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2019-2020年高三1月联考数学(理)试题一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,有且只有一项符合题目要求.1.已知集合,则 A. B. C. D.2.已知是关于的方程的一个根,则 A. B. C. D.3.设向量,且与的方向相反,则实数的值为 A. B. C. 或 D.的值不存在4.下列说法错误的是( ) A. 若,则 B. “”是的充分不必要条件 C. 命题“若,则”的否命题是“若,则” D.已知,则为假命题5.在平面直角坐标系中,双曲线的中心在原点,焦点在轴上,一条渐近线与直线垂直,则双曲线的离心率为 A. B. C. D.6.已知成等差数列,成等比数列,则的值为 A. B. C. D.7.按如下程序框图,若输出结果为170,则判断框内应补充的条件是 A. B. C. D. 8.已知某几何体的三视图如图所示(正视图的弧线是半圆),根据图中标出的数据,这个几何体的表面积是 A. B. C. D. 9.已知函数,则函数的大致图象为10.已知,在矩形中,,点P为矩形ABCD内一点,则使得的概率为 A. B. C. D.11.已知函数是偶函数,则下列结论可能成立的是 A. B. C. D. 12.抛物线的焦点为F,准线为,A,B是抛物线上的两个动点,且满足,设线段AB的中点M在上的投影为N,则的最大值是 A. B. C. D.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.从某校高三年级随机抽取一个班,对该班50名学生的高校招生体检表中的视力情况进行统计,其频率分布直方图如图所示.若某高校A专业对视力的要求在以上,则该班学生中能报A专业的人数为 . 14.已知函数的图象经过点,且相邻两条对称轴的距离为,则函数在上的单调递减区间为 .15.将三项式展开,当时,得到以下等式:观察多项式系数之间的关系,可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形,其构造方法为:第0行为1,以下各行每个数是它正头顶上与左右两肩上3个数(不足3个数的,缺少的数记为0)的和,第行共有个数,若在的展开式中,项的系数为75,则实数的值为 . 16.若,对任意的,都有,且.设表示整数的个位数字,则 .三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.(本题满分12分)在中,角的的对边分别为 (1)若成等比数列,求的值; (2)若成等差数列,且,设,的周长为,求的最大值.18.(本题满分12分)近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展新机遇,xx双11期间,某网络购物平台推销了A,B,C三种商品,某网购者决定抢购这三种商品,假设该名网购者都参与了A,B,C三种商品的抢购,抢购成功与否相互独立,且不重复抢购同一种商品,对A,B,C三件商品抢购成功的概率分别为,已知三件商品都被抢购成功的概率为,至少有一件商品被抢购成功的概率为. (1)求的值; (2)若购物平台准备对抢购成功的A,B,C三件商品进行优惠减免,A商品抢购成功减免2百元,B商品抢购成功减免4比百元,C商品抢购成功减免6百元.求该名网购者获得减免总金额(单位:百元)的分别列和数学期望.19.(本题满分12分)如图,在四棱锥中,为棱的中点,异面直线与所成的角为. (1)在平面内找一点,使得直线平面,并说明理由; (2)若二面角的大小为,求二面角的余弦值.20.(本题满分12分)已知椭圆的一个焦点为,其左顶点A在圆上. (1)求椭圆的方程; (2)直线交椭圆于两点,设点关于轴的对称点为(点与点不重合),且直线与轴的交于点,试问的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.21.(本题满分12分)已知函数 (1)试判断的单调性; (2)若在区间上有极值,求实数的取值范围;(3)当时,若有唯一的零点,试求的值.(注:为取整函数,表示不超过的最大整数,如;以下数据供参考:)请考试在第(22)、(23)两题中任选一题作答,如果多选,则按所做的第一题记分.22.(本题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),以原点O为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为 (1)求曲线C的直角坐标方程,并指出其表示何种曲线; (2)设直线与曲线交于两点,若点的直角坐标为,试求当时,的值.22.(本题满分10分)选修4-5:不等式选讲已知函数(1) 若,恒有成立,求实数的取值范围;(2) 若,使得成立,试求实数的取值范围.襄阳市优质高中xx高三联考试题数学(理科)(参考答案)题号123456789101112答案CDABDACDADBB13、20 14、 15、1 16、617、解:() 由成等比数列,得 2分又由正弦定理,得 4分 分()由角成等差数列,得 又,由正弦定理,及得 分周长 10分 当即时所以周长的最大值为6 分18、解:()由题意,得, 因为,解得 4分()由题意,令网购者获得减免的总金额为随机变量(单位:百元),则的值可以为0,2,4,6,8,10,12 5分而; ; 9分所以的分布列为:024681012于是有12分19、解:(I)延长交直线于点, 点为的中点,即四边形为平行四边形,即,平面,平面, 4分 ,平面,平面,故在平面内可以找到一点,使得直线平面 6分 (II)法一、如图所示,异面直线与所成的角为,即 又,平面 又即平面 因此是二面角的平面角,其大小为 8分 建立如图所示的空间直角坐标系,不妨设,则,易知平面的法向量为设平面的法向量为,则,可得:令,则, 10分设二面角的平面角为,则= 二面角的余弦值为 分法二、同法一可得平面, 过点作交的延长线于,连接平面 平面 又,平面即为二面角的平面角10分在中 二面角的余弦值为 分20、解:( )椭圆的左顶点在圆上,又椭圆的一个焦点为, 椭圆的方程为 分( )设,则直线与椭圆方程联立化简并整理得, , 分由题设知 直线的方程为令得 点 分分(当且仅当即时等号成立)的面积存在最大值,最大值为1. 分21、解:(),当时,函数在区间上单调递减;当时,由,解得当时,此时函数g(x)单调递减;当时,此时函数单调递增 分(),其定义域为, 分令,当时,恒成立,在上为增函数,又,函数在内至少存在一个变号零点,且也是的变号零点,此时在区间内有极值 分当时,即时,恒成立,函数在单调递减,此时函数无极值 6分 综上可得:在区间内有极值时实数的取值范围是 分()时,函数的定义域为由()可知:知时,又在区间上只有一个极小值点记为,且时,函数单调递减,时,函数单调递增, 由题意可知:即为 分,消去可得:,即令,则在区间上单调递增又由零点存在性定理知 分22、解:()曲线:,可以化为,因此,曲线的直角坐标方程为分它表示以为圆心、为半径的圆 分()法一:当时,直线的参数方程为(为参数) 点在直线上,且在圆内,把代入中得 6分设两个实数根为,则两点所对应的参数为,则, 8分 分法二:由()知圆的标准方程为即圆心的坐标为半径为,点在直线上,且在圆内 6分圆心到直线的距离 8分所以弦的长满足 分23、解:()由知,欲使,恒有成立,则需满足4分所以实数的取值范围为 分()由题意得 6分使得成立 即有 8分又可等价转化为或或所以实数的取值范围为 分
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