高中数学 第三章 数学归纳法与贝努利不等式 3.1 数学归纳法原理课件 新人教B版选修4-5.ppt

第三章数学归纳法与贝努利不等式 3 1数学归纳法原理 1 了解数学归纳法的原理 2 了解数学归纳法的应用范围 3 会用数学归纳法证明一些简单问题 1 归纳法由有限多个个别的特殊事例得出一般结论的推理方法 通常称为归纳法 名师点拨根据推理过程中考察的对象是涉及事物的一部分还是全部 归纳法分为不完全归纳法和完全归纳法 1 不完全归纳法是根据事物的部分 而不是全部 特例得到一般结论的推理方法 不完全归纳法所得到的命题不一定是成立的 但它是一种重要的思考问题的方法 是研究数学问题的一把钥匙 是发现数学规律的一种重要手段 用不完全归纳法发现规律 用数学归纳法证明是解决问题的一种重要途径 2 完全归纳法是一种在研究了事物的所有 有限种 特殊情况后得出一般结论的推理方法 又叫枚举法 与不完全归纳法不同 用完全归纳法得出的结论是可靠的 通常在事物包括的特殊情况不多时 采用完全归纳法 做一做1 2 从1 1 1 4 1 2 1 4 9 1 2 3 猜想第n个式子为 2 数学归纳法一般地 当要证明一个命题对于不小于某正数n0的所有正整数n都成立时 可以用以下两个步骤 1 证明当n n0时命题成立 2 假设当n k k N 且k n0 时命题成立 证明当n k 1时命题也成立 完成两个步骤后 就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立 这种证明方法称为数学归纳法 名师点拨1 这两个步骤缺一不可 只完成步骤 1 而缺少步骤 2 就作出判断可能得出不正确的结论 因为单靠步骤 1 无法递推下去 即n取n0以后的数时命题是否正确 我们无法判定 同样 只有步骤 2 而缺少步骤 1 也可能得出不正确的结论 缺少步骤 1 这个基础 假设就失去了成立的前提 步骤 2 也就没有意义了 2 用数学归纳法证明有关问题的关键在第二步 即n k 1时为什么成立 n k 1时成立是利用假设n k时成立 根据有关的定理 定义 公式 性质等数学结论推证出n k 1时命题成立 而不是直接代入 否则n k 1时也成假设了 命题并没有得到证明 3 用数学归纳法可证明有关的正整数问题 但并不是所有的正整数问题都用数学归纳法证明 学习时要具体问题具体分析 做一做2 1 下列说法中不正确的是 A 数学归纳法中的两个步骤相互依存 缺一不可B 数学归纳法证明的是与正整数有关的命题C 数学归纳法证明的第一步是递推的基础 第二步是递推的依据D 数学归纳法中第一步必须从n 1开始答案 D 故当n k 1时 不等式成立 上述的证明过程中 不正确的一步的序号为 解析 在 2 中 由n k到n k 1的证明 没有用上归纳假设 故 2 错误 答案 2 1 为什么数学归纳法能够证明无限多正整数都成立的问题呢 剖析 这是因为第一步首先验证了n取第一个值n0时命题成立 这样假设就有了存在的基础 假设当n k时命题成立 根据假设和合理推证 证明出当n k 1时命题也成立 这实质上是证明了一种循环 如验证了当n0 1时命题成立 又证明了当n k 1时命题也成立 这就一定有当n 2时命题成立 当n 2时命题成立 则当n 3时命题也成立 当n 3时命题成立 则当n 4时命题也成立 如此反复 以至无穷 对所有n n0的正整数命题就都成立了 数学归纳法非常巧妙地解决了一种无限多的正整数问题 这就是数学方法的神奇 2 什么时候可以运用数学归纳法证明 证明时n0是否一定要为1 剖析 数学归纳法一般被用于证明某些涉及正整数n的命题 n可取无限多值 但不能简单地说所有涉及正整数n的命题都可以用数学归纳法证明 例如用数学归纳法证明 n N 的单调性就难以实现 一般说来 从n k到n k 1时 若问题中存在可利用的递推关系 则使用数学归纳法就较简单 否则使用数学归纳法就有困难 在运用数学归纳法时 要注意起点n并非一定取1 也可能取2等值 要看清题目 比如证明凸n边形的内角和f n n 2 180 这里面的n应不小于3 即n 3 第一个值n0 3 题型一 题型二 题型三 题型四 用数学归纳法证明恒等式 例1 用数学归纳法证明 分析 用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的关键是第二步 要注意当n k 1时等式两边的式子与n k时等式两边的式子的联系 增加了哪些项 减少了哪些项 问题就会顺利解决 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型四 题型三 用数学归纳法证明整除性问题 例2 求证 an 1 a 1 2n 1能被a2 a 1整除 n N 分析 对于多项式A B 如果A BC C也是多项式 那么A能被B整除 若A B都能被C整除 则A B A B也能被C整除 证明 1 当n 1时 a1 1 a 1 2 1 1 a2 a 1 命题显然成立 2 假设当n k k N 且k 1 时 ak 1 a 1 2k 1能被a2 a 1整除 则当n k 1时 ak 2 a 1 2k 1 a ak 1 a 1 2 a 1 2k 1 a ak 1 a 1 2k 1 a 1 2 a 1 2k 1 a a 1 2k 1 a ak 1 a 1 2k 1 a2 a 1 a 1 2k 1 由归纳假设 得上式中的两项均能被a2 a 1整除 故当n k 1时命题成立 根据 1 2 可知 对一切n N 命题成立 题型一 题型二 题型四 题型三 反思证明整除性问题的关键是 凑项 采用增项 减项 拆项 因式分解等手段 凑出当n k时的情形 从而利用归纳假设使问题得证 题型一 题型二 题型三 题型四 用数学归纳法证明几何问题 例3 平面内有n个圆 任意两个圆都相交于两点 任意三个圆不相交于同一点 求证 这n个圆将平面分成f n n2 n 2个部分 n N 分析 因为f n 为n个圆把平面分割成的区域数 那么再有一个圆和这n个圆相交 就有2n个交点 这些交点将增加的这个圆分成2n段弧 且每一段弧又将原来的平面区域一分为二 所以增加一个圆后 平面分成的区域数增加2n 即f n 1 f n 2n 有了上述关系 数学归纳法的第二步证明可迎刃而解 题型一 题型二 题型三 题型四 证明 1 当n 1时 一个圆将平面分成两个部分 且f 1 1 1 2 2 所以n 1时命题成立 2 假设n k k N 且k 1 时命题成立 即k个圆把平面分成f k k2 k 2个部分 则当n k 1时 在k 1个圆中任取一个圆O 剩下的k个圆将平面分成f k 个部分 而圆O与k个圆有2k个交点 这2k个点将圆O分成2k段弧 每段弧将原平面一分为二 故得f k 1 f k 2k k2 k 2 2k k 1 2 k 1 2 故当n k 1时 命题成立 根据 1 2 可知 对一切n N 命题成立 题型一 题型二 题型三 题型四 反思对于用数学归纳法证明几何问题 可以先从有限情形中归纳出一个变化的过程 或者说体会出是怎样变化的 再去证明 也可以用 递推 的办法 比如本题 当n k 1时的结果已知道 f k 1 k 1 2 k 1 2 用f k 1 f k 就可得到增加的部分 然后从有限的情况来理解如何增加的 也就好理解了 题型一 题型二 题型三 题型四 易错辨析易错点 在应用数学归纳法证明有关问题时 两步缺一不可 且最易出错的地方是在第二步证明中未用归纳假设 例4 已知在数列 an 中 a1 3 其前n项和Sn满足Sn 6 2an 1 计算a2 a3 a4 然后猜想出an的表达式 并用数学归纳法证明你的结论 错解 当n 2时 an Sn Sn 1 6 2an 1 6 2an 题型一 题型二 题型三 题型四 错因分析 本题在证明时出现的主要错误是未用归纳假设 题型一 题型二 题型三 题型四 12345 1下列代数式中 n N 则可能被13整除的是 A n3 5nB 34n 1 52n 1C 62n 1 1D 42n 1 3n 2解析 当n 1时 只有D项能被13整除 答案 D 12345 2若凸n边形有f n 条对角线 则凸 n 1 边形的对角线的条数f n 1 为 A f n n 1B f n nC f n n 1D f n n 2解析 从凸n边形到凸 n 1 边形 对角线增加了 n 1 条 答案 C 12345 3下列四个判断中 正确的是 A 式子1 k k2 kn n N 当n 1时为1B 式子1 k k2 kn 1 n N 当n 1时为1 k 解析 对于选项A n 1时 式子应为1 k 选项B中 n 1时 式子应为1 答案 C 12345 4已知在数列 an 中 a1 1 a2 2 an 1 2an an 1 n N 用数学归纳法证明a4n能被4整除 假设a4k能被4整除 则下一步证明 答案 a4k 4能被4整除 12345 5某同学用数学归纳法证明等式1 2 22 2n 1 2n 1的过程如下 1 当n 1时 左边 1 右边 1 等式成立 2 假设当n k k N 且k 1 时 等式成立 即1 2 22 2k 1 2k 1 即当n k 1时等式成立 根据 1 2 可知 对任意正整数n等式成立 以上证明过程的错误是 答案 第 2 步未用归纳假设