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高等数学中求极限的方法小结2.求极限的常用方法2.1 利用等价无穷小求极限这种方法的理论基础主要包括:(1)有限个无穷小的和、差、积仍是无穷小.(2)有界函数与无穷小的乘积是无穷小.(3)非零无穷小与无穷大互为倒数.(4)等价无穷小代换(当求两个无穷小之比的极限时,分子与分母都可用等价无穷小代替).3设、且;则:与是等价无穷小的充分必要条件为:常用等价无穷小:当变量时,例1 求解 , 故,原式例2 求解 ,因此:原式例3 求 解 ,故:原式=例4 求解 ,故:原式例5 试确定常数与,使得当时,与为等价无穷小解 而左边,故 即 2.2 利用洛必达法则求极限利用这一法则的前提是:函数的导数要存在;为0比0型或者型等未定式类型.洛必达法则分为3种情况:(1)0比0,无穷比无穷的时候直接用.(2)0乘以无穷,无穷减去无穷(无穷大与无穷小成倒数关系时)通常无穷大都写成无穷小的倒数形式,通项之后,就能变成(1)中形式了.(3)0的0次方,1的无穷次方,无穷的0次方,对于(指数,幂函数)形式的方法主要是取指数的方法,这样就能把幂函数指数位置的函数移下来了,就是写成0与无穷的形式了.洛必达法则中还有一个定理:当时,函数及都趋于0;在点的某去心邻域内,的导数都存在且的导数不等于0;存在,那么 . 1求极限有很多种方法如洛必达法则,夹逼定理求极限的秘诀是:强行代入,先定型后定法. 3例6 求.分析 秘诀强行代入,先定型后定法.(此为强行代入以定型).可能是比高阶的无穷小,倘若不这样,或 或. 解 ,由洛必达法则的.例7 求.解 .例8 求.解 原式.(二次使用洛必达法则).例9 求.解 原式.例10 求.解 原式原式=.例11 求.解 原式.例12 求.解 原式.例13 求.解 原式“”型:例14 求.解 原式.“”型:例15 求 .解 ,故原式.“”型:例16 求.解 原式.“”型:例17 求.解 原式. “”型:例18 求.解 原式,而,因此:原式=1.2.3 泰勒公式(含有的次方的时候,尤其是含有正、余弦的加减的时候要特别注意)泰勒中值定理定理:如果函数在含有的某个开区间内具有直到阶的导数,则对任一,有+(-)+(-)+(-)+()其中,这里是与之间的某个值. 1例19 利用带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式,求极限.解 由于公式的分母,我们只需将分子中的代入计算,于是 ,对上式做运算时,把两个高阶的无穷小的代数和还是记作.例20 , , .2.4 无穷小与有界函数的处理方法 面对复杂函数,尤其是正、余弦的复杂函数与其它函数相乘的时候,一定要注意这个方法.3 例21 求 .解 原式.2.5 夹逼定理主要介绍的是如何用之求数列极限,这个主要是看见极限中的通项是方式和的形式,对之放缩或扩大.1例22 求.解 , ,根据夹逼定理 .2.6 等比等差数列公式(的绝对值要小于) 1例23 设,证等比数列1,的极限为0.证 任取,为使,而,使,即,当,当时,即,即,由定义知.因此,很显然有:.2.7 各项以拆分相加3将待求的和式子的各项拆分相加来消除中间的大多数,主要应用于数列极限,可以使用待定系数来拆分简化函数.例24 求.解 原式 =.2.8 求左右极限的方式例25 求函数,求时,的极限.解 ,因为,所以,当时,的极限不存在.例26 .解 ,因为,所以,原式=0.2.9 应用两个重要极限,例27 求.解 记 ,则原式= .例28 求.解 原式=.例29 求.解 原式=.2.10 根据增长速度 例30 求.解 原式=.例31 求.解 .同函数趋近于无穷的速度是不一样的,的次方快于(的阶乘)快于指数函数,快于幂函数,快于对数函数.所以增长速度: .故以后上述结论可直接在极限计算中运用.2.11 换元法例32 .解 令,则原式=2.12 利用极限的运算法则1利用如下的极限运算法则来求极限:(1) 如果那么若又有,则(2)如果存在,而为常数,则(3)如果存在,而为正整数,则(4)如果,而,则(5)设有数列和,如果那么,当且时,2.13 求数列极限的时候可以将其转化为定积分1例33 已知 ,在区间上求(其中将分为个小区间,,为中的最大值).解 由已知得: .(注释:由已知可以清楚的知道,该极限的求解可以转化为定积分,求函数在区间上的面积).在有的极限的计算中,需要利用到如下的一些结论、概念和方法:(1)定积分中值定理:如果函数在积分区间上连续,则在上至少有一个点,使下列公式成立: ;(2)设函数在区间上连续,取,如果极限 存在,则称此极限为函数在无穷区间上的反常积分,记作,即;设在区间上连续且,求以曲线为曲线,底为的曲边梯形的面积,把这个面积表示为定积分: 的步骤是:首先,用任意一组的点把区间分成长度为的个小区间,相应地把曲线梯形分成个窄曲边梯形,第个窄曲边梯形的面积设为,于是有;其次,计算的近似值 ;然后,求和,得的近似值 ;最后,求极限,得.例34 设函数连续,且,求极限 .解 =,.例35 计算反常积分: .解 =.2.14 利用函数有界原理证明极限的存在性,利用数列的逆推求极限(1)单调有界数列必有极限;(2)单调递增且有上界的数列必有极限,单调递减且有下界的数列必有极限.3例36 数列:,极限存在吗?解 由已知可得单调递增且有界,由单调有界原理,知 存在又,记,即可证,得到 .2.15 直接使用求导的定义求极限当题目中告诉你时,的导数等于0的时候,就是暗示你一定要用导数定义:(1)设函数在点的某个领域内有定义,当自变量在处取得增量(点仍在该领域内)时,相应的函数取得增量;如果与之比时的极限存在,则称函数在点处可导,并称这个极限为函数在点处可导,并称这个极限为函数在点处的导数,记作,即 ;(2)在某点处可导的充分必要条件是左右导数都存在且相等.例36 ,求.解 .例37 若函数有连续二阶导数且, 则 .A:不存在 B:0 C:-1 D:-2 解 .所以,答案为D.例38 若,求.解 .2.16 利用连续性求极限1例39 设在处有连续的一阶导数,且,求.解 原式 .2.17 数列极限转为函数极限求解数列极限中是趋近,而不是趋近.面对数列极限时,先要转化成求趋近情况下的极限,当然趋近是趋近的一种情况而已,是必要条件.(还有数列极限的当然是趋于正无穷的).1例40 求.解 令,则原式,所以在时,与等价,因此,原式.
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