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湘教版九年级下册数学全册教案1.1 二次函数【知识与技能】1.理解具体情景中二次函数的意义,理解二次函数的概念,掌握二次函数的一般形式.2.能够表示简单变量之间的二次函数关系式,并能根据实际问题确定自变量的取值范围.【过程与方法】经历探索,分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程,进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系.【情感态度】体会数学与实际生活的密切联系,学会与他人合作交流,培养合作意识.【教学重点】二次函数的概念.【教学难点】在实际问题中,会写简单变量之间的二次函数关系式教学过程.一、情境导入,初步认识1.教材P2“动脑筋”中的两个问题:矩形植物园的面积S(m2)与相邻于围墙面的每一面墙的长度x(m)的关系式是S=-2x2+100x,(0x50);电脑价格y(元)与平均降价率x的关系式是y=6000x2-12000x+6000,(0x1).它们有什么共同点?一般形式是y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a0)这样的函数可以叫做什么函数?二次函数.2.对于实际问题中的二次函数,自变量的取值范围是否会有一些限制呢?有.二、思考探究,获取新知二次函数的概念及一般形式在上述学生回答后,教师给出二次函数的定义:一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a0)的函数,叫做二次函数,其中x是自变量,a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.注意:二次函数中二次项系数不能为0.在指出二次函数中各项系数时,要连同符号一起指出.三、典例精析,掌握新知例1 指出下列函数中哪些是二次函数.(1)y=(x-3)2-x2 ;(2)y=2x(x-1);(3)y=32x-1;(4)y=;(5)y=5-x2+x.【分析】先化为一般形式,右边为整式,依照定义分析.解:(2)(5)是二次函数,其余不是.【教学说明】判定一个函数是否为二次函数的思路:1.将函数化为一般形式.2.自变量的最高次数是2次.3.若二次项系数中有字母,二次项系数不能为0.例2 讲解教材P3例题.【教学说明】由实际问题确定二次函数关系式时,要注意自变量的取值范围.例3 已知函数y=(m2-m)x2+mx+(m+1)(m是常数),当m为何值时:(1)函数是一次函数;(2)函数是二次函数.【分析】判断函数类型,关键取决于其二次项系数和一次项系数能否为零,列出相应方程或不等式.解:(1)由 得 ,m=1.即当m=1时,函数y=(m2-m)x2+mx+(m+1)是一次函数.(2)由m2-m0得m0且m1,当m0且m1时,函数y=(m2-m)x2+mx+(m+1)是二次函数.【教学说明】学生自主完成,加深对二次函数概念的理解,并让学生会列二次函数的一些实际应用中的二次函数解析式.四、运用新知,深化理解1.下列函数中是二次函数的是( )A. B.y=3x3+2x2 C.y=(x-2)2-x3 D. 2.二次函数y=2x(x-1)的一次项系数是( )A.1 B.-1 C.2 D.-23.若函数 是二次函数,则k的值为( )A.0 B.0或3 C.3 D.不确定4.若y=(a+2)x2-3x+2是二次函数,则a的取值范围是 .5.已知二次函数y=1-3x+5x2,则二次项系数a= ,一次项系数b= ,常数项c= .6.某校九(1)班共有x名学生,在毕业典礼上每两名同学都握一次手,共握手y次,试写出y与x之间的函数关系式 ,它 (填“是”或“不是”)二次函数.7.如图,在边长为5的正方形中,挖去一个半径为x的圆(圆心与正方形的中心重合),剩余部分的面积为y.(1)求y关于x的函数关系式;(2)试求自变量x的取值范围;(3)求当圆的半径为2时,剩余部分的面积(取3.14,结果精确到十分位).【答案】1.D 2.D 3.A 4.a-2 5.5,-3,1 6. 是7.(1)y=25-x2=-x2+25.(2)0x52.(3)当x=2时,y=-4+25-43.14+25=12.4412.4.即剩余部分的面积约为12.4.【教学说明】学生自主完成,加深对新知的理解,待学生完成上述作业后,教师指导.五、师生互动,课堂小结1.师生共同回顾二次函数的有关概念.2.通过这节课的学习,你掌握了哪些新知识,还有哪些疑问?与同伴交流.【教学说明】教师引导学生回顾知识点,让学生大胆发言,进行知识提炼和知识归纳.1.教材P4第13题.2.完成同步练习册中本课时的练习.本节课是从生活实际中引出二次函数模型,从而得出二次函数的定义及一般形式,会写简单变量之间的二次函数关系式,并能根据实际问题确定自变量的取值范围,使学生认识到数学来源于生活,又应用于生活实际之中.1.2 二次函数的图象与性质第1课时 二次函数y=ax2(a0)的图象与性质【知识与技能】1.会用描点法画函数y=ax2(a0)的图象,并根据图象认识、理解和掌握其性质.2.体会数形结合的转化,能用y=ax2(a0)的图象和性质解决简单的实际问题.【过程与方法】经历探索二次函数y=ax2(a0)图象的作法和性质的过程,获得利用图象研究函数的经验,培养观察、思考、归纳的良好思维习惯.【情感态度】通过动手画图,同学之间交流讨论,达到对二次函数y=ax2(a0)图象和性质的真正理解,从而产生对数学的兴趣,调动学生的积极性.【教学重点】1.会画y=ax2(a0)的图象.2.理解,掌握图象的性质.【教学难点】二次函数图象及性质探究过程和方法的体会教学过程.一、情境导入,初步认识问题1 请同学们回忆一下一次函数的图象、反比例函数的图象的特征是什么?二次函数图象是什么形状呢?问题2 如何用描点法画一个函数图象呢?【教学说明】 略;列表、描点、连线.二、思考探究,获取新知探究1 画二次函数y=ax2(a0)的图象.画二次函数y=ax2的图象.【教学说明】要求同学们人人动手,按“列表、描点、连线”的步骤画图y=x2的图象,同学们画好后相互交流、展示,表扬画得比较规范的同学.从列表和描点中,体会图象关于y轴对称的特征.强调画抛物线的三个误区.误区一:用直线连结,而非光滑的曲线连结,不符合函数的变化规律和发展趋势.如图(1)就是y=x2的图象的错误画法.误区二:并非对称点,存在漏点现象,导致抛物线变形.如图(2)就是漏掉点(0,0)的y=x2的图象的错误画法.误区三:忽视自变量的取值范围,抛物线要求用平滑曲线连点的同时,还需要向两旁无限延伸,而并非到某些点停止.如图(3),就是到点(-2,4),(2,4)停住的y=x2图象的错误画法.探究2 y=ax2(a0)图象的性质在同一坐标系中,画出y=x2, ,y=2x2的图象.【教学说明】要求同学们独立完成图象,教师帮助引导,强调画图时注意每一个函数图象的对称性.动脑筋观察上述图象的特征(共同点),从而归纳二次函数y=ax2(a0)的图象和性质.【教学说明】教师引导学生观察图象,从开口方向,对称轴,顶点,y随x的增大时的变化情况等几个方面让学生归纳,教师整理讲评、强调.y=ax2(a0)图象的性质1.图象开口向上.2.对称轴是y轴,顶点是坐标原点,函数有最低点.3.当x0时,y随x的增大而增大,简称右升;当x0时,y随x的增大而减小,简称左降.三、典例精析,掌握新知例 已知函数是关于x的二次函数.(1)求k的值.(2)k为何值时,抛物线有最低点,最低点是什么?在此前提下,当x在哪个范围内取值时,y随x的增大而增大?【分析】此题是考查二次函数y=ax2的定义、图象与性质的,由二次函数定义列出关于k的方程,进而求出k的值,然后根据k+20,求出k的取值范围,最后由y随x的增大而增大,求出x的取值范围.解:(1)由已知得 ,解得k=2或k=-3.所以当k=2或k=-3时,函数是关于x的二次函数.(2)若抛物线有最低点,则抛物线开口向上,所以k+20.由(1)知k=2,最低点是(0,0),当x0时,y随x的增大而增大.四、运用新知,深化理解1.(广东广州中考)下列函数中,当x0时,y值随x值增大而减小的是( )A.y=x2 B.y=x-1 C. D.y= 2.已知点(-1,y1),(2,y2),(-3,y3)都在函数y=x2的图象上,则( )A.y1y2y3 B.y1y3y2 C.y3y2y1 D.y2y1y33.抛物线y=x2的开口向 ,顶点坐标为 ,对称轴为 ,当x=-2时,y= ;当y=3时,x= ,当x0时,y随x的增大而 ;当x0时,y随x的增大而 .4.如图,抛物线y=ax2上的点B,C与x轴上的点A(-5,0),D(3,0)构成平行四边形ABCD,BC与y轴交于点E(0,6),求常数a的值.【教学说明】学生自主完成,加深对新知识的理解和掌握,当学生疑惑时,教师及时指导.【答案】1.D 2.A 3.上,(0,0),y轴, ,3,减小,增大4.解:依题意得:BC=AD=8,BCx轴,且抛物线y=ax2上的点B,C关于y轴对称,又BC与y轴交于点E(0,6),B点为(-4,6),C点为(4,6),将(4,6)代入y=ax2得:a=.五、师生互动,课堂小结1.师生共同回顾二次函数y=ax2(a0)图象的画法及其性质.2.通过这节课的学习,你掌握了哪些新知识,还有哪些疑问?请与同伴交流.1.教材P7第1、2题.2.完成同步练习册中本课时的练习.本节课是从学生画y=x2的图象,从而掌握二次函数y=ax2(a0)图象的画法,再由图象观察、探究二次函数y=ax2(a0)的性质,培养学生动手、动脑、探究归纳问题的能力.第2课时 二次函数y=ax2(a0)的图象与性质【知识与技能】1.会用描点法画函数y=ax2(a0)的图象,并根据图象认识、理解和掌握其性质.2.体会数形结合的转化,能用y=ax2(a0)的图象与性质解决简单的实际问题.【过程与方法】经历探索二次函数y=ax2(a0)图象的作法和性质的过程,获得利用图象研究函数的经验,培养观察、思考、归纳的良好思维习惯.【情感态度】通过动手画图,同学之间交流讨论,达到对二次函数y=ax2(a0)图象和性质的真正理解,从而产生对数学的兴趣,调动学习的积极性.【教学重点】会画y=ax2(a0)的图象;理解、掌握图象的性质.【教学难点】二次函数图象的性质及其探究过程和方法的体会.一、情境导入,初步认识1.在坐标系中画出y= x2的图象,结合y= x2的图象,谈谈二次函数y=ax2(a0)的图象具有哪些性质?2.你能画出y=- x2的图象吗?二、思考探究,获取新知探究1 画y=ax2(a0)的图象请同学们在上述坐标系中用“列表、描点、连线”的方法画出y=- x2的图象.【教学说明】教师要求学生独立完成,强调画图过程中应注意的问题,同学们完成后相互交流,表扬图象画得“美观”的同学.问:从所画出的图象进行观察,y= x2与y=- x2有何关系?归纳:y= x2与y=- x2二者图象形状完全相同,只是开口方向不同,两图象关于y轴对称.(教师引导学生从理论上进行证明这一结论)探究2 二次函数y=ax2(a0)性质问:你能结合y=- x2的图象,归纳出y=ax2(a0)图象的性质吗?【教学说明】教师提示应从开口方向,对称轴,顶点位置,y随x的增大时的变化情况几个方面归纳,教师整理,强调y=ax2(a0)图象的性质.1.开口向下.2.对称轴是y轴,顶点是坐标原点,函数有最高点.3.当x0时,y随x的增大而减小,简称右降,当x0时,y随x的增大而增大,简称左升.探究3 二次函数y=ax2(a0)的图象及性质学生回答:【教学点评】一般地,抛物线y=ax2的对称轴是 ,顶点是 ,当a0时抛物线的开口向 ,顶点是抛物线的最 点,a越大,抛物线开口越 ;当a0时,抛物线的开口向 ,顶点是抛物线的最 点,a越大,抛物线开口越 ,总之,|a|越大,抛物线开口越 .答案:y轴,(0,0),上,低,小,下,高,大,小三、典例精析,掌握新知例1 填空:函数y=(-x)2的图象是 ,顶点坐标是 ,对称轴是 ,开口方向是 .函数y=x2,y=x2和y=-2x2的图象如图所示,请指出三条抛物线的解析式.解:抛物线,(0,0),y轴,向上;根据抛物线y=ax2中,a的值的作用来判断,上面最外面的抛物线为y=x2,中间为y=x2,在x轴下方的为y=-2x2.【教学说明】解析式需化为一般式,再根据图象特征解答,避免发生错误.抛物线y=ax2中,当a0时,开口向上;当a0时,开口向下,|a|越大,开口越小.例2 已知抛物线y=ax2经过点(1,-1),求y=-4时x的值.【分析】把点(1,-1)的坐标代入y=ax2,求得a的值,得到二次函数的表达式,再把y=-4代入已求得的表达式中,即可求得x的值.解:点(1,-1)在抛物线y=ax2上,-1=a12,a=-1,抛物线为y=-x2.当y=-4时,有-4=-x2,x=2.【教学说明】在求y=ax2的解析式时,往往只须一个条件代入即可求出a值.四、运用新知,深化理解1.下列关于抛物线y=x2和y=-x2的说法,错误的是( )A.抛物线y=x2和y=-x2有共同的顶点和对称轴B.抛物线y=x2和y=-x2关于x轴对称C.抛物线y=x2和y=-x2的开口方向相反D.点(-2,4)在抛物线y=x2上,也在抛物线y=-x2上2.二次函数y=ax2与一次函数y=-ax(a0)在同一坐标系中的图象大致是( )3.二次函数,当x0时,y随x的增大而减小,则m= .4.已知点A(-1,y1),B(1,y2),C(a,y3)都在函数y=x2的图象上,且a1,则y1,y2,y3中最大的是 .5.已知函数y=ax2经过点(1,2).求a的值;当x0时,y的值随x值的增大而变化的情况.【教学说明】学生自主完成,加深对新知的理解和掌握,当学生疑惑时,教师及时指导.【答案】1.D 2.B 3.2 4.y3 5.a=2 当x0时,y随x的增大而减小五、师生互动,课堂小结这节课你学到了什么,还有哪些疑惑?在学生回答的基础上,教师点评:(1)y=ax2(a0)图象的性质;(2)y=ax2(a0)关系式的确定方法.1.教材P10第12题.2.完成同步练习册中本课时的练习.本节课仍然是从学生画图象,结合上节课y=ax2(a0)的图象和性质,从而得出y=ax2(a0)的图象和性质,进而得出y=ax2(a0)的图象和性质,培养学生动手、动脑、合作探究的学习习惯.第3课时 二次函数y=a(x-h)2的图象与性质【知识与技能】1.能够画出y=a(x-h)2的图象,并能够理解它与y=ax2的图象的关系,理解a,h对二次函数图象的影响.2.能正确说出y=a(x-h)2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.【过程与方法】经历探索二次函数y=a(x-h)2的图象的作法和性质的过程,进一步领会数形结合的思想.【情感态度】1.在小组活动中体会合作与交流的重要性.2.进一步丰富数学学习的成功体验,认识到数学是解决实际问题的重要工具,初步形成积极参与数学活动的意识.【教学重点】掌握y=a(x-h)2的图象及性质.【教学难点】理解y=a(x-h)2与y=ax2图象之间的位置关系,理解a,h对二次函数图象的影响.一、情境导入,初步认识1.在同一坐标系中画出y=x2与y= (x-1)2的图象,完成下表.2.二次函数y= (x-1)2的图象与y=x2的图象有什么关系?3.对于二次函数 (x-1)2,当x取何值时,y的值随x值的增大而增大?当x取何值时,y的值随x值的增大而减小?二、思考探究,获取新知归纳二次函数y=a(x-h)2的图象与性质并完成下表. 三、典例精析,掌握新知例1 教材P12例3.【教学说明】二次函数y=ax2与y=a(x-h)2是有关系的,即左、右平移时“左加右减”. 例如y=ax2向左平移1个单位得到y=a(x+1)2,y=ax2向右平移2个单位得到y=a(x-2)2的图象.例2 已知直线y=x+1与x轴交于点A,抛物线y=-2x2平移后的顶点与点A重合.水平移后的抛物线l的解析式;若点B(x1,y1),C(x2,y2)在抛物线l上,且-x1x2,试比较y1,y2的大小.解:y=x+1,令y=0,则x=-1,A(-1,0),即抛物线l的顶点坐标为(-1,0),又抛物线l是由抛物线y=-2x2平移得到的,抛物线l的解析式为y=-2(x+1)2.由可知,抛物线l的对称轴为x=-1,a=-20,当x-1时,y随x的增大而减小,又-x1x2,y1y2.【教学说明】二次函数的增减性以对称轴为分界,画图象取点时以顶点为分界对称取点.四、运用新知,深化理解1.二次函数y=15(x-1)2的最小值是( )A.-1 B.1 C.0 D.没有最小值2.抛物线y=-3(x+1)2不经过的象限是( )A.第一、二象限 B.第二、四象限 C.第三、四象限 D.第二、三象限3.在反比例函数y= 中,当x0时,y随x的增大而增大,则二次函数y=k(x-1)2的图象大致是( )4.(1)抛物线y=x2向 平移 个单位得抛物线y=(x+1)2;(2)抛物线 向右平移2个单位得抛物线y=-2(x-2)2.5.(广东广州中考)已知抛物线y=a(x-h)2的对称轴为x=-2,且过点(1,-3).(1)求抛物线的解析式;(2)画出函数的大致图象;(3)从图象上观察,当x取何值时,y随x的增大而增大?当x取何值时,函数有最大值(或最小值)?【教学说明】学生自主完成,教师巡视解疑.【答案】1.C 2.A 3.B 4.(1)左,1 (2)y=-2x25.解:(1)y=-(x+2)2 (2)略 (3)当x-2时,y随x增大而增大;当x=-2时,y有最大值0.五、师生互动,课堂小结1.这节课你学到了什么?还有哪些疑惑?2.在学生回答的基础上,教师点评:(1)y=a(x-h)2的图象与性质;(2)y=a(x-h)2与y=ax2的图象的关系.1.教材P12第1、2题.2.完成同步练习册中本课时的练习.通过本节学习使学生认识到y=a(x-h)2的图象是由y=ax2的图象左右平移得到的,初步认识到a,h对y=a(x-h)2位置的影响,a的符号决定抛物线方向,|a|决定抛物线开口的大小,h决定向左右平移;从中领会数形结合的数学思想.第4课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质【知识与技能】1.会用描点法画二次函数y=a(x-h)2+k的图象.掌握y=a(x-h)2+k的图象和性质.2.掌握y=a(x-h)2+k与y=ax2的图象的位置关系.3.理解y=a(x-h)2+k,y=a(x-h)2,y=ax2+k及y=ax2的图象之间的平移转化.【过程与方法】经历探索二次函数y=a(x-h)2+k的图象的作法和性质的过程,进一步领会数形结合的思想,培养观察、分析、总结的能力.【情感态度】1.在小组活动中进一步体会合作与交流的重要性.2.体验数学活动中充满着探索性,感受通过认识观察,归纳,类比可以获得数学猜想的乐趣.【教学重点】二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质.【教学难点】由二次函数y=a(x-h)2+k的图象的轴对称性列表、描点、连线.一、情境导入,初步认识复习回顾:同学们回顾一下:y=ax2,y=a(x-h)2,(a0)的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标,y随x的增减性分别是什么?如何由y=ax2(a0)的图象平移得到y=a(x-h)2的图象?猜想二次函数y=a(x-h)2+k的图象开口方向、对称轴、顶点坐标及y随x的增减性如何?二、思考探究,获取新知探究1 y=a(x-h)2+k的图象和性质1.由老师提示列表,根据抛物线的轴对称性观察图象回答下列问题:y=-(x+1)2-1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标及y随x的增减性如何?将抛物线y=-x2向左平移1个单位,再向下平移1个单位得抛物线y=-(x+1)2-1.2.同学们讨论回答:一般地,当h0,k0时,把抛物线y=ax2向右平移h个单位,再向上平移k个单位得抛物线y=a(x-h)2+k;平移的方向和距离由h,k的值来决定.抛物线y=a(x-h)2+k的开口方向、对称轴、顶点坐标及y随x的增减性如何?探究2 二次函数y=a(x-h)2+k的应用【教学说明】二次函数y=a(x-h)2+k的图象是,对称轴是,顶点坐标是,当a0时,开口向,当a0时,开口向.答案:抛物线,直线x=h,(h,k),上,下三、典例精析,掌握新知例1 已知抛物线y=a(x-h)2+k,将它沿x轴向右平移3个单位后,又沿y轴向下平移2个单位,得到抛物线的解析式为y=-3(x+1)2-4,求原抛物线的解析式. 【分析】平移过程中,前后抛物线的形状,大小不变,所以a=-3,平移时应抓住顶点的变化,根据平移规律可求出原抛物线顶点,从而得到原抛物线的解析式. 解:抛物线y=-3(x+1)2-4的顶点坐标为(-1,-4),它是由原抛物线向右平移3个单位,向下平移2个单位而得到的,所以把现在的顶点向相反方向移动就得到原抛物线顶点坐标为(-4,-2).故原抛物线的解析式为y=-3(x+4)2-2.【教学说明】抛物线平移不改变形状及大小,所以a值不变,平移时抓住关键点:顶点的变化.例2 如图是某次运动会开幕式点燃火炬时的示意图,发射台OA的高度为2m,火炬的高度为12m,距发射台OA的水平距离为20m,在A处的发射装置向目标C发射一个火球点燃火炬,该火球运行的轨迹为抛物线形,当火球运动到距地面最大高度20m时,相应的水平距离为12m.请你判断该火球能否点燃目标C?并说明理由.【分析】建立适当直角坐标系,构建二次函数解析式,然后分析判断.解:该火球能点燃目标.如图,以OB所在直线为x轴,OA所在直线为y轴建立直角坐标系,则点(12,20)为抛物线顶点,设解析式为y=a(x-12)2+20,点(0,2)在图象上,144a+20=2,a=- ,y=- (x-12)2+20.当x=20时,y=-(20-12)2+20=12,即抛物线过点(20,12),该火球能点燃目标.【教学说明】二次函数y=a(x-h)2+k的应用关键是构造出二次函数模型.四、运用新知,深化理解1.若抛物线y=-7(x+4)2-1平移得到y=-7x2,则必须( )A.先向左平移4个单位,再向下平移1个单位B.先向右平移4个单位,再向上平移1个单位C.先向左平移1个单位,再向下平移4个单位D.先向右平移1个单位,再向上平移4个单位2.抛物线y=x2-4与x轴交于B,C两点,顶点为A,则ABC的周长为( )A.4 B.4+4 C.12 D.2+43.函数y=ax2-a与y=ax-a(a0)在同一坐标系中的图象可能是( )4.二次函数y=-2x2+6的图象的对称轴是 ,顶点坐标是 ,当x 时,y随x的增大而增大.5.已知函数y=ax2+c的图象与函数y=-3x2-2的图象关于x轴对称,则a= ,c= .6.把抛物线y=(x-1)2沿y轴向上或向下平移,所得抛物线经过Q(3,0),求平移后抛物线的解析式.【教学说明】学生自主完成,加深对新知的理解,教师引导解疑.【答案】1.B 2.B 3.C 4.y轴,(0,6),0 5.3,2 6.y=(x-1)2-4五、师生互动,课堂小结1.这节课你学到了什么,还有哪些疑惑?2.在学生回答的基础上,教师点评:二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质;如何由抛物线y=ax2平移得到抛物线y=a(x-h)2+k.【教学说明】教师应引导学生自主小结,加深理解掌握y=ax2与y=a(x-h)2+k二者图象的位置关系.1.教材P15第13题.2.完成同步练习册中本课时的练习.掌握函数y=ax2,y=a(x-h)2,y=a(x-h)2+k图象的变化关系,从而体会由简单到复杂的认识规律.第5课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质【知识与技能】1.会用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象.2.会用配方法求抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标、开口方向、对称轴、y随x的增减性.3.能通过配方求出二次函数y=ax2+bx+c(a0)的最大或最小值;能利用二次函数的性质求实际问题中的最大值或最小值.【过程与方法】1.经历探索二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象的作法和性质的过程,体会建立二次函数y=ax2+bx+c(a0)对称轴和顶点坐标公式的必要性.2.在学习y=ax2+bx+c(a0)的性质的过程中,渗透转化(化归)的思想.【情感态度】进一步体会由特殊到一般的化归思想,形成积极参与数学活动的意识.【教学重点】用配方法求y=ax2+bx+c的顶点坐标;会用描点法画y=ax2+bx+c的图象并能说出图象的性质.【教学难点】能利用二次函数y=ax2+bx+c(a0)的对称轴和顶点坐标公式,解决一些问题,能通过对称性画出二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象.一、情境导入,初步认识请同学们完成下列问题.1.把二次函数y=-2x2+6x-1化成y=a(x-h)2+k的形式.2.写出二次函数y=-2x2+6x-1的开口方向,对称轴及顶点坐标.3.画y=-2x2+6x-1的图象.4.抛物线y=-2x2如何平移得到y=-2x2+6x-1的图象.5.二次函数y=-2x2+6x-1的y随x的增减性如何?【教学说明】上述问题教师应放手引导学生逐一完成,从而领会y=ax2+bx+c与y=a(x-h)2+k的转化过程.二、思考探究,获取新知探究1 如何画y=ax2+bx+c图象,你可以归纳为哪几步?学生回答、教师点评:一般分为三步:1.先用配方法求出y=ax2+bx+c的对称轴和顶点坐标.2.列表,描点,连线画出对称轴右边的部分图象.3.利用对称点,画出对称轴左边的部分图象.探究2 二次函数y=ax2+bx+c图象的性质有哪些?你能试着归纳吗?学生回答,教师点评:抛物线y=ax2+bx+c= ,对称轴为x=-,顶点坐标为(-,),当a0时,若x-,y随x增大而增大,若x-,y随x的增大而减小;当a0时,若x-,y随x的增大而减小,若x-,y随x的增大而增大.探究3 二次函数y=ax2+bx+c在什么情况下有最大值,什么情况下有最小值,如何确定?学生回答,教师点评:三、典例精析,掌握新知例1 将下列二次函数写成顶点式y=a(x-h)2+k的形式,并写出其开口方向,顶点坐标,对称轴.y=x2-3x+21 y=-3x2-18x-22解:y=x2-3x+21= (x2-12x)+21=(x2-12x+36-36)+21=(x-6)2+12.此抛物线的开口向上,顶点坐标为(6,12),对称轴是x=6.y=-3x2-18x-22=-3(x2+6x)-22=-3(x2+6x+9-9)-22=-3(x+3)2+5.此抛物线的开口向下,顶点坐标为(-3,5),对称轴是x=-3.【教学说明】第小题注意h值的符号,配方法是数学的一个重要方法,需多加练习,熟练掌握;抛物线的顶点坐标也可以根据公式直接求解.例2 用总长为60m的篱笆围成的矩形场地,矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化,l是多少时,场地的面积S最大?S与l有何函数关系?举一例说明S随l的变化而变化? 怎样求S的最大值呢?解:S=l (30-l)=- l2+30l (0l30)=-( l2-30l)=-( l-15)2+225画出此函数的图象,如图.l=15时,场地的面积S最大(S的最大值为225)【教学说明】二次函数在几何方面的应用特别广泛,要注意自变量的取值范围的确定,同时所画的函数图象只能是抛物线的一部分.四、运用新知,深化理解1.(北京中考)抛物线y=x2-6x+5的顶点坐标为( )A.(3,-4) B.(3,4) C.(-3,-4) D.(-3,4)2.(贵州贵阳中考)已知二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图所示,当-5x0时,下列说法正确的是( )A.有最小值5、最大值0B.有最小值-3、最大值6C.有最小值0、最大值6D.有最小值2、最大值63.如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上,图象经过点(-1,2)和(1,0),且与y轴相交于负半轴.(1)给出四个结论:a0;b0;c0;a+b+c=0.其中正确结论的序号是 .(2)给出四个结论:abc0;2a+b0;a+c=1;a1.其中正确结论的序号是 .【教学说明】通过练习,巩固掌握y=ax2+bx+c的图象和性质.【答案】1.A 2.B 3.(1) (2)五、师生互动,课堂小结1.这节课你学到了什么?还有哪些疑惑?2.在学生回答的基础上,教师点评:(1)用配方法求二次y=ax2+bx+c的顶点坐标、对称轴;(2)由y=ax2+bx+c的图象判断与a,b,c有关代数式的值的正负;(3)实际问题中自变量取值范围及函数最值.1.教材P15第13题.2.完成同步练习册中本课时的练习.y=ax2+bx+c的图象和性质可以看作是y=ax2,y=a(x-h)2+k,y=a(x-h)2+k的图象和性质的归纳与综合,让学生初步体会由简单到复杂,由特殊到一般的认识规律.*1.3 不共线三点确定二次函数的表达式【知识与技能】1.掌握用待定系数法列方程组求二次函数解析式.2.由已知条件的特点,灵活选择二次函数的三种形式,合适地设置函数解析式,可使计算过程简便.【过程与方法】通过例题讲解使学生初步掌握,用待定系数法求二次函数的解析式.【情感态度】通过本节教学,激发学生探究问题,解决问题的能力.【教学重点】用待定系数法求二次函数的解析式.【教学难点】灵活选择合适的表达式设法.一、情境导入,初步认识1.同学们想一想,已知一次函数图象上两个点的坐标,如何用待定系数法求它的解析式?学生回答:2.已知二次函数图象上有两个点的坐标,能求出其解析式吗?三个点的坐标呢?二、思考探究,获取新知探究1 已知三点求二次函数解析式讲解:教材P21例1,例2.【教学说明】让学生通过例题讲解归纳出已知三点坐标求二次函数解析式的方法.探究2 用顶点式求二次函数解析式.例3 已知二次函数的顶点为A(1,-4)且过B(3,0),求二次函数解析式.【分析】已知抛物线的顶点,设二次函数的解析式为y=a(x-h)2+k.解:抛物线顶点为A(1,-4),设抛物线解析式为y=a(x-1)2-4,点B(3,0)在图象上,0=4a-4,a=1,y=(x-1)2-4,即y=x2-2x-3.【教学说明】已知顶点坐标,设顶点式比较方便,另外已知函数的最(大或小)值即为顶点纵坐标,对称轴与顶点横坐标一致.探究3 用交点式求二次函数解析式26 / 26
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