高中数学 第二章 推理与证明 2.2.1 综合法和分析法课件 新人教A版选修2-2.ppt

2 2直接证明与间接证明2 2 1综合法和分析法 自主学习新知突破 1 结合已经学过的数学实例 了解直接证明的两种基本方法 综合法和分析法 2 了解综合法 分析法的思考过程 特点 3 会综合运用综合法 分析法解决数学问题 1 阅读下列例题 例 若实数a b满足a b 4 证明2a 2b 8 问题1 本题利用什么公式证明的 提示1 基本不等式 问题2 本题的证明顺序是什么 提示2 从已知到结论 问题1 本题证明从哪里开始 提示1 从结论开始 问题2 证题思路是什么 提示2 寻求上一步成立的充分条件 1 综合法的定义利用 和某些数学 等 经过一系列的 最后推导出所要证明的 成立 这种证明方法叫做综合法 综合法 已知条件 定义 定理 公理 推理论证 结论 P表示 已有的 等 Q表示 已知条件 定义 定理 公理 所要证明的结论 1 综合法证明问题的步骤第一步 分析条件 选择方向 仔细分析题目的已知条件 包括隐含条件 分析已知与结论之间的联系与区别 选择相关的公理 定理 公式 结论 确定恰当的解题方法 第二步 转化条件 组织过程 把题目的已知条件 转化成解题所需要的语言 主要是文字 符号 图形三种语言之间的转化 组织过程时要有清晰的思路 严密的逻辑 简洁的语言 第三步 适当调整 回顾反思 解题后回顾解题过程 可对部分步骤进行调整 有些语言可做适当的修饰 反思总结解题方法的选取 1 分析法的定义从要证明的 逐步寻求使它成立的 直至最后 把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件 已知条件 定理 定义 公理等 为止 这种证明方法叫做分析法 分析法 结论出发 充分条件 2 应用分析法证明问题的模式用分析法证明命题 若P 则Q 时的模式如下 为了证明命题Q为真 只需证明命题P1为真 从而有 只需证明命题P2为真 从而有 只需证明命题P为真 而已知P为真 故Q必为真 1 用分析法证明 欲使 A B 只需 C D 这里 是 的 A 充分条件B 必要条件C 充要条件D 即不充分也不必要条件解析 是 的充分条件 答案 A 2 下面叙述正确的是 A 综合法 分析法是直接证明的方法B 综合法是直接证法 分析法是间接证法C 综合法 分析法所用语气都是肯定的D 综合法 分析法所用语气都是假定的解析 直接证明包括综合法和分析法 答案 A 答案 a2 b2 2ab 0 a b 2 0 a b 2 0 4 已知a b c d R 求证 ac bd 2 a2 b2 c2 d2 证明 左边 a2c2 2abcd b2d2 a2c2 a2d2 b2c2 bbd2 a2 b2 c2 d2 右边 ac bd 2 a2 b2 c2 d2 合作探究课堂互动 综合法的应用 1 综合法是数学证明中最常用的一种方法 本题巧妙地应用了 1 的代换及基本不等式 2 综合法证明不等式常用 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 这一结论 运用时要结合题目条件 有时要适当变形 3 综合法证明不等式所依赖的主要是不等式的基本性质和已知的重要不等式 其中常用的有如下几个 分析法的应用 思路点拨 本题含有绝对值符号 可用分析法证明 用分析法证明不等式时应注意的问题 1 分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质 已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论 2 分析法证明不等式的思维是从要证不等式出发 逐步寻求使它成立的充分条件 最后得到的充分条件是已知 或已证 的不等式 3 用分析法证明数学命题时 一定要恰当地用好反推符号 或 要证明 只需证明 即证明 等词语 分析法与综合法的综合应用 思路点拨 解答本题的关键是利用对数运算法则和对数函数的性质转化成证明整式不等式 1 分析综合法 解决数学问题 分析综合法 又叫混合型分析法 是同时从已知条件与结论出发 寻找其之间的联系而沟通思路的方法 在解题过程中 分析法和综合法是统一的 不能把分析法和综合法孤立起来使用 分析和综合相辅相成 有时先分析后综合 有时先综合后分析 分析综合法的方法结构如图所示 2 分析综合法 证明的步骤 在解决问题时 我们经常把综合法和分析法综合起来使用 根据条件的结构特点去转化结论 得到中间结论P 根据结论的结构特点去转化条件 得到中间结论Q 若由Q可以推出P成立 就可证明结论成立 其证明模式可用如下框图表示 其中Q1代表结论 P1代表要证的条件 特别提醒 在平时的证明问题中 一般不是单纯地使用某一种证明方法 更多的是综合使用几种方法 3 已知a b c R且不全相等 求证 a2 b2 c2 ab bc ca 证明 证法一 分析法 要证a2 b2 c2 ab bc ca 只需证2 a2 b2 c2 2 ab bc ca 只需证 a2 b2 2ab b2 c2 2bc c2 a2 2ca 0 只需证 a b 2 b c 2 c a 2 0 因为a b c R 所以 a b 2 0 b c 2 0 c a 2 0 又因为a b c不全相等 所以 a b 2 b c 2 c a 2 0 所以原不等式a2 b2 c2 ab bc ca成立 证法二 综合法 因为a b c R 所以 a b 2 0 b c 2 0 c a 2 0 又因为a b c不全相等 所以 a b 2 b c 2 c a 2 0 所以 a2 b2 2ab b2 c2 2bc c2 a2 2ca 0 所以2 a2 b2 c2 2 ab bc ac 所以a2 b2 c2 ab bc ca 错因 没有按照分析法的过程来证明以论证 若A 则B 为例 分析法的书写格式为 欲证命题B成立 只需证命题B1成立 只需证命题B2成立 只需证A成立 由已知 A成立 故B必成立