2019-2020年高考数学回归课本 平面向量教案 旧人教版.doc

上传人:tian****1990 文档编号:2659756 上传时间:2019-11-28 格式:DOC 页数:5 大小:390KB
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2019-2020年高考数学回归课本 平面向量教案 旧人教版一、基础知识定义1 既有大小又有方向的量,称为向量。画图时用有向线段来表示,线段的长度表示向量的模。向量的符号用两个大写字母上面加箭头,或一个小写字母上面加箭头表示。书中用黑体表示向量,如a. |a|表示向量的模,模为零的向量称为零向量,规定零向量的方向是任意的。零向量和零不同,模为1的向量称为单位向量。定义2 方向相同或相反的向量称为平行向量(或共线向量),规定零向量与任意一个非零向量平行和结合律。定理1 向量的运算,加法满足平行四边形法规,减法满足三角形法则。加法和减法都满足交换律和结合律。定理2 非零向量a, b共线的充要条件是存在实数0,使得a=f定理3 平面向量的基本定理,若平面内的向量a, b不共线,则对同一平面内任意向是c,存在唯一一对实数x, y,使得c=xa+yb,其中a, b称为一组基底。定义3 向量的坐标,在直角坐标系中,取与x轴,y轴方向相同的两个单位向量i, j作为基底,任取一个向量c,由定理3可知存在唯一一组实数x, y,使得c=xi+yi,则(x, y)叫做c坐标。定义4 向量的数量积,若非零向量a, b的夹角为,则a, b的数量积记作ab=|a|b|cos=|a|b|cos,也称内积,其中|b|cos叫做b在a上的投影(注:投影可能为负值)。定理4 平面向量的坐标运算:若a=(x1, y1), b=(x2, y2),1a+b=(x1+x2, y1+y2), a-b=(x1-x2, y1-y2),2a=(x1, y1), a(b+c)=ab+ac,3ab=x1x2+y1y2, cos(a, b)=(a, b0),4. a/bx1y2=x2y1, abx1x2+y1y2=0.定义5 若点P是直线P1P2上异于p1,p2的一点,则存在唯一实数,使,叫P分所成的比,若O为平面内任意一点,则。由此可得若P1,P,P2的坐标分别为(x1, y1), (x, y), (x2, y2),则定义6 设F是坐标平面内的一个图形,将F上所有的点按照向量a=(h, k)的方向,平移|a|=个单位得到图形,这一过程叫做平移。设p(x, y)是F上任意一点,平移到上对应的点为,则称为平移公式。定理5 对于任意向量a=(x1, y1), b=(x2, y2), |ab|a|b|,并且|a+b|a|+|b|.【证明】 因为|a|2|b|2-|ab|2=-(x1x2+y1y2)2=(x1y2-x2y1)20,又|ab|0, |a|b|0,所以|a|b|ab|.由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|a|+|b|.注:本定理的两个结论均可推广。1)对n维向量,a=(x1, x2,xn),b=(y1, y2, , yn),同样有|ab|a|b|,化简即为柯西不等式: (x1y1+x2y2+xnyn)20,又|ab|0, |a|b|0,所以|a|b|ab|.由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|a|+|b|.注:本定理的两个结论均可推广。1)对n维向量,a=(x1, x2,xn), b=(y1, y2, , yn),同样有|ab|a|b|,化简即为柯西不等式:(x1y1+x2y2+xnyn)2。2)对于任意n个向量,a1, a2, ,an,有| a1, a2, ,an| a1|+|a2|+|an|。二、方向与例题1向量定义和运算法则的运用。例1 设O是正n边形A1A2An的中心,求证:【证明】 记,若,则将正n边形绕中心O旋转后与原正n边形重合,所以不变,这不可能,所以例2 给定ABC,求证:G是ABC重心的充要条件是【证明】必要性。如图所示,设各边中点分别为D,E,F,延长AD至P,使DP=GD,则又因为BC与GP互相平分,所以BPCG为平行四边形,所以BGPC,所以所以充分性。若,延长AG交BC于D,使GP=AG,连结CP,则因为,则,所以GBCP,所以AG平分BC。同理BG平分CA。所以G为重心。例3 在凸四边形ABCD中,P和Q分别为对角线BD和AC的中点,求证:AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4PQ2。【证明】 如图所示,结结BQ,QD。因为,所以= 又因为同理 , , 由,可得。得证。 2证利用定理2证明共线。例4 ABC外心为O,垂心为H,重心为G。求证:O,G,H为共线,且OG:GH=1:2。【证明】 首先=其次设BO交外接圆于另一点E,则连结CE后得CE又AHBC,所以AH/CE。又EAAB,CHAB,所以AHCE为平行四边形。所以所以,所以,所以与共线,所以O,G,H共线。所以OG:GH=1:2。3利用数量积证明垂直。例5 给定非零向量a, b. 求证:|a+b|=|a-b|的充要条件是ab.【证明】|a+b|=|a-b|(a+b)2=(a-b)2a2+2ab+b2=a2-2ab+b2ab=0ab.例6 已知ABC内接于O,AB=AC,D为AB中点,E为ACD重心。求证:OECD。【证明】 设,则,又,所以a(b-c). (因为|a|2=|b|2=|c|2=|OH|2)又因为AB=AC,OB=OC,所以OA为BC的中垂线。所以a(b-c)=0. 所以OECD。4向量的坐标运算。例7 已知四边形ABCD是正方形,BE/AC,AC=CE,EC的延长线交BA的延长线于点F,求证:AF=AE。【证明】 如图所示,以CD所在的直线为x轴,以C为原点建立直角坐标系,设正方形边长为1,则A,B坐标分别为(-1,1)和(0,1),设E点的坐标为(x, y),则=(x, y-1), ,因为,所以-x-(y-1)=0.又因为,所以x2+y2=2.由,解得所以设,则。由和共线得所以,即F,所以=4+,所以AF=AE。三、基础训练题1以下命题中正确的是_. a=b的充要条件是|a|=|b|,且a/b;(ab)c=(ac)b;若ab=ac,则b=c;若a, b不共线,则xa+yb=ma+nb的充要条件是x=m, y=n;若,且a, b共线,则A,B,C,D共线;a=(8, 1)在b=(-3, 4)上的投影为-4。2已知正六边形ABCDEF,在下列表达式中:; ;与,相等的有_.3已知a=y-x, b=2x-y, |a|=|b|=1, ab=0,则|x|+|y|=_.4设s, t为非零实数,a, b为单位向量,若|sa+tb|=|ta-sb|,则a和b的夹角为_.5已知a, b不共线,=a+kb, =la+b,则“kl-1=0”是“M,N,P共线”的_条件.6在ABC中,M是AC中点,N是AB的三等分点,且,BM与CN交于D,若,则=_.7已知不共线,点C分所成的比为2,则_.8已知=b, ab=|a-b|=2,当AOB面积最大时,a与b的夹角为_.9把函数y=2x2-4x+5的图象按向量a平移后得到y=2x2的图象,c=(1, -1), 若,cb=4,则b的坐标为_.10将向量a=(2, 1)绕原点按逆时针方向旋转得到向量b,则b的坐标为_.11在RtBAC中,已知BC=a,若长为2a的线段PQ以点A为中点,试问与的夹角取何值时的值最大?并求出这个最大值。12在四边形ABCD中,如果ab=bc=cd=da,试判断四边形ABCD的形状。 四、高考水平训练题1点O是平面上一定点,A,B,C是此平面上不共线的三个点,动点P满足 则点P的轨迹一定通过ABC的_心。2在ABC中,且ab1(kR),则k的取值范围是_.4平面内四点A,B,C,D满足,则的取值有_个.5已知A1A2A3A4A5是半径为r的O内接正五边形,P为O上任意一点,则取值的集合是_.6O为ABC所在平面内一点,A,B,C为ABC 的角,若sinA+sinB+sinC,则点O为ABC 的_心.7对于非零向量a, b, “|a|=|b|”是“(a+b)(a-b)”的_条件.8在ABC 中,又(cb):(ba):(ac)=1:2:3,则ABC 三边长之比|a|:|b|:|c|=_.9已知P为ABC内一点,且,CP交AB于D,求证:10已知ABC的垂心为H,HBC,HCA,HAB的外心分别为O1,O2,O3,令,求证:(1)2p=b+c-a;(2)H为O1O2O3的外心。11设坐标平面上全部向量的集合为V,a=(a1, a2)为V中的一个单位向量,已知从V到的变换T,由T(x)=-x+2(xa)a(xV)确定,(1)对于V的任意两个向量x, y, 求证:T(x)T(y)=xy;(2)对于V的任意向量x,计算TT(x)-x;(3)设u=(1, 0);,若,求a.六、联赛二试水平训练题1已知A,B为两条定直线AX,BY上的定点,P和R为射线AX上两点,Q和S为射线BY上的两点,为定比,M,N,T分别为线段AB,PQ,RS上的点,为另一定比,试问M,N,T三点的位置关系如何?证明你的结论。2已知AC,CE是正六边形ABCDEF的两条对角线,点M,N分别内分AC,CE,使得AM:AC=CN:CE=r,如果B,M,N三点共线,求r.3在矩形ABCD的外接圆的弧AB上取一个不同于顶点A,B的点M,点P,Q,R,S是M分别在直线AD,AB,BC,CD上的射影,求证:直线PQ与RS互相垂直。4在ABC内,设D及E是BC的三等分点,D在B和F之间,F是AC的中点,G是AB的中点,又设H是线段EG和DF的交点,求比值EH:HG。5是否存在四个平面向量,两两不共线,其中任何两个向量之和均与其余两个向量之和垂直?6已知点O在凸多边形A1A2An内,考虑所有的AiOAj,这里的i, j为1至n中不同的自然数,求证:其中至少有n-1个不是锐角。7如图,在ABC中,O为外心,三条高AD,BE,CF交于点H,直线ED和AB交于点M,FD和AC交于点N,求证:(1)OBDF,OCDE,(2)OHMN。8平面上两个正三角形A1B1C1和A2B2C2,字母排列顺序一致,过平面上一点O作,求证ABC为正三角形。9在平面上给出和为的向量a, b, c, d,任何两个不共线,求证:|a|+|b|+|c|+|d|a+d|+|b+d|+|c+d|.
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