2019届高考数学 专题十六 利用空间向量求夹角精准培优专练 理.doc

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培优点十六 利用空间向量求夹角1利用面面垂直建系例1:在如图所示的多面体中,平面平面,四边形为边长为2的菱形,为直角梯形,四边形为平行四边形,且,(1)若,分别为,的中点,求证:平面;(2)若,与平面所成角的正弦值为,求二面角的余弦值【答案】(1)见解析;(2)【解析】(1)连接,四边形为菱形,平面平面,平面平面,平面,平面又平面,平面分别为,的中点,平面(2)设,由(1)得平面,由,得,过点作,与的延长线交于点,取的中点,连接,如图所示,又,为等边三角形,又平面平面,平面平面,平面,故平面为平行四边形,平面又,平面,平面平面由(1),得平面,平面,平面,是与平面所成角,平面,平面,平面平面,解得在梯形中,易证,分别以,的正方向为轴,轴,轴的正方向建立空间直角坐标系则,由,及,得,设平面的一个法向量为,由得,令,得设平面的一个法向量为,由得,令,得,又二面角是钝角,二面角的余弦值是2线段上的动点问题例2:如图,在中,沿将翻折到的位置,使平面平面(1)求证:平面;(2)若在线段上有一点满足,且二面角的大小为,求的值【答案】(1)见解析;(2)【解析】(1)中,由余弦定理,可得,作于点,平面平面,平面平面,平面平面,又,平面又平面,又,平面(2)由(1)知,两两垂直,以为原点,以方向为轴正方向建立如图所示空间直角坐标系,则,设,则由,设平面的一个法向量为,则由,取平面的一个法向量可取,3翻折类问题例3:如图1,在边长为2的正方形中,为中点,分别将,沿,所在直线折叠,使点与点重合于点,如图2在三棱锥中,为中点(1)求证:;(2)求直线与平面所成角的正弦值;(3)求二面角的大小【答案】(1)见解析;(2);(3)【解析】(1)在正方形中,为中点,在三棱锥中,平面平面,(2)取中点,连接,取中点,连接过点作的平行线平面,为的中点,如图所示,建立空间直角坐标系,为的中点,平面,平面,平面平面平面平面,平面,平面平面的法向量设直线与平面所成角为,则直线与平面所成角的正弦值为(3)由(2)知,设平面的法向量为,则有即,令,则,即由题知二面角为锐角,它的大小为对点增分集训一、单选题1如图,在所有棱长均为的直三棱柱中,分别为,的中点,则异面直线,所成角的余弦值为( )ABCD【答案】C【解析】设的中点,以,为,轴建立坐标系,则,则,设与成的角为,则,故选C2在三棱柱中,底面是边长为1的正三角形,侧棱底面,点在棱上,且,若与平面所成的角为,则的值是( )ABCD【答案】D【解析】如图,建立空间直角坐标系,易求点平面的一个法向量是,则故选D3如图,圆锥的底面直径,高,为底面圆周上的一点,则空间中两条直线与所成的角为( )ABCD【答案】B【解析】取中点,以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,如图所示,圆锥的底面直径,高,为底面圆周上的一点,可得,则,设空间两条直线与所成的角为,即直线与所成的角为,故选B4已知四棱锥的底面是边长为2的正方形,平面平面,是的中点,是的中点,则直线与平面所成角的正弦值是( )ABCD【答案】D【解析】由题可知,则,是的中点,设平面的法向量,直线与平面所成角为,则可取,故选D5如图,在直三棱柱中,点与分别是和的中点,点与分别是和上的动点若,则线段长度的最小值为( )ABCD【答案】A【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,则,则,由于,故,当时,线段长度取得最小值,且最小值为故选A6如图,点分别在空间直角坐标系的三条坐标轴上,平面的法向量为,设二面角的大小为,则( )ABCD【答案】C【解析】由题意可知,平面的一个法向量为:,由空间向量的结论可得:故选C7如图所示,五面体中,正的边长为1,平面,且设与平面所成的角为,若,则当取最大值时,平面与平面所成角的正切值为( )AB1CD【答案】C【解析】如图所示,建立如图所示的空间直角坐标系,则,取的中点,则,则平面的一个法向量为,由题意,又由,解得,的最大值为,当时,设平面的法向量为,则,取,由平面的法向量为,设平面和平面所成的角为,则,故选C8已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等,在底面内的射影为的中心,则与底面所成角的正弦值等于( )ABCD【答案】B【解析】如图,设在平面内的射影为,以为坐标原点,、分别为轴、轴建立空间直角坐标系如图设边长为1,则,又平面的法向量为设与底面所成角为,则故直线与底面所成角的正弦值为故选B9如图,四棱锥中,平面,底面为直角梯形,点在棱上,且,则平面与平面的夹角的余弦值为( )ABCD【答案】B【解析】以为坐标原点,以、所在直线为、轴,建立空间直角坐标系,则,设平面的一个法向量为,则,取,得,平面的法向量为,平面与平面的夹角的余弦值为故选B10在正方体中,直线与平面所成角的余弦值为( )ABCD【答案】C【解析】分别以,为,轴建立如图所示空间直角坐标系:设正方体的棱长为1,可得,设是平面的一个法向量,即,取,得,平面的一个法向量为,设直线与平面所成角为,;,即直线与平面所成角的余弦值是故选C11已知四边形,现将沿折起,使二面角的大小在内,则直线与所成角的余弦值取值范围是( )ABCD【答案】A【解析】取中点,连结,且,是二面角的平面角,以为原点,为轴,为轴,过点作平面的垂线为轴,建立空间直角坐标系,设二面角的平面角为,则,连、,则,设、的夹角为,则,故,故选A12正方体中,点在上运动(包括端点),则与AD1所成角的取值范围是( )ABCD【答案】D【解析】以点为原点,、所在直线分别为轴建立空间直角坐标系,设正方体棱长为1,点坐标为,则,设、的夹角为,则,当时,取最大值,当时,取最小值,与所成角的取值范围是故选D二、填空题13如图,在直三棱柱中,是的中点,则异面直线与所成角的余弦值为_【答案】【解析】在直三棱柱中,是的中点,以为原点,为轴,为轴,过作的垂线为轴,建立空间直角坐标系,则,设异面直线与所成角为,则异面直线与所成角的余弦值为14已知四棱锥的底面是菱形,平面,且,点是棱的中点,在棱上,若,则直线与平面所成角的正弦值为_【答案】【解析】以点建立如图所示的空间直角坐标系,设菱形的边长为2,则, ,平面的一个法向量为,则,即直线与平面所成角的正弦值为15设,是直线,是平面,向量在上,向量在上,则,所成二面角中较小的一个的余弦值为_【答案】【解析】由题意,向量在上,向量在上,所成二面角中较小的一个余弦值为,故答案为16在四棱锥中,底面为平行四边形,平面,则当变化时,直线与平面所成角的取值范围是_【答案】【解析】如图建立空间直角坐标系,得,设平面的法向量,得,又,则三、解答题17如图所示:四棱锥,底面为四边形,平面平面,(1)求证:平面;(2)若四边形中,是否在上存在一点,使得直线与平面所成的角的正弦值为,若存在,求的值,若不存在,请说明理由【答案】(1)见解析;(2)存在,【解析】(1)设,连接,为中点又,平面平面,平面平面平面,而平面在中,由余弦定理得,而平面(2)过作垂线记为轴,为轴,为轴建立空间直角坐标系:,设,设平面法向量为,取,设与平面所成角为,解,18如图,在斜三棱柱中,底面是边长为2的正三角形,(1)求证:平面平面;(2)求二面角的正弦值【答案】(1)见解析;(2)【解析】(1)取的中点,连接,底面是边长为2的正三角形,且,又,又,平面,又平面,平面平面(2)如图所示,以点为坐标原点,为轴,为轴,为轴建立空间直角坐标系,其中,则,设为平面的法向量,则,即,令,得;设为平面的法向量,则,即,令,得;,二面角的正弦值为
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