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第五讲 导数的应用（一）一、选择题1曲线yex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为()Ae2B2e2Ce2D解析：由题意可得yex，则所求切线的斜率ke2，则所求切线方程为ye2e2(x2)即ye2xe2，S1e2.答案：D2(2018西宁一检)设曲线y在点(3,2)处的切线与直线axy10垂直，则a()A2B2CD解析：由y得曲线在点(3,2)处的切线斜率为，又切线与直线axy10垂直，则a2.答案：A3(2018北京模拟)曲线f(x)xln x在点(1，f(1)处的切线的倾斜角为()ABCD解析：因为f(x)xln x，所以f(x)ln xxln x1，所以f(1)1，所以曲线f(x)xln x在点(1，f(1)处的切线的倾斜角为.答案：B4已知函数f(x)x25x2ln x，则函数f(x)的单调递增区间是()A和(1，)B(0,1)和(2，)C和(2，)D(1,2)解析：函数f(x)x25x2ln x的定义域是(0，)，令f(x)2x50，解得0x2，故函数f(x)的单调递增区间是和(2，)答案：C5函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)f(2x)，且当x(，1)时，(x1)f(x)0，设af(0)，bf，cf(3)，则a，b，c的大小关系为()AabcBcbaCcabDbca解析：因为当x(，1)时，(x1)f(x)0，所以函数f(x)在(，1)上是单调递增函数，所以af(0)fb，又f(x)f(2x)，所以cf(3)f(1)，所以cf(1)f(0)a，所以ca0)设g(x)，则g(x)，则g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增g(x)在(0，)上有最小值，为g(1)e，结合g(x)与yk的图象可知，要满足题意，只需ke.答案：A8已知函数f(x)ln xnx(n0)的最大值为g(n)，则使g(n)n20成立的n的取值范围为()A(0,1)B(0，)CD解析：易知f(x)的定义域为(0，)，f(x)n(x0，n0)，当x时，f(x)0；当x时，f(x)0，所以f(x)在上单调递增，在上单调递减，所以f(x)的最大值g(n)fln n1.设h(n)g(n)n2ln nn1.因为h(n)10，所以h(n)在(0，)上单调递减又h(1)0，所以当0nh(1)0，故使g(n)n20成立的n的取值范围为(0,1)，故选A.答案：A二、填空题9(2018高考全国卷)曲线y2ln x在点(1,0)处的切线方程为_解析：因为y，y|x12，所以切线方程为y02(x1)，即y2x2.答案：y2x210(2016高考全国卷)已知f(x)为偶函数，当x0时，f(x)ex1x，则曲线yf(x)在点(1,2)处的切线方程是_解析：设x0，则x0时，f(x)ex11，f(1)e111112.曲线yf(x)在点(1,2)处的切线方程为y22(x1)，即2xy0.答案：2xy011(2018太原二模)若函数f(x)sin xax为R上的减函数，则实数a的取值范围是_解析：f(x)cos xa，由题意可知，f(x)0对任意的xR都成立，a1，故实数a的取值范围是(，1答案：(，112(2018新乡一模)设x1，x2是函数f(x)x32ax2a2x的两个极值点，若x12x2，则实数a的取值范围是_解析：由题意得f(x)3x24axa2的两个零点x1，x2满足x12x2，所以f(2)128aa20，解得2a0，f(x)为(，)上的增函数，所以函数f(x)无极值当a0时，令f(x)0，得exa，即xln ax(，ln a)时，f(x)0，所以f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增，故f(x)在xln a处取得极小值，且极小值为f(ln a)ln a，无极大值综上，当a0时，函数f(x)无极值；当a0时，f(x)在xln a处取得极小值ln a，无极大值14(2018福州质检)已知函数f(x)aln xx2ax(aR)(1)若x3是f(x)的极值点，求f(x)的单调区间；(2)求g(x)f(x)2x在区间1，e上的最小值h(a)解析：(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)2xa，因为x3是f(x)的极值点，所以f(3)0，解得a9，所以f(x)，所以当0x3时，f(x)0；当x3时，f(x)0.所以f(x)的单调递增区间为，(3，)，单调递减区间为.(2)g(x)aln xx2ax2x，则g(x)2.令g(x)0，得x或x1.当1，即a2时，g(x)在1，e上为增函数，h(a)ming(1)a1；当1e，即2a2e时，g(x)在上为减函数，在上为增函数，h(a)mingaln a2a；当e，即a2e时，g(x)在1，e上为减函数，h(a)ming(e)(1e)ae22e.综上，h(a)min
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