2012年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题参考解答及评分标准.doc

2012年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题参考解答及评分标准一、选择题（每小题6分，共36分）1、选B.解：.当时，取得最小值.2、选C.解：令，得 .又由是的系数，是的系数知：，从而，故 ， .3、选A.解：由已知得，而函数f(x)的值以6为周期重复性出现，所以f（2012）= f（2）=1, 故选A . 4、选D.解：由题设知为偶函数，则考虑在时，恒有 所以当，且时，恒有由于不等式的解集为，不等式的解集为因此当时，恒有. 故满足条件的a值有无数多个.5、选B. 解：因为，所以，；又，故故选B. 6、选B. 解：将15如图排列，此时最大数两边是，次大数两边是，所求和值最小，任何调整都将使“和值”变大；此时，但是要和为17，因此还得增加2，由于5个数两两不同，故2增加在最大数5上，此时“和值”最小，最小值为：. 二、填空题（每小题9分，共54分）1、 .解： （1） （2）（1）-（2）化简得 ；（3）（1）15+（2）8化简得；（4）设的夹角为，则，. 2、.解：在 的延长线上取一点 ，使 . 易证，平面 故 而 ，G到平面 的距离为 故 3、.解：画树状图可得 .4、. 解： 由已知及韦达定理，有 ，从而代数式=625.5、 .解：易知，. 而渐近线方程为.又右焦点到渐近线的距离为，故 .6、 .解：由及题设知，个位数字的选择有5种. 因为，故（1） 由知，首位数字的可能选择有种；（2） 由及知，首位数字的可能选择有种. 于是，符合题设的不同点的个数为.三、解答题（每小题20分，共60分）1、解：（I）若为偶数，则，(i)若为偶数，则 1若为偶数，则 5分 (1)若为偶数，则 若为偶数，则符合 若为奇数，则符合 (2)若为奇数，则，但不论m是奇数还是偶数，均不会使的分母出现3. 10分 2若为奇数，则 (1)若为偶数，则 若为偶数，则符合 若为奇数，则舍去 (2)若为奇数，则，但不论正整数m是奇数还是偶数，均不会使等于0. 15分(ii)若为奇数，则，但从正整数m递推不可能使的分母出现3 （II）若为奇数，则，但不论正整数m是奇数还是偶数，均不会使等于0.综上所述m所有可能的取值为32，5，4. 20分2、证明：如图，连结、，分别取、的中点、，则四边形是平行四边形. 5分于是，得, 又由，,从而 ，. 10分故 ， 又 ，得 ， 由于 ，从而 、 和、 分别四点共圆.15分于是， 故 20分3、解：(1) 以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，设 |CA|+|CB|=2a(a3)为定值，所以C点的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，所以焦距 2c=|AB|=6. 5分 因为 又 ，所以 ，由题意得 .此时，|PA|=|PB|，P点坐标为 P(0，4).所以C点的轨迹方程为 10分(2) 不妨设A点坐标为A(-3，0)，M(x1,y1),N(x2,y2).当直线MN的倾斜角不为900时，设其方程为 y=k(x+3) 代入椭圆方程化简，得 显然有 0， 所以 而由椭圆第二定义可得 15分只要考虑 的最小值，即考虑取最小值.当k=0时，取最小值16.当直线MN的倾斜角为900时，x1=x2=-3,得 .但 在，故，这样的M、N不存在，即的最小值的集合为空集. 20分