高考数学大二轮总复习 增分策略 专题四 数列 推理与证明 第2讲 数列的求和问题课件.ppt

第2讲数列的求和问题 专题四数列 推理与证明 高考真题体验 热点分类突破 高考押题精练 栏目索引 高考真题体验 1 2 1 2015 福建 在等差数列 an 中 a2 4 a4 a7 15 1 求数列 an 的通项公式 解设等差数列 an 的公差为d 所以an a1 n 1 d n 2 1 2 2 设bn n 求b1 b2 b3 b10的值 解由 1 可得bn 2n n 所以b1 b2 b3 b10 2 1 22 2 23 3 210 10 2 22 23 210 1 2 3 10 1 2 2 2014 课标全国 已知 an 是递增的等差数列 a2 a4是方程x2 5x 6 0的根 1 求 an 的通项公式 解方程x2 5x 6 0的两根为2 3 由题意得a2 2 a4 3 设数列 an 的公差为d 则a4 a2 2d 1 2 1 2 两式相减得 考情考向分析 高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现 通过分组转化 错位相减 裂项相消等方法求一般数列的和 体现转化与化归的思想 热点一分组转化求和 热点分类突破 有些数列 既不是等差数列 也不是等比数列 若将数列通项拆开或变形 可转化为几个等差 等比数列或常见的数列 即先分别求和 然后再合并 例1等比数列 an 中 a1 a2 a3分别是下表第一 二 三行中的某一个数 且a1 a2 a3中的任何两个数不在下表的同一列 1 求数列 an 的通项公式 解当a1 3时 不合题意 当a1 2时 当且仅当a2 6 a3 18时 符合题意 当a1 10时 不合题意 因此a1 2 a2 6 a3 18 所以公比q 3 故an 2 3n 1 n N 2 若数列 bn 满足 bn an 1 nlnan 求数列 bn 的前n项和Sn 解因为bn an 1 nlnan 2 3n 1 1 nln 2 3n 1 2 3n 1 1 n ln2 n 1 ln3 2 3n 1 1 n ln2 ln3 1 nnln3 所以Sn 2 1 3 3n 1 1 1 1 1 n ln2 ln3 1 2 3 1 nn ln3 当n为偶数时 当n为奇数时 思维升华 在处理一般数列求和时 一定要注意使用转化思想 把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和 在求和时要分析清楚哪些项构成等差数列 哪些项构成等比数列 清晰正确地求解 在利用分组求和法求和时 由于数列的各项是正负交替的 所以一般需要对项数n进行讨论 最后再验证是否可以合并为一个公式 跟踪演练1在等差数列 an 中 a3 a4 a5 84 a9 73 1 求数列 an 的通项公式 解因为 an 是一个等差数列 所以a3 a4 a5 3a4 84 所以a4 28 设数列 an 的公差为d 则5d a9 a4 73 28 45 故d 9 由a4 a1 3d得28 a1 3 9 即a1 1 所以an a1 n 1 d 1 9 n 1 9n 8 n N 2 对任意m N 将数列 an 中落入区间 9m 92m 内的项的个数记为bm 求数列 bm 的前m项和Sm 解对m N 若9m an 92m 则9m 8 9n 92m 8 因此9m 1 1 n 92m 1 故得bm 92m 1 9m 1 于是Sm b1 b2 b3 bm 9 93 92m 1 1 9 9m 1 热点二错位相减法求和 错位相减法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法 这种方法主要用于求数列 an bn 的前n项和 其中 an bn 分别是等差数列和等比数列 例2已知数列 an 的前n项和为Sn 且有a1 2 3Sn 5an an 1 3Sn 1 n 2 1 求数列 an 的通项公式 解3Sn 3Sn 1 5an an 1 n 2 又 a1 2 2 若bn 2n 1 an 求数列 bn 的前n项和Tn 解bn 2n 1 22 n Tn 1 21 3 20 5 2 1 2n 1 22 n Tn 12 2n 3 22 n 思维升华 1 错位相减法适用于求数列 an bn 的前n项和 其中 an 为等差数列 bn 为等比数列 2 所谓 错位 就是要找 同类项 相减 要注意的是相减后得到部分 求等比数列的和 此时一定要查清其项数 3 为保证结果正确 可对得到的和取n 1 2进行验证 跟踪演练2设数列 an 的前n项和为Sn 已知a1 1 Sn 1 2Sn n 1 n N 1 求数列 an 的通项公式 解 Sn 1 2Sn n 1 当n 2时 Sn 2Sn 1 n an 1 2an 1 an 1 1 2 an 1 又S2 2S1 2 a1 S1 1 当n 1时 式也成立 an 1 2n 即an 2n 1 n N 解 an 2n 1 热点三裂项相消法求和 1 求Sn的表达式 得2SnSn 1 Sn Sn 1 0 由于Sn 0 思维升华 1 裂项相消法的基本思想就是把通项an分拆成an bn k bn k 1 k N 的形式 从而达到在求和时某些项相消的目的 在解题时要善于根据这个基本思想变换数列 an 的通项公式 使之符合裂项相消的条件 思维升华 2 常化的裂项公式 99 解析 a1 1 an 1 an n 1 a2 a1 2 a3 a2 3 an an 1 n 高考押题精练 1 2 押题依据数列的通项以及求和是高考重点考查的内容 也是 考试大纲 中明确提出的知识点 年年在考 年年有变 变的是试题的外壳 即在题设的条件上有变革 有创新 但在变中有不变性 即解答问题的常用方法有规律可循 1 2 答案1 1 2 2 已知数列 an 的前n项和Sn满足Sn a Sn an 1 a为常数 且a 0 且4a3是a1与2a2的等差中项 1 求 an 的通项公式 押题依据错位相减法求和是高考的重点和热点 本题先利用an Sn的关系求an 也是高考出题的常见形式 1 2 解 1 当n 1时 S1 a S1 a1 1 所以a1 a 当n 2时 Sn a Sn an 1 Sn 1 a Sn 1 an 1 1 故 an 是首项a1 a 公比等于a的等比数列 所以an a an 1 an 故a2 a2 a3 a3 1 2 由4a3是a1与2a2的等差中项 可得8a3 a1 2a2 即8a3 a 2a2 因为a 0 整理得8a2 2a 1 0 即 2a 1 4a 1 0 1 2 所以Tn 3 2 5 22 7 23 2n 1 2n 1 2n 1 2n 2Tn 3 22 5 23 7 24 2n 1 2n 2n 1 2n 1 由 得 Tn 3 2 2 22 23 2n 2n 1 2n 1 1 2 2 2n 2 2n 1 2n 1 2 2n 1 2n 1 所以Tn 2 2n 1 2n 1