二维随机变量及条件分布ppt课件

概率论与数理统计第五讲二维随机变量 1 第三章多维随机变量及其分布 3 1二维随机变量3 2边缘分布3 3条件分布3 4相互独立的随机变量3 5两个随机变量的函数的分布 2 图示 3 1二维随机变量 3 一 多维随机变量 1 定义将n个随机变量X1 X2 Xn构成一个n维向量 X1 X2 Xn 称为n维随机变量 一维随机变量X R1上的随机点坐标二维随机变量 X Y R2上的随机点坐标n维随机变量 X1 X2 Xn Rn上的随机点坐标多维随机变量的研究方法也与一维类似 用分布函数 概率密度 或分布律来描述其统计规律 4 实例1炮弹的弹着点的位置 X Y 就是一个二维随机变量 二维随机变量 X Y 的性质不仅与X Y有关 而且还依赖于这两个随机变量的相互关系 实例2考查某一地区学前儿童的发育情况 则儿童的身高H和体重W就构成二维随机变量 H W 说明 5 几何意义 分布函数F x0 y0 表示随机点 X Y 落在区域中的概率 如图阴影部分 设 X Y 是二维随机变量 x y R2 则称F x y P X x Y y 为 X Y 的分布函数 或X与Y的联合分布函数 二 联合分布函数 6 对于 x1 y1 x2 y2 R2 x1 x2 y1 y2 则P x1 X x2 y1 Y y2 F x2 y2 F x2 y1 F x1 y2 F x1 y1 x1 y1 x2 y2 x2 y1 x1 y2 7 分布函数F x y 具有如下性质 且 1 归一性对任意 x y R2 0 F x y 1 2 单调不减对任意y R 当x1 x2时 F x1 y F x2 y 对任意x R 当y1 y2时 F x y1 F x y2 8 3 右连续对任意x R y R 4 矩形不等式对于任意 x1 y1 x2 y2 R2 x1 x2 y1 y2 F x2 y2 F x1 y2 F x2 y1 F x1 y1 0 反之 任一满足上述四个性质的二元函数F x y 都可以作为某个二维随机变量 X Y 的分布函数 9 例1 已知二维随机变量 X Y 的分布函数为 1 求常数A B C 2 求P 0 X 2 0 Y 3 解 10 三 联合分布律 若二维随机变量 X Y 只能取至多可列对值 xi yj i j 1 2 则称 X Y 为二维离散型随机变量 称P X xi Y yj pij i j 1 2 为二维离散型随机变量 X Y 的分布律 或随机变量X与Y的联合分布律 可记为 X Y P X xi Y yj pij i j 1 2 11 XYy1y2 yj p11p12 p1j p21p22 p2j pi1pi2 pij 联合分布律的性质 1 pij 0 i j 1 2 2 x1x2xi 二维离散型随机变量的分布律也可列表表示如下 12 例2袋中有2只黑球 2只白球 3只红球 在其中任取2只球 以X表示取到黑球的只数 以Y表示取到白球的只数 1 求 X Y 的分布律 2 求概率 解 1 X所有可能取的不同值为0 1 2 Y所有可能取的不同值为0 1 2 X Y 的分布律为 13 分布律也可写成以下表格的形式 14 2 15 四 二维连续型随机变量及其密度函数 1 定义对于二维随机变量 X Y 若存在一个非负函数f x y 使对 x y R2 其分布函数 则称 X Y 为二维连续型随机变量 f x y 为 X Y 的密度函数 概率密度 或X与Y的联合密度函数 可记为 X Y f x y x y R2 16 2 联合密度f x y 的性质 1 非负性 f x y 0 x y R2 2 归一性 反之 具有以上两个性质的二元函数f x y 必是某个二维连续型随机变量的密度函数 17 4 对于任意平面区域G R2 3 若f x y 在 x y R2处连续 则有 此外 f x y 还有下述性质 18 求 1 常数A 2 F 1 1 3 X Y 落在三角形区域D x 0 y 0 2x 3y 6内的概率 例3 设 解 1 由归一性 19 3 X Y 落在三角形区域D x 0 y 0 2X 3y 6内的概率 解 20 3 两个常用的二维连续型分布 1 二维均匀分布 若二维随机变量 X Y 的密度函数为则称 X Y 在区域D上 内 服从均匀分布 易见 若 X Y 在区域D上 内 服从均匀分布 对D内任意区域G 有 21 例4 设 X Y 服从如图区域D上的均匀分布 1 求 X Y 的概率密度 2 求P Y 2X 3 求F 0 5 0 5 解 22 23 其中 1 2为实数 1 0 2 0 1 则称 X Y 服从参数为 1 2 1 2 的二维正态分布 可记为 2 二维正态分布若二维随机变量 X Y 的密度函数为 24 求 1 P X 0 2 P X 1 3 P Y y0 例5 随机变量 X Y 的概率密度为 x y D 答 P X 0 0 25 第三章多维随机变量及其分布 3 1二维随机变量3 2边缘分布3 3条件分布3 4相互独立的随机变量3 5两个随机变量的函数的分布 26 称为二维随机变量 X Y 关于Y的边缘分布函数 3 2边缘分布一 边缘分布函数 称为二维随机变量 X Y 关于X的边缘分布函数 边缘分布实际上是高维随机变量的某个 某些 低维分量的分布 27 例1 已知 X Y 的分布函数为 求FX x 与FY y 解 FX x F x FY y F y 28 为 X Y 关于Y的边缘分布律 边缘分布律自然也满足分布律的性质 二 边缘分布律 若随机变量X与Y的联合分布律为 X Y P X xi Y yj pij i j 1 2 则称为 X Y 关于X的边缘分布律 29 30 例2 已知 X Y 的分布律如下 求X Y的边缘分布律 x y1011 103 1003 103 10 解 x y10pi 11 103 102 503 103 103 5p j2 53 5 故关于X和Y的分布律分别为 X10Y10P2 53 5P2 53 5 31 三 边缘密度函数 为 X Y 关于Y的边缘密度函数 设 X Y f x y x y R2 则称 为 X Y 关于X的边缘密度函数 同理 称 32 边缘分布函数 33 例3 设 X Y 的概率密度为 1 求常数c 2 求关于X的边缘概率密度fX x 和边缘分布函数FX x 解 1 由归一性 34 35 例4 设 X Y 的概率密度为 1 求常数c 2 求关于X的和关于Y的边缘概率密度 36 第三章多维随机变量及其分布 3 1二维随机变量3 2边缘分布3 3条件分布3 4相互独立的随机变量3 5两个随机变量的函数的分布 37 问题 3 3条件分布 38 设随机变量X与Y的联合分布律为 X Y P X xi Y yj pij i j 1 2 X和Y的边缘分布律分别为 一 离散型随机变量的条件分布律 39 为Y yj的条件下 X的条件分布律 若对固定的j p j 0 则称 同理 对固定的i pi 0 称 为X xi的条件下 Y的条件分布律 40 例1 41 解 由上述分布律的表格可得 42 43 例2一射手进行射击 击中目标的概率为p 0 p 1 射击到击中目标两次为止 设以X表示首次击中目标所进行的射击次数 以Y表示总共进行的的射击次数 试求X和Y的联合分布律及条件分布律 解 44 现在求条件分布律 由于 45 46 二连续型随机变量的条件概率密度 定义 给定y 设对任意固定的正数 0 极限 存在 则称此极限为在条件下X的条件分布函数 记作 可证当时 47 若记fX Y x y 为在Y y条件下X的条件概率密度 则当时 类似定义 当时 48 答 请同学们思考 49 解 例3 50 又知边缘概率密度为 51 解 例4 52 53 多维随机变量 离散型 连续型 边缘分布条件分布 边缘分布条件分布 54 作业 p 842 9 11 55