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第3课时不等式的证明反证法、放缩法、几何法1了解放缩法、反证法、几何法的概念；理解用反证法、放缩法、几何法证明不等式的步骤(重点)2会用反证法、放缩法、几何法证明一些简单的不等式(难点)基础初探教材整理1放缩法与几何法阅读教材P18P20，完成下列问题1放缩法证明命题时，有时可以通过缩小(或放大)分式的分母(或分子)，或通过放大(或缩小)被减式(或减式)来证明不等式，这种证明不等式的方法称为放缩法2几何法通过构造几何图形，利用几何图形的性质来证明不等式的方法称为几何法判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)分式的放缩可以通过放大(或缩小)分子(或分母)来进行()(2)整式的放缩可以通过加减项来进行()(3)从，cbc，aac，三式同向相乘，得(1a)a(1b)b(1c)c.0a1，(1a)a.同理(1b)b，(1c)c.又(1a)a，(1b)b，(1c)c均大于零，(1a)a(1b)b(1c)c，因此式与式矛盾故假设不成立，即原命题成立1反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推理，否则，仅否定结论， 不从结论的反面推理，就不是反证法2利用反证法证题的关键是利用假设和条件通过正确推理推出与已知条件或定理事实相矛盾，或自相矛盾再练一题1若0a2,0b2,0c1.同理1，1.得33，矛盾所以原命题得证.反证法证明“至少”“至多” 型命题已知f(x)x2pxq，求证：(1)f(1)f(3)2f(2)2；(2)|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于.【精彩点拨】(1)把f(1)，f(2)，f(3)代入函数f(x)求值推算可得结论(2)假设结论不成立，推出矛盾，得结论【自主解答】(1)f(1)f(3)2f(2)(1pq)(93pq)2(42pq)2.(2)用反证法证明假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于，则有|f(1)|2|f(2)|f(3)|2.又|f(1)|2|f(2)|f(3)|f(1)f(3)2f(2)2，互相矛盾，假设不成立，|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于.1当证明的题目中含有“至多”“至少”“最多”等字眼时，常使用反证法证明，在证明中出现自相矛盾，说明假设不成立2在用反证法证明的过程中，由于作出了与结论相反的假设，相当于增加了题设条件，因此在证明过程中必须使用这个增加的条件，否则将无法推出矛盾再练一题2已知函数yf(x)在区间(a，b)上是增函数，求证：yf(x)在区间(a，b)上至多有一个零点【证明】假设函数yf(x)在区间(a，b)上至少有两个零点不妨设x1，x2(x1x2)为函数yf(x)在区间(a，b)上的两个零点，且x1x2，则f(x1)f(x2)0.函数yf(x)在区间(a，b)上为增函数，x1，x2(a，b)且x1x2，f(x1)f(x2)，与f(x1)f(x2)0矛盾，原假设不成立函数yf(x)在(a，b)上至多有一个零点探究共研型放缩法证明不等式探究1若将放大(或缩小)，常用哪些方法？【提示】将分子或分母放大(缩小)：1)，1)，(k1)等探究2在整式放缩中，常用到哪些性质？【提示】在整式的放缩中，常用到不等式的性质绝对值不等式、平均值不等式等如ab2(a，b为正数)，a2b22ab，|a|b|ab|a|b|等已知an2n2，n为正整数，求证：对一切正整数n，有.【精彩点拨】针对不等式的特点，对其通项进行放缩、列项【自主解答】当n2时，an2n22n(n1)，111，即.放大或缩小时注意要适当，必须目标明确，合情合理，恰到好处，且不可放缩过大或过小，谨慎地添或减是放缩法的基本策略.再练一题3求证：1k(k1)，(k为正整数，且n2)，分别令k2,3，n得1，因此11112，故不等式10，abbcac0，abc0，用反证法求证a0，b0，c0时的假设为()Aa0，b0，c0，c0Ca，b，c不全是正数Dabc0【答案】C3已知a，b，c，d都是正数，S，则有()AS1CS2D以上都不对【解析】S(abcd)1.【答案】B4已知a为正数，则，从大到小的顺序为_. 【导学号：94910024】【解析】2，2，2.【答案】5已知函数f(x)是(，)上的增函数，a，bR.(1)若ab0，求证：f(a)f(b)f(a)f(b)；(2)判断(1)中命题的逆命题是否成立，并证明你的结论【证明】(1)ab0，ab.由已知f(x)的单调性得：f(a)f(b)又ab0baf(b)f(a)两式相加即得：f(a)f(b)f(a)f(b)(2)命题(1)的逆命题为：若f(a)f(b)f(a)f(b)，则ab0.逆命题成立下面用反证法证之假设ab0，那么：f(a)f(b)f(a)f(b)这与已知矛盾，故只有：ab0.逆命题得证我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2) 学业分层测评(八)(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1若ABC的三边a，b，c的倒数成等差数列，则()ABBBDB【解析】假设B，则b最大，有ba，bc，.，与题意中的矛盾Bb，那么”时，假设的内容是()A.BC.且D或【解析】应假设，即或2)，则()ApqBp0，p224，而q(a2)24，根据a2，可得qq.【答案】A5设M，则()AM1BM1DM与1大小关系不定【解析】Mb0，m0，n0，则，按由小到大的顺序排列为_【解析】由不等式ab0，m0，n0，知1，且1，即1.【答案】0，y0，A，B，则A，B的大小关系为_. 【导学号：94910025】【解析】BA，即AB.【答案】A0，b0，且ab2，求证：，中至少有一个小于2.【证明】假设，都不小于2，则2，2.a0，b0，1b2a,1a2b，2ab2(ab)，即2ab，这与ab2矛盾故假设不成立即，中至少有一个小于2.10已知ABC三边长是a，b，c，且m是正数，求证：.【证明】设f(x)1(x0，m0)易知函数f(x)(x0)是增函数则f(a)f(b)f(ab)又在ABC中，abc0，f(ab)f(c)，.能力提升1已知xa(a2)，y(byBx2)，而b222(b0)，即yy.【答案】A2若|a|1，|b|1，则()A.1B1C.1D1【解析】假设1，故|ab|1ab|a2b22ab12aba2b2a2b21a2b20a2(1b2)(1b2)0(a21)(1b2)0.由上式知a210,1b20或a210,1b20.与已知矛盾，故1；ab2；ab2；a2b22；ab1.其中能推出“a，b中至少有一个实数大于1”的条件是_【解析】对于，a，b均可小于1；对于，a，b均可等于1；对于，a，b均可为负数；对于，若a，b都不大于1，则ab2，与矛盾故若成立，则“a，b中至少有一个实数大于1”成立【答案】4若0a，n2，且n为正整数，已知a2ab，求证：b.【证明】由已知得baa2.令f(x)，则f(x)在内是增函数，又n2，n为正整数，且0a，因此a，f(a)f，从而b.又，故b.
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