（Leibniz）在研究力学与几何学的过程中建立起来的。二）两个来自物理学与几何学的问题的解决问题1 （以变速直线运动的瞬时速度的问题的解决为背景）已知：自由落体运动方程为：，求：落体在时刻（）的瞬时速度。问题解决：设为的邻近时刻，则落体在时间段（或）上的平均速度为若时平均速度的极限存在，则极限为质点在时刻的瞬时速度。问题2 （以曲线在某一点处切线的斜率的问题的解决为背景）已知：曲线上点，求：点处切线的斜率。下面给出切线的一般定义；设曲线及曲线上的一点，如图，在外上另外取一点，作割线，当沿着趋近点时，如果割线绕点旋转而趋于极限位置，直线就称为曲线在点处的切线。 问题解决：取在上附近一点，于是割线PQ的斜率为（为割线的倾角）当时，若上式极限存在，则极限 （为割线的倾角）为点处的切线的斜率。上述两问题中，第一个是物理学的问题，后一个是几何学问题，分属不同的学科，但问题的解决都归结到求形如 （1）的极限问题。事实上，在学习物理学时会发现，在计算诸如物质比热、电流强度、线密度等问题中，尽管其背景各不相同，但最终都化归为讨论形如（1）的极限问题。也正是这类问题的研究，促使“导数”的概念的诞生。 三） 导数的定义定义 设函数在的某邻域内有定义，若极限存在，则称函数在点处可导，并称该极限为在点处的导数，记作。即 （2）也可记作，。若上述极限不存在，则称在点处不可导。在处可导的等价定义：设，若则等价于，如果函数在点处可导，可等价表达成为以下几种形式： （3） （4） （5）四） 利用导数定义求导数的几个例子例1 求在点处的导数，并求曲线在点处的切线方程。解由定义于是曲线在处的切线斜率为2，所以切线方程为，即。 例2 设函数为偶函数，存在，证明：。证 又 注意：这种形式的灵活应用。此题的为。例3 讨论函数 在处的连续性，可导性。解 首先讨论在处的连续性：即在处连续。 再讨论在处的可导性： 此极限不存在即在处不可导。问 怎样将此题的在的表达式稍作修改，变为在处可导？答 ，即可。四）可导与连续的关系由上题可知；在一点处连续不一定可导。反之，若设在点可导，则由极限与无穷小的关系得：，所以当，有。即在点连续。故在一点处连续与可导的关系是：连续不一定可导，可导一定连续。 五） 单侧导数的概念例4 证明函数在处不可导。证明，极限不存在。故在处不可导。 在函数分段点处或区间端点等处，不得不考虑单侧导数：定义 设函数在点的某右邻域上有定义，若右极限 （）存在，则称该极限为在点的右导数，记作。左导数 。左、右导数统称为单侧导数。导数与左、右导数的关系：若函数在点的某邻域内有定义，则存在，都存在，且=。例5 设，讨论在处的可导性。解由于从而，故在处不可导。六） 小结:本课时的主要内容要求： 深刻理解在一点处导数的概念，能准确表达其定义； 注意这种形式的灵活应用。 明确其实际背景并给出物理、几何解释； 能够从定义出发求某些函数在一点处的导数； 明确导数与单侧导数、可导与连续的关系。 5