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2019-2020年高考数学专题复习导练测 第三章 第4讲 定积分的概念与微积分基本定理 理 新人教A版一、选择题1以初速度40 m/s竖直向上抛一物体,t秒时刻的速度v4010t2,则此物体达到最高时的高度为()A. m B. m C. m D. m解析v4010t20,t2,(4010t2)dt4028(m)答案A2已知f(x)2|x|,则1f(x)dx等于 ()A3 B4 C. D.解析f(x)2|x|1f(x)dx1(2x)dx(2x)dx2.答案C3函数f(x)满足f(0)0,其导函数f(x)的图象如图所示, 则f(x)的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为 ()A. B.C2 D.解析由导函数f(x)的图象可知函数f(x)为二次函数,且对称轴为x1,开口方向向上设函数f(x)ax2bxc(a0),由f(0)0,得c0.f(x)2axb,因过点(1,0)与(0,2),则有f(x)x22x,则f(x)的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为S2(x22x)dx(2)3(2)2.答案B4已知a2,nN*,bx2dx,则a,b的大小关系是()Aab BabCab D不确定答案A5下列积分中dx;2x dx;dx;0dx,积分值等于1的个数是()A1 B2 C3 D4解析1,0,dx(22)1,0dx0(cos xsin x)dx(sin xcos)|01.答案C6如图所示,在一个边长为1的正方形AOBC内,曲线yx2和曲线y围成一个叶形图(阴影部分),向正方形AOBC内随机投一点(该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的),则所投的点落在叶形图内部的概率是 ()A. B. C. D.解析依题意知,题中的正方形区域的面积为121,阴影区域的面积等于(x2)dx,因此所投的点落在叶形图内部的概率等于,选D.答案D二、填空题7如果10 N的力能使弹簧压缩10 cm,为在弹性限度内将弹簧拉长6 cm,则力所做的功为_解析 由F(x)kx,得k100,F(x)100x,100xdx0.18(J)答案 0.18 J 8曲线y与直线yx,x2所围成的图形的面积为_答案ln 29已知f(x)若f(x)dx(k2)则k_.解析f(x)dx(2x1)dx(1x2)dx,所以得到k2k0,即k0或k1.答案0或110设f(x)xnax的导函数为f(x)2x1且f(x)dxm,则12展开式中各项的系数和为_解析因为f(x)xnax的导函数为f(x)2x1.故n2,a1.所以f(x)dx(x2x)dxm所以12展开式中各项的系数和为121.答案1三、解答题11已知f(x)是一次函数,且f(x)dx5,xf(x)dx,求dx的值解f(x)是一次函数,可设f(x)axb(a0)f(x)dx(axb)dxab.ab5.又xf(x)dxx(axb)dxab.ab.解得a4,b3,f(x)4x3,dxdxdx(4x3ln x)43ln 2.12如图所示,直线ykx分抛物线yxx2与x轴所围图形为面积相等的两部分,求k的值解抛物线yxx2与x轴两交点的横坐标为x10,x21,所以,抛物线与x轴所围图形的面积S(xx2)dx.又抛物线yxx2与ykx两交点的横坐标为x30,x41k,所以,(xx2kx)dx(1k)3.又知S,所以(1k)3,于是k1 1.13在区间0,1上给定曲线yx2.试在此区间内确定点t的值,使图中的阴影部分的面积S1与S2之和最小,并求最小值解面积S1等于边长为t与t2的矩形面积去掉曲线yx2与x轴、直线xt所围成的面积,即S1tt2x2dxt3.S2的面积等于曲线yx2与x轴,xt,x1围成的面积去掉矩形面积,矩形边长分别为t2,1t,即S2x2dxt2(1t)t3t2.所以阴影部分面积SS1S2t3t2(0t1)令S(t)4t22t4t0时,得t0或t.t0时,S;t时,S;t1时,S.所以当t时,S最小,且最小值为.14. 已知二次函数f(x)3x23x,直线l1:x2和l2:y3tx(其中t为常数,且0t1),直线l2与函数f(x)的图象以及直线l1、l2与函数f(x)的图象所围成的封闭图形如图K153,设这两个阴影区域的面积之和为S(t)(1)求函数S(t)的解析式;(2)定义函数h(x)S(x),xR.若过点A(1,m)(m4)可作曲线yh(x)(xR)的三条切线,求实数m的取值范围解析 (1)由得x2(t1)x0,所以x10,x2t1.所以直线l2与f(x)的图象的交点的横坐标分别为0,t1.因为0t1,所以1t10,得x01或x01;由g(x0)0,得1x01,所以g(x0)在区间(,1),(1,)上单调递增,在(1,1)上单调递减,所以当x01时,函数g(x0)取极大值;当x01时,函数g(x0)取极小值因此,关于x0的方程2x6x0m0有三个不等实根的充要条件是即即4m4.故实数m的取值范围是(4,4)
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