高中数学 第一章 导数及其应用 1.1.2 瞬时变化率——导数（二）课件 苏教版选修2-2.ppt

1 1 2瞬时变化率 导数 二 第1章1 1导数的概念 1 理解曲线的切线的含义 2 理解导数的几何意义 3 会求曲线在某点处的切线方程 4 理解导函数的定义 会用定义法求简单函数的导函数 学习目标 栏目索引 知识梳理自主学习 题型探究重点突破 当堂检测自查自纠 知识梳理自主学习 知识点一曲线的切线如图所示 当点Pn沿着曲线y f x 无限趋近于点P时 割线PPn趋近于确定的位置 这个确定位置的直线PT称为点P处的 1 曲线y f x 在某点处的切线与该点的位置有关 2 曲线的切线 并不一定与曲线只有一个交点 可以有多个 甚至可以有无穷多个 思考有同学认为曲线y f x 在点P x0 y0 处的切线l与曲线y f x 只有一个交点 你认为正确吗 答案不正确 曲线y f x 在点P x0 y0 处的切线l与曲线y f x 的交点个数不一定只有一个 如图所示 答案 切线 知识点二导数的几何意义函数y f x 在点x x0处的导数f x0 就是曲线y f x 在点 x0 f x0 处切线的 思考 1 曲线的割线与切线有什么关系 答案曲线的切线是由割线绕一点转动 当割线与曲线的另一交点无限接近这一点时趋于的直线 曲线的切线并不一定与曲线有一个交点 2 曲线在某点处的切线与在该点处的导数有何关系 答案函数f x 在x0处有导数 则在该点处函数f x 表示的曲线必有切线 且在该点处的导数就是该切线的斜率 函数f x 表示的曲线在点 x0 f x0 处有切线 但函数f x 在该点处不一定可导 如f x 在x 0处有切线 但不可导 斜率 答案 返回 题型探究重点突破 解析答案 题型一求曲线的切线方程1 求曲线在某点处的切线方程例1求曲线y f x x3 x 3在点 1 3 处的切线方程 解因为点 1 3 在曲线上 且f x 在x 1处可导 x 2 3 x 2 当 x 0时 x 2 3 x 2 2 故f 1 2 故所求切线方程为y 3 2 x 1 即2x y 1 0 反思与感悟 反思与感悟 若求曲线y f x 在点P x0 y0 处的切线方程 其切线只有一条 点P x0 y0 在曲线y f x 上 且是切点 其切线方程为y y0 f x0 x x0 解析答案 跟踪训练1 1 曲线f x x3 x2 5在x 1处切线的倾斜角为 解析设切线的倾斜角为 由导数几何意义得tan 1 解析答案 2 曲线y f x x3在点P处切线斜率为3 则点P的坐标为 点P的坐标是 1 1 或 1 1 1 1 或 1 1 解析答案 2 求曲线过某点的切线方程例2求过点 1 2 且与曲线y 2x x3相切的直线方程 反思与感悟 2 3x2 3x x x 2 当 x 0时 其值趋近于2 3x2 又 切线过点 1 2 解析答案 反思与感悟 当切点为 0 0 时 切线斜率为2 切线方程为y 2x 即19x 4y 27 0 综上可知 过点 1 2 且与曲线相切的直线方程为y 2x或19x 4y 27 0 反思与感悟 反思与感悟 若题中所给点 x0 y0 不在曲线上 首先应设出切点坐标 然后根据导数的几何意义列出等式 求出切点坐标 进而求出切线方程 解析答案 跟踪训练2求过点P 3 5 且与曲线y x2相切的直线方程 当 x 0时 其值趋近于2x 设所求切线的切点为A x0 y0 点A在曲线y x2上 又 A是切点 过点A的切线的斜率 解析答案 所求切线过P 3 5 和A x0 y0 两点 解得x0 1或x0 5 从而切点A的坐标为 1 1 或 5 25 当切点为 1 1 时 切线的斜率为k1 2x0 2 当切点为 5 25 时 切线的斜率为k2 2x0 10 所求的切线有两条 方程分别为y 1 2 x 1 和y 25 10 x 5 即2x y 1 0和10 x y 25 0 解析答案 题型二求导函数 解 y f x x f x 反思与感悟 反思与感悟 解析答案 跟踪训练3已知函数f x x2 1 求f x 及f 1 解因 y f x x f x x x 2 1 x2 1 2 x x x 2 故当 x 0时 其值趋近于2x 得f x 2x f 1 2 解析答案 题型三导数几何意义的综合应用例4设函数f x x3 ax2 9x 1 a 0 若曲线y f x 的斜率最小的切线与直线12x y 6平行 求a的值 解 y f x x f x x x 3 a x x 2 9 x x 1 x3 ax2 9x 1 3x2 2ax 9 x 3x a x 2 x 3 由题意知f x 最小值是 12 反思与感悟 反思与感悟 与导数的几何意义相关的题目往往涉及解析几何的相关知识 如直线的方程 直线间的位置关系等 因此要综合应用所学知识解题 解析答案 跟踪训练4 1 已知函数f x 在区间 0 3 上的图象如图所示 记k1 f 1 k2 f 2 k3 f 2 f 1 则k1 k2 k3之间的大小关系为 请用 连接 解析结合导数的几何意义知 k1就是曲线在点A处切线的斜率 k2则为在点B处切线的斜率 而k3则为割线AB的斜率 由图易知它们的大小关系 k1 k3 k2 解析答案 故交点坐标为 1 1 曲线y x2在点 1 1 处切线方程为l2 2x y 1 0 易错易混 因对 在某点处 过某点 分不清致误 例5已知曲线y f x x3上一点Q 1 1 求过点Q的切线方程 解析答案 返回 防范措施 错解因y 3x2 f 1 3 错因分析上述求解过程中 忽略了当点Q不是切点这一情形 导致漏解 正解当Q 1 1 为切点时 可求得切线方程为y 3x 2 所以 x0 1 2 2x0 1 0 综上 所求切线的方程为3x y 2 0或3x 4y 1 0 故切线方程为3x y 2 0 防范措施 防范措施 解题前 养成认真审题的习惯 其次 弄清 在某点处的切线 与 过某点的切线 点Q 1 1 尽管在所给曲线上 但它可能是切点 也可能不是切点 返回 当堂检测 1 2 3 4 5 解析答案 1 下列说法中正确的有 和曲线只有一个公共点的直线是曲线的切线 和曲线有两个公共点的直线一定不是曲线的切线 曲线的切线与曲线不可能有无数个公共点 曲线的切线与曲线有可能有无数个公共点 解析答案 1 2 3 4 5 2 已知曲线y f x 2x2上一点A 2 8 则点A处的切线斜率为 当 x 0时 其值趋近于8 即k 8 8 1 2 3 4 5 3 若曲线y x2 ax b在点 0 b 处的切线方程是x y 1 0 则a b 解析答案 解析由题意 知k y x 0 1 a 1 又 0 b 在切线上 b 1 1 1 解析答案 1 2 3 4 5 故当 x 0时 其值趋近于x y x 1 1 45 解析答案 1 2 3 4 5 5 已知曲线y f x 2x2 4x在点P处的切线斜率为16 则P点坐标为 2 x 4x0 4 当 x 0时 其值趋近于4 4x0 令4x0 4 16 得x0 3 P 3 30 3 30 课堂小结 返回 1 导数f x0 的几何意义是曲线y f x 在点 x0 f x0 处的切线的斜率 即 f x0 物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度 2 函数f x 在点x0处的导数 是一个数值 不是变数 导函数 是一个函数 二者有本质的区别 但又有密切关系 f x0 是其导函数y f x 在x x0处的一个函数值 3 利用导数求曲线的切线方程 要注意已知点是否在曲线上 如果已知点在曲线上 则以该点为切点的切线方程为y f x0 f x0 x x0 若已知点不在切线上 则设出切点 x0 f x0 表示出切线方程 然后求出切点