2018-2019学年高中数学 第一章 不等式的基本性质和证明的基本方法 1.5.1 不等式证明的基本方法导学案 新人教B版选修4-5.docx

1.5.1比较法在理解比较法的基础上，会用作差、作商两种形式的比较法比较两个代数式的大小，会用比较法证明较简单的不等式.自学导引1.因为abab0，要证ab，只需要证ab0，同样要证ab，只需证abb，只需证1；如果a、b都是负数，要证ab，只需证1.基础自测1.下列关系中对任意ab0的实数都成立的是()A.a2b2 B.lg b21 D.b2解析abb20，lg a2lg b2，故选B.答案B2.已知a0且a1，Ploga(a31)，Qloga(a21)，则P、Q的大小关系是()A.PQ B.P1时，a31a21，loga(a31)loga(a21)，当0a1时，a31loga(a21)，综合以上两种情况知PQ，故选A.答案A3.设Pa2b25，Q2aba24a，且ab1，a2.则P、Q的大小关系是_.解析PQa2b252aba24a(ab1)2(a2)20，PQ.答案PQ知识点1两代数式大小的比较【例1】 已知xy0，试比较(x2y2)(xy)与(x2y2)(xy)的大小.解(x2y2)(xy)(x2y2)(xy)(xy)(x2y2)(xy)22xy(xy).xy0，xy0，(x2y2)(xy)(x2y2)(xy).反思感悟：实数大小的比较常用abab0或“1，且b0ab”来解决，比较法的关键是第二步的变形，一般来说，变形越彻底，越有利于下一步的符号判断.1.设a0，b0且ab，试比较aabb与abba的大小.解aabbba.当ab0时，1，ab0，则1，于是aabbabba.当ba0时，01，ab1，于是aabbabba.综上所述，对于不相等的正数a、b，都有aabbabba.知识点2作差比较法证明不等式【例2】 设a0，b0，求证ab.证明方法一：左边右边()0.原不等式成立.方法二：左边0，右边0.1，原不等式成立.反思感悟：用比较法证不等式，一般要经历作差(或作商)、变形、判断三个步骤，变形的主要手段是通分、因式分解或配方，在变形过程中，也可利用基本不等式放缩.2.设ab0，求证：3a32b33a2b2ab2.证明3a32b3(3a2b2ab2)3a2(ab)2b2(ba)(3a22b2)(ab).因为ab0，所以ab0，3a22b20，从而(3a22b2)(ab)0.即3a32b33a2b2ab2.知识点3作商比较法证明不等式【例3】 已知abc0，求证：aabbcc(abc)(abc).证明abcabc.ab0，ab0，1，1.同理可证1，1，aabbcc(abc)(abc).反思感悟：作商后通常利用不等式的性质、指数函数的性质、对数函数的性质来判断商式与1的大小.3.设m，n，那么它们的大小关系是m_n.解析1，mn.答案课堂小结1.比较法有两种形式，一是作差；二是作商.用作差证明不等式是最基本、最常用的方法.它的依据是不等式的基本性质.2.步骤是：作差(商)变形判断.变形的目的是为了判断.若是作差，就判断与0的大小关系，为了便于判断，往往把差式变为积或完全平方式.若是作商，两边为正，就判断与1的大小关系.3.有时要先对不等式作等价变形再进行证明，有时几种证明方法综合使用.随堂演练1.a、b都是正数，P，Q，则P，Q的大小关系是() A.PQ B.PQC.PQ D.PQ解析1，PQ，应选D.答案D2.已知0xa，下面比较b，c.bc1x0时，ab1；当b0时，ab0，b0时， 1ab；当ab0时，1ab，其中真命题有()A. B.C. D.解析正确，中若a0时不成立，故选A.答案A4.若1ab0，则，a2，b2中值最小的是_.解析ab，又a2，b2都为正数，最小的为.答案基础达标1.若a，b为不等的正数，则(abkakb)(ak1bk1) (kN*)的符号()A.恒正 B.恒负C.与k的奇偶性有关 D.与a，b大小无关解析(abkakb)ak1bk1bk(ab)ak(ba)(ab)(bkak)a0，b0，若ab，则akbk，(ab)(bkak)0；若ab，则akbk，(ab)(bkak)Q D.P0，Q0，PQ.答案B3.对x1x20，0ay1y2 B.x1x2y1y2C.x1x25，则与的大小关系是_.解析因为a5，只需比较与2的大小，两数平方，即比较与a4的大小，再平方，只需比较a28a15与a28a16的大小.答案0，ab.综合提高7.设asin 15cos 15，bsin 16cos 16，则下列各式正确的是()A.ab B.abC.ba D.ba解析asin 15cos 15sin 60，bsin 16cos 16sin 61，aabsin 60sin 61sin 61sin 61b，故abad，则，中最大的是()A. B.C. D.解析0，0，0，所以最大的是.答案D9.设xa2b25，y2aba24a，若xy，则实数a、b应满足的条件是_.解析若xy，则xya2b252aba24a(ab1)2(a2)20.只要a20，ab10两个中满足一个，即可使得xy.答案a2或ab110.设a0，b0，则下列两式大小关系为lg(1)_lg(1a)lg(1b).解析(1a)(1b)(12)ab2()20，lg(1a)(1b)lg(1)2，即lg(a1)lg(1b)lg(1).答案11.设mR，ab1，f(x)，比较f(a)与f(b)的大小.解f(a)f(b).ab1，ba0，b10，0时，0，f(a)f(b)；当m0，f(a)f(b)；当m0时，0，f(a)f(b).12.已知a，bR，nN，求证：(ab)(anbn)2(an1bn1).证明(ab)(anbn)2(an1bn1)an1abnbanbn12an12bn1a(bnan)b(anbn)(ab)(bnan).(1)若ab0，bnan0，(ab)(bnan)a0，bnan0，ab0，(ab)(bnan)0，(bnan)(ab)0，综上(1)(2)(3)可知，对a，bR，nN，都有(ab)(anbn)2(an1bn1).