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2019-2020年高二数学 直线 平面 简单几何 二面角 平面图形的“翻折”问题同步教案 新人教A版【教学内容、目标】第九章 直线 平面 简单几何1、二面角的概念及大小的计算2、平面图形的“翻折”问题【知识重点与难点】1、掌握作二面角大1小的常用方法关键是直接作出或找出二面角的平面角,经证明后再进行计算。一般有以下三种方法:定义法 当点A在二面角-l-的棱l上时,可过A分别在、内作棱 l的垂线AB、AC,由定义可知BAC即为二面角-l-的平面 角。三垂线法 当点A在二面角-l-的一个面内时,可作AO于O,再 作OBl于B,连结AB,由三垂线定理可得ABl,故ABO 即为二面角-l-的平面角。垂面法 当点A在二面角-l-内时,可作AB于B,AC于C, 设1过AB、AC的平面与l交于点O,连结OB、OC,可证平面ABOC 是l的垂面,则lOB,lOC,BOC即为二面角-l-的平 面角。2、解平面图形的“翻折”问题时,通常同时画出折前的平面图形和折后的空间图形,进行对照分析。凡在折后的图形中添加的辅助线,都应在折前的平面图形中相应画出,这样,容易对有关线段、角的数量关系及位置关系作出正确判断。【典型例题】例1:过60的二面角-MN-的棱上一点O,分别在、内引两条射线OP、OQ,使PON和QON都是45角,求POQ的余弦值。分析:关键作出二面角-MN-的平面角。为给已知的两个45的角及所求的POQ构造三角形,用定义法在MN上取一点A,作出二面角的平面角。解:在MN上取一点A,过A分别在、内作MN的垂线,与OP、OQ分别交于点P、Q,连结PQ,则PAQ即为二面角-MN-的平面角,PAQ=60。设OA=a,则RtPAO中,PA=OA=a,PO=a同理:RtQAO中,QA=OA=a,PAQ中,PA=QA=a,PAQ=60PQ=aPOQ中,cosPOQ=POQ的余弦值为11例2:P为矩形ABCD所在平面外一点,PA平面ABCD,M、N分别是AB、PC的中点,且MN平面PCD,求二面角P-CD-B的大小。分析:关键求二面角的平面角,先在图中现有的角中找,发现ADDC,若能证明PDDC,则PDA即为所求。解:PA平面ABCD,ADDC由三垂线定理得:PDDCPDA即为二面角P-CD-B的平面角。连结PM、CMMN平面PCD,PC平面PCDMNPC又N是PC中点PM=CM由RtPMARtCMBPA=BC又BC=AD1PA=ADRtPAD中,PDA=45二面角P-CD-B的大小为45。点评:在找二面角的平面角时,若有线面垂直的条件,则应想到三垂线定理或其逆定理。找到后,一般在平面角所在三角形中利用三角函数或平几知识进行计算。例3:在120的二面角-l-内有一点P,PA于A,PB于B,PA=2,PB=3,求AB的长;P到棱l上的距离。分析:先作出表示120的二面角的平面角。解:设平面PAB交棱l于C。 连结AC、BC PA,l l平面PAB 又AC平面PAB,11BC平面PAB lAC,lBC BCA即为二面角-l-的平面角,BCA=120 平面四边形PACB中,PAC=PBC=90 ACB+P=180 P=60 PAB中,AB2=PA2+PB2-2PAPBcosP=4+9-12 AB=连结PC 中已证l平面PAB,PC平面PAB lPC,PC即为P到l的距离 P、A、C、B四点共圆,PC为直径 由正弦定理,PC AB的长为,P到l的距离为例4:长方体ABCD-A1B1C1D1,设二面角A- B1C1- A1大小为,求证:证明:B1C1平面AB1,平面AB1平面AB1 B1C1AB1 又A1B1B1 C1 AB1A1即为二面角的平面角 A B1 A1=11 SA1B1C1= SAB1C1= 点评:题中,A1B1C1为AB1C1在底面的射影,此题的结论可以推广:设平面内的一个封闭几何图形面积为S,此几何图形在内的射影面积为S,二面角-l-的大小为,可以证明,由于运用了射影,因此该方法也称为射影法。若正方体ABCD-A1B1C1D1,E为棱CC1的中点,求平面AB1E和底面A1B1C1D1所成角的余弦值。分析:题中AB1E在1底面的射影为AB1C1,因此由公式可得。但是由于对使用此公式的合法性有争议,因此我们在大题目的书写过程中要谨慎使用。在这里我们还是作出二面角的棱,并利用三垂法定理作出平面角。解:连结AE并延长交A1C1的延长线于F,作直线B1F,在底面A1B1C1D1内作C1HB1F于H,A1GB1F于G,连结EH、AG EC1底面A1B1C1D1 由三垂线定理可得EHB1FEHC1为二面角A-B1F-A1的平面角,设为同理:AGA1=SA1B1C1= SA1B1F- SC1B1F=B1FA1G-B1FC1H SAB1E= SAB1F- SEB1F= B1FAG-B1FEH设棱长为2,则AE=3,AB1=,B1E=cosB1AE=B1AE=45SB1AE=而SB1A1C1=211平面AB1E与底面A1B1C1D1所成角的余弦值为:cos=例5:在正方形纸片ABCD的四边AB、AD、CD、CB上,分别取E、F、G、H四个点,使AE:EB=AF:FD=CG:GD=CH:HB=1:2,将纸片沿对角线BD折起,试证EFGH是矩形;求当二面角A-BD-C为多少度时EFGH是正方形。证明:AE:EB=AF:FD=1:2 EF 翻折之前1,图中,EHBD=K,连结AC 由BE:BA=BH:BC=2:3 可得EH/AC ACBD EHBD 翻折之后图中,BDEK,BDHK,EKHK=K BD平面EKH,EH平面EKH BDEH 又BD/HG HGEH 又 EFGH是矩形 设AB=a,则HG=要使EFGH是正方形,只需使EH=HG= 在图(2)中,连结AC,则EH 折起使 取BD中点O,连结AO、CO,则AOBD,COBD AOC为A-BD-C的平面角,且AO=CO= 当AOC=60时,AC= 当二面角A-BD-C为60时,EFGH是正方形。点评:在翻折问题中,一定要弄清翻折前后,哪些关系未变,哪些关系有变化。翻折前后,始终处于同一平面内的。关系不会改变。如本题中,EK、HK始终垂直于BD,但EH垂直于BD就需证明,并且EH的长度变化了。例6:已知四边形ABCD中,B=D=90,AC=2,BAC=30,CAD=45,沿AC将四边形ABCD折起,使B点在平面ACD上的射影F恰在CD边上。(1)求证:平面ABD1平面BCD(2)求二面角B-AC-D的余弦值及二面角A-BC-D的余弦值。分析:翻折后原ABC及ADC内的边角关系未变,把这些转移到图(2)中,图(2)中多了BF平面ACD这个条件。要证面面垂直,应在其中一个面中找到另一个面的垂线,本题中发现ADDC且ADBF,得证。要找B-AC-D的平面角,由于BF平面ACD,因此利用三垂线定理“一作一连”(过F作棱AC的垂线,连结B与垂足)即可得。解:F是B在平面ACD内的射影 BF平面ACD 又AD平面ACD BFAD 又ADDC,DCBF=F AD平面BCD1 AD平面ABD 平面ADB平面BCD 在平面ACD内作FEAC于E,连结BE BF平面ACD 由三垂线定理得ACBE BEF即为二面角B-AC-D的平面角 RtABC中,BE= AD平面BCD,BC平面BCD ADBC 又BCAB,ABAD=A BC平面ABD RtBCD中,BC=1,DC= BCD为等腰直角三角形 BF=1 RtBFE中,sinBEF= cosBEF= BC平面ABD ABD即为二面角A-BC-D的平面角 ABD中,AB= cosABD=【同步练习】一、选择题:1、已知二面角-a1-的大小为(),AB,CD,且ABa,CDa,若AB与CD所成的角为,则() A、=B、=- C、=+D、=-2、已知直线m平面,二面角-l-的大小为,且m与所成角为,则() A、B、时,;当时, D、与的大小关系不能确定3、在正方体ABCD-1A1B1C1D1中,截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1-BD-A的正切值等于() A、B、C、D、4、在二面角-l-中,AB于B,BC于C,若AB=6,BC=3,则二面角-l-的平面角的大小为() A、30B、60C、30或150D、60或1205、过正方形ABCD的顶点A作线段AP平面ABCD,且AP=AB,则半平面ABP与半平面CDP所成二面角的度数是() 1 A、30B、45C、60D、90二、填空题:6、有一山坡,倾斜角为30,若在斜坡平面内沿着一条与斜坡底线成45角的直线前进1公里,则升高了 米。7、将锐角QMN=60,边长MN=a的菱形MNPQ沿对角线NQ折成60的二面角,11则MP与NQ间的距离为 。8、已知RtABC的斜边AB在平面内,AC、BC分别和成30、45角,则平面ABC与平面相交所成四个两面角大小为 。三、解答题:9、在等腰梯形ABCD中,AB|CD,AB=20cm,CD=12cm,M、N分别是AB、CD的中点,MN=,沿MN把它折成120的二面角后,求BD。101、已知-l-是60的二面角,A,B,AB=20cm,A、B到l的距离分别为5cm和8cm,求A、B在棱l上射影之间的距离。11、已知ABC所在平面外一点P,平面PBC平面ABC,PBC是边长为a的正三角形,ACB=90,BAC=30,M是BC的中点,求二面角C-PA-M的正弦值。12、已知RtABC的两直角边AB=2,BC=3,P为斜边AC上的点,以BP为棱折成直二面角A-BP-C,后AC=,求二面角P-AB-C的正切值。【参考答案】一、选择题:1、D两1直线AB、CD所成角过C作CE|AB,DCE=,=-2、A当时,0,当时,m与l不垂直时,AC于C,CDl于D ADC =,ABC= tanADC= tanABC= RtBCD中,CDtanABC tantan 、锐角 m与l垂直时,=得上:3、C法一:取BD中点O连结A1O,AO可证:BDAO,BDA1O,A1OA即为所求二面角的平面角tanA1OA=法二1:利用公式cos=设棱长为a,SABD= SA1BD= cos= tan=4、D当二面角-l-是锐角时,连结AC并延长交l于D连结B1D,AB,l ABl同理:BCll平面ABC,AD平面ABC,BD平面ABClAD,lBDADB为二面角的平面角ADB=90-BADRtABC中,sinBAD=,BAD=30ADB=60当二面角-l-是钝角时,如图:则二面角-l-的平面角是ADB的补角1205、B方法一:证明DA平面PAB,CB平面PABPAB11是PDC在平面PAB内的射影设二面角大小为PA=AB=aSPAB=可证DCPD,SPDC=DCPD=aa=cos= =45方法二:把几何体补形成正方体ABCD-PB1C1D1,平面ABP与平面CDP所成二面角即为C- PB1-B,平面角为DPA=45二、填空1题:6、250米过B作BC于C,过C在内作CDl于D,连结BD由三垂线定1理,BDC为二面角的平面角,BDC=30RtABD中,BD=ABsin45=500RtBCD中,BC=BDsin30=2507、 a折后PNQ,MNQ是边长为a的等边三角形。 PNM,PQM是腰为a的等腰三角形。取QN中点O,PM中点K,连结OKQKN中,KONQ,OPM中,OKPMOK为MP与NQ之间的距离,且POM为二面角的平面角POM=601,POM为等边三角形,RtQPO中,OP=asin60=,RtPOK中,OK=OPsin60= a8、60或120作CO于O,连结OA、OB在内作OHAB于H,连结CH。则CAO=30,CBO=45CHO为二面角C-AB-O的平面角,设CO=1,OA=,AC=2,BO=1,BC=RtABC中,1AB=,CH=sinCHO=平面被AB分成两个半平面平面ABC与平面所成的四个二面角大小为60或1209、18cm过D作DHAM于H,连结BHMNAM,MNBMMN平面AMBAMB为二面角的平面角AMB=120HMB中,HM=6,MB=10HB2=HM2+BM2-2HMBMcos120 =196DH平面AMB,RtDH B中,DB2=DH2+BH2 =324DB=181110、3解:在内作ACl于C,则AC=5,在内作BDl于D,则BD=8A、B在棱l上射影之间的距离即为CD在内过C作CEBD,连结AE、BEBDl,CE/BDCEl,又AClACE即为-l-的平面角ACE=60BD1CE BECD BECDCDAC,CDCE,ACCE=C CD平面ACEBE平面ACE、AE平面ACE 1BEAEACE中,AC=5、CE=8,ACE=60AE2=AC2+EC2-2ACECcos60=25+64-258=49AE=7RtABE中,AB=20,AE=7,BE= CD=3A、B在棱l上射影之间距离为3cm11、解:1平面PBC平面ABC,交线为BC,M是正三角形PBC的边BC上的中点,PBC是正三角形,有PMBC PM平面ABC又AC平面ABC1 PMAC又ACBC AC平面PBC 进而平面PAC平面PBC1作MHPC于H,则MH平面PAC1作MDPA于D,连结DH,由三垂线逆定理知DHPA,MDH为二面角C-PA-M的平面角,正PBC中,边长为a,则PM=RtACB中, BAC=30,BC=a,AC=,MA=PA=MD=11RtMHD中,sinMDH=12、1过A、C分别作直线BP的垂线交BP于E、F,连结EC二面角A-BP-C为直二面角AE平面BCP,CF平面ABP作FDAB于D,连结CD,则CDABFDC为二面角P-AB-C的1平面角设ABP=,则AE=2sin,BE=2cosFCB=ABE=,FC=3co s,BF=3 sinEF=|3sin-2cos|EC2=EF2+FC2=(3sin-2cos)2+(3cos)2由AE2+EC2=AC2(2sin)2+ (3sin-2cos)2+(3cos)2=7sin2=1 =45FC=1tanFDC=即:1二面角P-AB-C的正切值为
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