2019届高考数学 专题四 恒成立问题精准培优专练 理.doc

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培优点四 恒成立问题1参变分离法例1:已知函数,若在上恒成立,则的取值范围是_【答案】【解析】,其中,只需要令,在单调递减,在单调递减,2数形结合法例2:若不等式对于任意的都成立,则实数的取值范围是_【答案】【解析】本题选择数形结合,可先作出在的图像,扮演的角色为对数的底数,决定函数的增减,根据不等关系可得,观察图像进一步可得只需时,即,所以3最值分析法例3:已知函数,在区间上,恒成立,求的取值范围_【答案】【解析】恒成立即不等式恒成立,令,只需即可,令(分析的单调性)当时 在单调递减,则(思考:为什么以作为分界点讨论?因为找到,若要不等式成立,那么一定从处起要增(不一定在上恒增,但起码存在一小处区间是增的),所以时导致在处开始单减,那么一定不符合条件由此请体会零点对参数范围所起的作用)当时,分是否在中讨论(最小值点的选取)若,单调性如表所示,(1)可以比较,的大小找到最小的临界值,再求解,但比较麻烦由于最小值只会在,处取得,所以让它们均大于0即可(2)由于,并不在中,所以求得的只是临界值,临界值等于零也符合条件)若,则在上单调递增,符合题意,综上所述:对点增分集训一、选择题1已知函数,若,则实数的取值范围是( )ABCD【答案】B【解析】若,即有,分别作出函数和直线的图象,由直线与曲线相切于原点时,则,解得,由直线绕着原点从轴旋转到与曲线相切,满足条件即有,解得故选B2已知函数,当时,恒成立,则实数的取值范围是( )ABCD【答案】C【解析】由题意可得:,令可得:,且:,据此可知函数在区间上的最小值为,结合恒成立的条件可得:,求解关于的不等式可得实数的取值范围是本题选择C选项3若函数在区间内单调递增,则实数的取值范围是( )ABCD【答案】D【解析】,在内恒成立,所以,由于,所以,所以,故选D4已知对任意不等式恒成立(其中,是自然对数的底数),则实数的取值范围是( )ABCD【答案】A【解析】由得在上恒成立,即在上恒成立令,则,当时,单调递增,当时,单调递减,故实数的取值范围是故选A5已知函数,当时,不等式恒成立,则实数的取值范围是( )ABCD【答案】D【解析】若恒成立,则,所以在单调递减,在单调递增,所以故选D6当时,不等式恒成立,则实数的取值范围是( )ABCD【答案】C【解析】时,恒成立不等式等价于,设,在单调递减,在单调递增,当时,可知无论为何值,不等式均成立,当时,恒成立不等式等价于,同理设,在单调递增,综上所述:故选C7函数,若存在使得成立,则实数的范围是( )ABCD【答案】A【解析】若存在使得成立,则在内即可,故在上单调递减,故选A8设函数,若存在,使,则的取值范围是( )ABCD【答案】D【解析】的定义域是,当时,则在上单调递增,且,故存在,使;当时,令,解得,令,解得,在上单调递增,在上单调递减,解得综上,的取值范围是故选D9若对于任意实数,函数恒大于零,则实数的取值范围是( )ABCD【答案】D【解析】当时,恒成立,若,为任意实数,恒成立,若时,恒成立,即当时,恒成立,设,则,当时,则在上单调递增,当时,则在上单调递减,当时,取得最大值为则要使时,恒成立,的取值范围是,故选D10已知函数,若对任意,总有或成立,则实数的取值范围是( )ABCD【答案】B【解析】由,得,故对时,不成立,从而对任意,恒成立,因为,对任意恒成立,如图所示,则必有,计算得出故选B11已知函数,当时,不等式恒成立,则实数的取值范围为( )ABCD【答案】D【解析】不等式,即,结合可得恒成立,即恒成立,构造函数,由题意可知函数在定义域内单调递增,故恒成立,即恒成立,令,则,当时,单调递减;当时,单调递增;则的最小值为,据此可得实数的取值范围为本题选择D选项12设函数,其中,若有且只有一个整数使得,则的取值范围是( )ABCD【答案】C【解析】设,则,当,单调递减;当,单调递增,当时,取得最小值如下图所示又,故;,故故当时,满足在直线的下方直线恒过定点且斜率为,要使得有且只有一个整数使得,只需,又,实数的取值范围故选C二、填空题13设函数,对于任意的,不等式恒成立,则实数的取值范围是_【答案】【解析】法一:如图,因为恒成立,则的图像在的上方(可以有公共点),所以即,填法2:由题设有当时,;当时,有恒成立或恒成立,故或即,填14函数,其中,若对任意正数都有,则实数的取值范围为_【答案】【解析】对任意正数都有,即不等式对于恒成立设,则故在上是减函数,在上是增函数,所以的最小值是,所以的取值范围是15已知函数,若函数在上单调递增,则实数的取值范围是_【答案】【解析】根据函数在上单调递增,则在上恒成立,即在上恒成立,所以恒成立,即在上恒成立,所以,故实数的取值范围是16已知关于的不等式在上恒成立,则实数的取值范围为_【答案】【解析】当时,函数外层单调递减,内层二次函数:当,即时,二次函数在区间内单调递增,函数单调递减,解得;当,即时,无意义;当,即时,二次函数在区间内先递减后递增,函数先递增后递减,则需,无解;当,即时,二次函数在区间内单调递减,函数单调递增,无解当时,函数外层单调递增,二次函数单调递增,函数单调递增,所以,解得:综上所述:或三、解答题17设函数,其中,(1)讨论函数极值点的个数,并说明理由;(2)若,成立,求的取值范围【答案】(1)见解析;(2)【解析】(1),定义域为,设,当时,函数在为增函数,无极值点当时,若时,函数在为增函数,无极值点若时,设的两个不相等的实数根,且,且,而,则,所以当,单调递增;当,单调递减;当,单调递增因此此时函数有两个极值点;当时,但,所以当,单调递增;当,单调递减所以函数只有一个极值点综上可知,当时有一个极值点;当时的无极值点;当时,的有两个极值点(2)由(1)可知当时在单调递增,而,则当时,符合题意;当时,在单调递增,而,则当时,符合题意;当时,所以函数在单调递减,而,则当时,不符合题意;当时,设,当时,在单调递增,因此当时,于是,当时,此时,不符合题意综上所述,的取值范围是18设函数,(1)证明:在单调递减,在单调递增;(2)若对于任意,都有,求的取值范围【答案】(1)见解析;(2)【解析】,注意到,于是再求导得,由于,于是为单调递增函数,时,时,在单调递减,在单调递增(2)若不等式恒成立,则,在连续,在有最大最小值,由(1)可知在单调递减,在单调递增,设,在单调递减,在单调递增,故当时,当时,则上式成立当时,由的单调性,即,当时,即,综上,的取值范围为
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