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【2012高考试题】一、选择题1.【2012高考真题重庆理1】在等差数列中,则的前5项和= A.7 B.15 C.20 D.25 2.【2012高考真题浙江理7】设是公差为d(d0)的无穷等差数列an的前n项和,则下列命题错误的是A.若d0,则数列Sn有最大项B.若数列Sn有最大项,则d0C.若数列Sn是递增数列,则对任意,均有D. 若对任意,均有,则数列Sn是递增数列3.【2012高考真题新课标理5】已知为等比数列,则( ) 【答案】D 【解析】因为为等比数列,所以,又,所以或.若,解得,;若,解得,仍有,综上选D.4.【2012高考真题上海理18】设,在中,正数的个数是( )A25 B50 C75 D1005.【2012高考真题辽宁理6】在等差数列an中,已知a4+a8=16,则该数列前11项和S11=(A)58 (B)88 (C)143 (D)176【答案】B【解析】在等差数列中,答案为B6.【2012高考真题四川理12】设函数,是公差为的等差数列,则( )A、 B、 C、 D、7.【2012高考真题湖北理7】定义在上的函数,如果对于任意给定的等比数列, 仍是等比数列,则称为“保等比数列函数”. 现有定义在上的如下函数:; ; ; .则其中是“保等比数列函数”的的序号为 A B C D 8.【2012高考真题福建理2】等差数列an中,a1+a5=10,a4=7,则数列an的公差为A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B. 【解析】由等差中项的性质知,又.故选B.9.【2012高考真题安徽理4】公比为等比数列的各项都是正数,且,则=( ) 【答案】B 【解析】10.【2012高考真题全国卷理5】已知等差数列an的前n项和为Sn,a5=5,S5=15,则数列的前100项和为(A) (B) (C) (D) 【答案】A二、填空题11.【2012高考真题浙江理13】设公比为q(q0)的等比数列an的前n项和为Sn。若S2=3a2+2,S4=3a4+2,则q=_。 【答案】【解析】将,两个式子全部转化成用,q表示的式子即,两式作差得:,即:,解之得:(舍去)12.【2012高考真题四川理16】记为不超过实数的最大整数,例如,。设为正整数,数列满足,现有下列命题:当时,数列的前3项依次为5,3,2;对数列都存在正整数,当时总有;当时,;对某个正整数,若,则。其中的真命题有_。(写出所有真命题的编号)【答案】【解析】当时, ,故正确;同样验证可得正确,错误.13.【2012高考真题新课标理16】数列满足,则的前项和为 14.【2012高考真题辽宁理14】已知等比数列an为递增数列,且,则数列an的通项公式an =_。【答案】【解析】15.【2012高考真题江西理12】设数列an,bn都是等差数列,若,则_。【答案】35【解析】设数列的公差分别为,则由,得,即,所以,所以。16.【2012高考真题北京理10】已知等差数列为其前n项和。若,则=_。18.【2012高考真题重庆理12】 . 【答案】【解析】19.【2012高考真题上海理6】有一列正方体,棱长组成以1为首项、为公比的等比数列,体积分别记为,则 。【答案】。【解析】由题意可知,该列正方体的体积构成以1为首项,为公比的等比数列,+=,。20.【2012高考真题福建理14】数列an的通项公式,前n项和为Sn,则S2012=_.三、解答题21【2012高考江苏20】(16分)已知各项均为正数的两个数列和满足:,(1)设,求证:数列是等差数列;(2)设,且是等比数列,求和的值【答案】解:(1),。 。 。 数列是以1 为公差的等差数列。(2),。 。() 设等比数列的公比为,由知,下面用反证法证明 若则,当时,与()矛盾。【解析】(1)根据题设和,求出,从而证明而得证。 (2)根据基本不等式得到,用反证法证明等比数列的公比。从而得到的结论,再由知是公比是的等比数列。最后用反证法求出。 22.【2012高考真题湖北理18】(本小题满分12分)已知等差数列前三项的和为,前三项的积为.()求等差数列的通项公式;()若,成等比数列,求数列的前项和. ()当时,分别为,不成等比数列;当时,分别为,成等比数列,满足条件.故 记数列的前项和为.当时,;当时,;当时, . 当时,满足此式.综上, 23.【2012高考真题广东理19】(本小题满分14分)设数列an的前n项和为Sn,满足,nN,且a1,a2+5,a3成等差数列(1) 求a1的值;(2) 求数列an的通项公式(3) 证明:对一切正整数n,有.【答案】本题考查由数列的递推公式求通项公式,不等式证明问题,考查了学生的运算求解能力与推理论证能力,难度一般.25.【2012高考真题四川理20】(本小题满分12分) 已知数列的前项和为,且对一切正整数都成立。()求,的值;()设,数列的前项和为,当为何值时,最大?并求出的最大值。【答案】本题主要考查等比数列、等差数列的概念和前n项和公式,以及对数运算等基础知识,考查逻辑推理能力,基本运算能力,以及方程与函数、化归与转化等数学思想 26.【2012高考真题四川理22】(本小题满分14分)已知为正实数,为自然数,抛物线与轴正半轴相交于点,设为该抛物线在点处的切线在轴上的截距。()用和表示;()求对所有都有成立的的最小值;()当时,比较与的大小,并说明理由。【答案】本题主要考查导数的应用、不等式、数列等基础知识,考查基本运算能力、逻辑推理能力、分析问题与解决问题的能力和创新意识,考查函数与方程、数形结合、分类讨论、化归与转化由特殊到一般等数学思想 27.【2012高考真题广东理19】(本小题满分14分)设数列an的前n项和为Sn,满足,nN,且a1,a2+5,a3成等差数列(4) 求a1的值;(5) 求数列an的通项公式(6) 证明:对一切正整数n,有.【答案】本题考查由数列的递推公式求通项公式,不等式证明问题,考查了学生的运算求解能力与推理论证能力,难度一般.29.【2012高考真题重庆理21】(本小题满分12分,(I)小问5分,(II)小问7分.) 设数列的前项和满足,其中. (I)求证:是首项为1的等比数列;(II)若,求证:,并给出等号成立的充要条件.【答案】30.【2012高考真题江西理17】(本小题满分12分)已知数列an的前n项和,,且Sn的最大值为8.(1)确定常数k,求an;(2)求数列的前n项和Tn。【答案】 31.【2012高考真题安徽理21】(本小题满分13分) 数列满足:(I)证明:数列是单调递减数列的充分必要条件是;(II)求的取值范围,使数列是单调递增数列。【答案】本题考查数列的概念及其性质,不等式及其性质,充要条件的意义,数列与函数的关系等基础知识,考查综合运用知识分析问题的能力,推理论证和运算求解能力。【解析】(I)必要条件当时,数列是单调递减数列。充分条件数列是单调递减数列,得:数列是单调递减数列的充分必要条件是。(II)由(I)得:,当时,不合题意;当时,。32.【2012高考真题天津理18】(本小题满分13分)已知是等差数列,其前n项和为Sn,是等比数列,且,.()求数列与的通项公式;()记,证明().【答案】33.【2012高考真题湖南理19】(本小题满分12分)已知数列an的各项均为正数,记A(n)=a1+a2+an,B(n)=a2+a3+an+1,C(n)=a3+a4+an+2,n=1,2, (1) 若a1=1,a2=5,且对任意nN,三个数A(n),B(n),C(n)组成等差数列,求数列 an 的通项公式.(2) 证明:数列 an 是公比为q的等比数列的充分必要条件是:对任意,三个数A(n),B(n),C(n)组成公比为q的等比数列.【答案】解()对任意,三个数是等差数列,所以即亦即故数列是首项为,公差为的等差数列.于是()()必要性:若数列是公比为的等比数列,则对任意,有由知,均大于,于是即,所以三个数组成公比为的等比数列.【解析】【2011年高考试题】1. (2011年高考四川卷理科8)数列的首项为, 为等差数列且 .若则,则( )(A)0 (B)3 (C)8 (D)11答案:B解析:由已知知由叠加法.2.(2011年高考全国卷理科4)设为等差数列的前项和,若,公差,则 (A)8 (B)7 (C)6 (D)53. (2011年高考广东卷理科11)等差数列前9项的和等于前4项的和.若,则 .【答案】10【解析】由题得5. (2011年高考湖北卷理科13)九章算术“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自下而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为 升答案: 解析:设从上往下的9节竹子的容积依次为a1,a2,,a9,公差为d,则有a1+a2+a3+a4=3, a7+a8+a9=4,即4a5-10d=3,3a5+9d=4,联立解得:.即第5节竹子的容积.5.(2011年高考陕西卷理科14)植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一棵,相邻两棵树相距10米,开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边,使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小,这个最小值为 (米)。【答案】2000【解析】设树苗集中放置在第号坑旁边,则20名同学返所走的路程总和为=即时.6.(2011年高考重庆卷理科11)在等差数列中,则 解析:74. ,故7.(2011年高考江苏卷13)设,其中成公比为q的等比数列,成公差为1的等差数列,则q的最小值是_8(2011年高考北京卷理科11)在等比数列an中,a1=,a4=-4,则公比q=_;_。【答案】2 9. (2011年高考山东卷理科20)(本小题满分12分)等比数列中,分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818()求数列的通项公式;()若数列满足:,求数列的前项和.【解析】(I)当时,不合题意;当时,当且仅当时,符合题意;当时,不合题意。因此所以公式q=3,故10.(2011年高考辽宁卷理科17)(本小题满分12分)已知等差数列an满足a2=0,a6+a8= -10(I)求数列an的通项公式;(II)求数列的前n项和.所以.综上,数列的前n项和为.11.(2011年高考浙江卷理科19)(本题满分14分)已知公差不为0的等差数列的首项 (),设数列的前n项和为,且,成等比数列()求数列的通项公式及()记,当时,试比较与的大小.【解析】() 则 ,() 因为,所以当时, 即;所以当时,;当时, .12.(2011年高考安徽卷理科18)(本小题满分13分)在数1和100之间插入个实数,使得这个数构成递增的等比数列,将这个数的乘积记作,再令.()求数列的通项公式;()设求数列的前项和.()由()知,又所以数列的前项和为13. (2011年高考天津卷理科20)(本小题满分14分)已知数列与满足:, ,且()求的值;()设,证明:是等比数列;()设证明:【解析】本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识,考查运算能力、推理论证能力、综合分析能力和解决问题的能力及分类讨论的思想方法.()解:由,可得, 又当n=1时,由,得;当n=2时,可得.当n=3时,可得.(III)证明:由(II)可得,于是,对任意,有将以上各式相加,得即,此式当k=1时也成立.由式得从而所以,对任意,对于n=1,不等式显然成立.所以,对任意14. (2011年高考江西卷理科18)(本小题满分12分)已知两个等比数列,满足,.(1)若,求数列的通项公式;(2)若数列唯一,求的值.15. (2011年高考湖南卷理科16)对于,将表示为,当时,当时,为或.记为上述表示中为的个数(例如:,故,),则(1) ;(2) .答案:2; 1093解析:(1)由题意知,所以2;(2)通过例举可知:,且相邻之间的整数的个数有0,1,3,7,15,31,63.它们正好满足“杨辉三角”中的规律:从而.评析:本小题主要考查学生的阅读理解能力、探究问题能力和创新意识.以二进制为知识背景,着重考查等比数列求和以及“杨辉三角”中的规律的理解和运用.16. (2011年高考广东卷理科20)设数列满足,(1) 求数列的通项公式;(2) 证明:对于一切正整数n,当 (2)当时,(欲证),当综上所述17. (2011年高考湖北卷理科19)(本小题满分13分)已知数列的前n项和为,且满足:()求数列的通项公式;()若存在,使得成等差数列,试判断:对于任意的,且,是否成等差数列,并证明你的结论.本小题主要考查等差数列、等比数列基础知识,同时考查推理论证能力,以及特殊与一般的思想.解析:()由已知,可得,两式相减可得即又,所以当时,数列为:;当时,由已知,所以于是由,可得,成等比数列,当时,综上,数列的通项公式为18.(2011年高考重庆卷理科21)(本小题满分12分。()小问5分,()小问7分) 设实数数列的前n项和满足 ()若成等比数列,求和 ()求证:对有。解析:()由题意,得,由是等比中项知,因此,由,解得, ()证明:有题设条件有,故,且从而对有 19(2011年高考四川卷理科20) (本小题共12分) 设d为非零实数,an = C1n d+2Cn2d2+(n1)Cnn-1d n-1+nCnndn(nN*).(I) 写出a1,a2,a3并判断an是否为等比数列.若是,给出证明;若不是,说明理由;(II)设bn=ndan (nN*),求数列bn的前n项和Sn解析:(1)20.(2011年高考全国卷理科20)设数列满足且()求的通项公式;()设【解析】:()由得,前项为,()21.(2011年高考江苏卷20)设M为部分正整数组成的集合,数列的首项,前n项和为,已知对任意整数k属于M,当nk时,都成立(1)设M=1,求的值;(2)设M=3,4,求数列的通项公式(2)由题意:,当时,由(1)(2)得:由(3)(4)得: 由(1)(3)得:由(2)(4)得:由(7)(8)知:成等差,成等差;设公差分别为:由(5)(6)得:由(9)(10)得:成等差,设公差为d,在(1)(2)中分别取n=4,n=5得:22(2011年高考江苏卷23)(本小题满分10分) 设整数,是平面直角坐标系中的点,其中 (1)记为满足的点的个数,求;(2)记为满足是整数的点的个数,求23(2011年高考北京卷理科20)(本小题共13分)若数列满足,数列为数列,记=()写出一个满足,且0的数列;()若,n=2000,证明:E数列是递增数列的充要条件是=2011;()对任意给定的整数n(n2),是否存在首项为0的E数列,使得=0?如果存在,写出一个满足条件的E数列;如果不存在,说明理由。解:()0,1,2,1,0是一具满足条件的E数列A5。(答案不唯一,0,1,0,1,0也是一个满足条件的E的数列A5)()必要性:因为E数列A5是递增数列,所以.因为所以为偶数,所以要使为偶数,即4整除.当时,有当的项满足,当不能被4整除,此时不存在E数列An,使得24(2011年高考福建卷理科16)(本小题满分13分)已知等比数列an的公比q=3,前3项和S3=。(I)求数列an的通项公式;(II)若函数在处取得最大值,且最大值为a3,求函数f(x)的解析式。25(2011年高考上海卷理科22)(18分)已知数列和的通项公式分别为,(),将集合中的元素从小到大依次排列,构成数列。(1)求;(2)求证:在数列中但不在数列中的项恰为;(3)求数列的通项公式。【2010年高考试题】(2010浙江理数)(3)设为等比数列的前项和,则(A)11 (B)5 (C) (D)解析:解析:通过,设公比为,将该式转化为,解得=-2,带入所求式可知答案选D,本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前n项和公式,属中档题(2010全国卷2理数)(4).如果等差数列中,那么(A)14 (B)21 (C)28 (D)35(2010辽宁理数)(6)设an是有正数组成的等比数列,为其前n项和。已知a2a4=1, ,则(A) (B) (C) (D) 【答案】B【命题立意】本题考查了等比数列的通项公式与前n项和公式,考查了同学们解决问题的能力。【解析】由a2a4=1可得,因此,又因为,联力两式有,所以q=,所以,故选B。(2010江西理数)5.等比数列中,=4,函数,则( )A B. C. D. 【答案】C【解析】考查多项式函数的导数公式,重点考查学生创新意识,综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法。考虑到求导中,含有x项均取0,则只与函数的一次项有关;得:。(2010江西理数)4. ( )A. B. C. 2 D. 不存在【答案】B【解析】考查等比数列求和与极限知识.解法一:先求和,然后对和取极限。(2010重庆理数)(1)在等比数列中, ,则公比q的值为A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 解析: (2010四川理数)(8)已知数列的首项,其前项的和为,且,则(A)0 (B) (C) 1 (D)2(2010天津理数)(6)已知是首项为1的等比数列,是的前n项和,且,则数列的前5项和为(A)或5 (B)或5 (C) (D)【答案】C【解析】本题主要考查等比数列前n项和公式及等比数列的性质,属于中等题。显然q1,所以,所以是首项为1,公比为的等比数列, 前5项和.【温馨提示】在进行等比数列运算时要注意约分,降低幂的次数,同时也要注意基本量法的应用。(2010广东理数)4. 已知为等比数列,Sn是它的前n项和。若, 且与2的等差中项为,则=A35 B.33 C.31 D.291.(2010安徽理数)10、设是任意等比数列,它的前项和,前项和与前项和分别为,则下列等式中恒成立的是A、B、C、D、【答案】D【分析】取等比数列,令得代入验算,只有选项D满足。【方法技巧】对于含有较多字母的客观题,可以取满足条件的数字代替字母,代入验证,若能排除3个选项,剩下唯一正确的就一定正确;若不能完全排除,可以取其他数字验证继续排除.本题也可以首项、公比即项数n表示代入验证得结论.(2010湖北理数)7、如图,在半径为r 的园内作内接正六边形,再作正六边形的内切圆,又在此内切圆内作内接正六边形,如此无限继续下去,设为前n个圆的面积之和,则= A 2 B. C.4 D.6(2010福建理数)3设等差数列的前n项和为,若,则当取最小值时,n等于A6 B7 C8 D9【答案】A【解析】设该数列的公差为,则,解得,所以,所以当时,取最小值。【命题意图】本题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式的应用,考查二次函数最值的求法及计算能力。(2010辽宁理数)(16)已知数列满足则的最小值为_.(2010福建理数)11在等比数列中,若公比,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式 【答案】【解析】由题意知,解得,所以通项。【命题意图】本题考查等比数列的通项公式与前n项和公式的应用,属基础题。3. (2010江苏卷)8、函数y=x2(x0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数,a1=16,则a1+a3+a5=_解析考查函数的切线方程、数列的通项。在点(ak,ak2)处的切线方程为:当时,解得,所以。(2010江西理数)22. (本小题满分14分)证明以下命题:(1) 对任一正整a,都存在整数b,c(b1)。设=+.+ ,=-+.+(-1 ,n (1)若= 1,d=2,q=3,求 的值;(2)若=1,证明(1-q)-(1+q)=,n;(3) 若正数n满足2nq,设的两个不同的排列, , 证明。本小题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的通项公式与前n项和公式等基础知识,考查运算能力,推理论证能力及综合分析和解决问题的能力的能力,满分14分。所以, ()证明: 因为所以 若,取i=n 若,取i满足且【2008年高考试题】4.(2008广东卷理2)记等差数列的前项和为,若,则( )A16 B24 C36 D48答案:D解析:,故7.(2008广东理2)记等差数列的前项和为,若,则( )A16B24C36D48答案:D 。3.(2008海南宁夏卷理17)已知数列是一个等差数列,且,。(1)求的通项;(2)求前n项和的最大值。解:()设的公差为,由已知条件,解出,所以()所以时,取到最大值4.(2008山东理19文20)将数列an中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表:a1a2 a3a4 a5 a6a7 a8 a9 a10记表中的第一列数a1,a2,a4,a7,构成的数列为bn,b1=a1=1. Sn为数列bn的前n项和,且满足1=(n2).()证明数列成等差数列,并求数列bn的通项公式;()上表中,若从第三行起,每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列,且公比为同一个正数.当时,求上表中第k(k3)行所有项和的和. ()解:设上表中从第三行起,每行的公比都为q,且q0. 因为所以表中第1行至第12行共含有数列an的前78项,故 a82在表中第13行第三列,因此又所以 q=2.记表中第k(k3)行所有项的和为S,则(k3).点评:本题考查等差数列、等比数列的基本知识,考查数列求和及推理运算能力。5.(2008江苏卷19).()设是各项均不为零的等差数列(),且公差,若将此数列删去某一项得到的数列(按原来的顺序)是等比数列:当n =4时,求的数值;求的所有可能值;()求证:对于一个给定的正整数n(n4),存在一个各项及公差都不为零的等差数列,其中任意三项(按原来顺序)都不能组成等比数列当n5 时, 中同样不可能删去首项或末项若删去,则有,即故得=6 ;若删去,则,即化简得30,因为d0,所以也不能删去;若删去,则有,即故得= 2 当n6 时,不存在这样的等差数列事实上,在数列, 中,由于不能删去首项或末项,若删去,则必有,这与d0 矛盾;同样若删去也有,这与d0 矛盾;若删去,中任意一个,则必有,这与d0 矛盾综上所述,n4,5点评:等差等比数列这部分内容主要考查公式的灵活应用,这是高考的热点。6.(2008广东卷21)设为实数,是方程的两个实根,数列满足,()(1)证明:,;(2)求数列的通项公式;(3)若,求的前项和当时,此时方程组的解记为即、分别是公比为、的等比数列,由等比数列性质可得,两式相减,得,即,当时,即方程有重根,即,得,不妨设,由可知,即,等式两边同时除以,得,即数列是以1为公差的等差数列,,综上所述,【2007年高考试题】1(2007宁夏、海南理4)已知是等差数列,其前10项和,则其公差()答案:D解析: 选D2(2007宁夏、海南理7)已知,成等差数列,成等比数列,则的最小值是()答案:D解析: 选D。3(2007广东理5) 已知数列的前n项和,第k项满足,则= A9 B8 C7 D61(2007山东理17)设数列满足,()求数列的通项;()设,求数列的前项和解:(I) 验证时也满足上式,(II) , , 2(2007山东理18)设是公比大于1的等比数列,为数列的前项和已知,且构成等差数列(1)求数列的等差数列(2)令求数列的前项和 (2)由于由(1)得又是等差数列故 - 75 -用心 爱心 专心
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