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专题06 基本初等函数（指数函数、对数函数、幂函数、二次函数）【考点剖析】1.命题方向预测：1.指数函数的概念、图象与性质是近几年高考的热点2.通过具体问题考查指数函数的图象与性质，或利用指数函数的图象与性质解决一些实际问题是重点，也是难点，同时考查分类讨论思想和数形结合思想3.高考考查的热点是对数式的运算和对数函数的图象、性质的综合应用，同时考查分类讨论、数形结合、函数与方程思想4.关于幂函数常以5种幂函数为载体，考查幂函数的概念、图象与性质，多以小题形式出现，属容易题5.二次函数的图象及性质是近几年高考的热点；用三个“二次”间的联系解决问题是重点，也是难点6.题型以选择题和填空题为主，以分段函数形式，考查多个函数的性质，若与其他知识点交汇，则以解答题的形式出现.2.课本结论总结：指数与指数函数1分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是 (a0，m，nN*，且n1)；正数的负分数指数幂的意义是 (a0，m，nN*，且n1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义(2)有理指数幂的运算性质：arasars，(ar)sars，(ab)rarbr，其中a0，b0，r，sQ.2指数函数的图象与性质对数与对数函数1对数的概念如果axN(a0且a1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其中_a_叫做对数的底数，_N_叫做真数2对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果a0且a1，M0，N0，那么loga(MN)logaMlogaN；logalogaMlogaN；logaMnnlogaM (nR)；logamMnlogaM.(2)对数的性质alogaN_N_；logaaN_N_(a0且a1)(3)对数的重要公式换底公式：logbN (a，b均大于零且不等于1)；logab，推广logablogbclogcdlogad.3对数函数的图象与性质二次函数与幂函数1二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)ax2bxc(a0)顶点式：f(x)a(xm)2n(a0)零点式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)(2)二次函数的图象和性质解析式f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(a0)图象定义域(，)(，)值域单调性在x上单调递减；在x上单调递增在x上单调递减在x上单调递增对称性函数的图象关于x对称2.幂函数(1)定义：形如yx(R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，是常数(2)幂函数的图象比较(3)幂函数的性质比较特征 函数性质yxyx2yx3yx1定义域RRR0，)x|xR且x0值域R0，)R0，)y|yR且y0奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性增x0，)时，增；x(，0时，减增增x(0，) 时，减；x(，0)时，减3.名师二级结论：（1）根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以相互转化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算（2）指数函数的单调性是由底数a的大小决定的，因此解题时通常对底数a按：0a1和a1进行分类讨论（3）换元时注意换元后“新元”的范围（4）对数源于指数，指数式和对数式可以互化，对数的性质和运算法则都可以通过对数式与指数式的互化进行证明（5）解决与对数有关的问题时，(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围（6）对数值的大小比较方法化同底后利用函数的单调性、作差或作商法、利用中间量(0或1)、化同真数后利用图象比较（7）函数yf(x)对称轴的判断方法1、对于二次函数yf(x)对定义域内所有x，都有f(x1)f(x2)，那么函数yf(x)的图象关于x对称2、对于二次函数yf(x)对定义域内所有x，都有f(ax)f(ax)成立的充要条件是函数yf(x)的图象关于直线xa对称(a为常数)4.考点交汇展示： (1)基本初等函数与集合交汇例1.【2017山东，理1】设函数的定义域，函数的定义域为,则（A）（1,2） （B） （C）（-2,1） （D）-2,1)【答案】D【解析】由得，由得，故，选D.(2)基本初等函数与不等式交汇例1.【2017天津，理8】已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】 （当时取等号），所以，综上故选A例2.【2018年浙江卷】已知R，函数f(x)=，当=2时，不等式f(x)0，a1)的性质和a的取值有关，一定要分清a1与0a0的解集为_【答案】x|2x3【解析】函数ylg(x22x3)有最小值，f(x)alg(x22x3)有最大值，0a1.由loga(x25x7)0，得0x25x71，解得2x3.不等式loga(x25x7)0的解集为x|2x3【易错点】指数函数和对数函数中注意讨论底数a的大小，复合函数的单调性往往也和a的取值有关考向二 幂函数、二次函数1.【2018届广东省茂名市高三五大联盟学校9月联考】已知幂函数的图象过点，则函数在区间上的最小值是( )A. B. 0 C. D. 【答案】B2.【2018年理数天津卷】已知，函数若关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围是_.【答案】，原问题等价于函数与函数有两个不同的交点，求的取值范围.结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数的图象，同时绘制函数的图象如图所示，考查临界条件，结合观察可得，实数的取值范围是.3.【2018届浙江省杭州市第二中学6月热身】已知函数，若存在实数，使得且同时成立，则实数的取值范围是_【答案】.【解析】分析：从函数形式上看，中的符号容易判断，当时，当，因此当，在有解；当时，在有解，故可求出的取值范围所以，此不等式组无解综上，的取值范围为【方法规律】1.二次函数在闭区间上的最值与抛物线的开口方向、对称轴位置、闭区间三个要素有关；2.常结合二次函数在该区间上的单调性或图象求解，在区间的端点或二次函数图象的顶点处取得最值.二次函数、二次方程、二次不等式之间可以相互转化一般规律(1)在研究一元二次方程根的分布问题时，常借助于二次函数的图象数形结合来解，一般从开口方向；对称轴位置；判别式；端点函数值符号四个方面分析(2)在研究一元二次不等式的有关问题时，一般需借助于二次函数的图象、性质求解3.幂函数yx的图象与性质由于的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查(1)的正负：0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；1时，曲线下凸；01时，曲线上凸；0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；1，则m的取值范围是_【答案】(，0)(2，) 13.【2018届宁夏银川市唐徕回民中学四模】已知函数，若方程有两个解，则实数的取值范围是_【答案】【解析】当时，令，解得，所以只有一个解，则时，只有一个解，令，即在时，只有一个解，即函数在此区间内只有一个零点.因为函数对称轴为，且图像开口朝上，所以时函数单调递减，所以根据函数性质，当时，函数值小于0，即，解得：.14.已知函数，记是在区间上的最大值.（1） 证明：当时，；（2）当，满足，求的最大值.【答案】（1）详见解析；（2）.
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