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第二节,离散型随机变量,离散型随机变量的概率分布,分布列,其中(k=1,2,)满足如下性质：,（2）,知道了离散型随机变量的分布律，也就不难计算出随机变量落在某一区域内的概率，因此，分布律全面地描述了离散型随机变量的统计规律。,这样，我们就掌握了X这个随机变量取值的概率规律.,从中任取3个球,取到的白球数X是一个随机变量,X可能取的值是0,1,2,取每个值的概率为,例2,且,例3.某篮球运动员投中篮圈概率是0.9，求他两次独立投篮投中次数X的概率分布.,解：X可取0、1、2为值,P(X=0)=(0.1)(0.1)=0.01,P(X=1)=2(0.9)(0.1)=0.18,P(X=2)=(0.9)(0.9)=0.81,且P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1,二、几个常见的离散型分布,1.两点分布（0-1分布）,用X表示n重贝努里试验中事件A（成功）出现的次数，则,（2）,不难验证：,（1）,称r.vX服从参数为n和p的二项分布，记作,XB(n,p),当n=1时，P(X=k)=pk(1-p)1-k,k=0,1称X服从0-1分布,2.二项分布,例4.设射手每一次击中目标的概率为p，现连续射击n次，求击中次数X的概率分布.,例5、某类灯泡使用时数在1000小时以上的概率是0.2，求三个灯泡在使用1000小时以后最多只有一个坏了的概率.,解:设X为三个灯泡在使用1000小时已坏的灯泡数.,XB(3,0.8)，,把观察一个灯泡的使用时数看作一次试验,“使用到1000小时已坏”视为“成功”.每次试验,“成功”的概率为0.8,P(X1)=P(X=0)+P(X=1),=(0.2)3+3(0.8)(0.2)2,=0.104,对于固定n及p，当k增加时,概率P(X=k)先是随之增加直至达到最大值,随后单调减少.,当(n+1)p不为整数时，二项概率P(X=k)在k=(n+1)p达到最大值；,(x表示不超过x的最大整数),对于固定n及p，当k增加时,概率P(X=k)先是随之增加直至达到最大值,随后单调减少.,当(n+1)p为整数时，二项概率P(X=k)在k=(n+1)p和k=(n+1)p-1处达到最大值.,课下请自行证明上述结论.,设射手每一次击中目标的概率为0.33，现连续射击11次，击中次数最大可能是多少次？,3、泊松分布,设随机变量X所有可能取的值为0,1,2,且概率分布为：,其中0是常数,则称X服从参数为的泊松分布,记作XP().,(一)定义,显然，且有,即满足分布律的两个条件.,请看演示,泊松分布,（二）二项分布的泊松近似,当试验次数n很大时，计算二项概率变得很麻烦，如要计算,我们先来介绍二项分布的泊松近似，后面将介绍二项分布的正态近似.,或诸如此类的计算问题，必须寻求近似方法.,泊松定理,定理的条件意味着当n很大时，pn必定很小.因此，泊松定理表明，当n很大（n=10），p很小（p=0.1）时有以下近似式：,其中,例6.一批产品的废品率为2%，从中任意抽取100个，求其中恰好有一个废品的概率。,例7.若一年中某类保险者里面每个人死亡的概率为0.002,现有2000个这类人参加人寿保险。参加者交纳24元保险金，而死亡时保险公司付给其家属5000元赔偿费。计算“保险公司亏本”和“保险公司盈利不少于10000元”的概率。,由泊松定理，n重贝努里试验中稀有事件出现的次数近似地服从泊松分布.,我们把在每次试验中出现概率很小的事件称作稀有事件.,如地震、火山爆发、特大洪水、意外事故等等,例.有一汽车站有大量汽车通过,设每辆汽车在一天某段时间出事故的概率为0.0001,在某天该段时间内有1000辆汽车通过,求事故数不小于2的概率.,几何分布,则称随机变量X服从以p为参数的几何分布，记作。,例8.对产品进行抽查，只要发现废品就认为这批产品不合格，并结束抽查。若抽查到第n件仍未发现废品则认为这批产品合格。假设产品数量很大，每次抽查到废品的概率都是p，求抽查的件数X的分布列。,已知某射手每发命中目标的概率是p，现连续向一目标射击，直到第n次命中为止，求所需射击发数X的概率分布。,例9.某人的一串钥匙上有n把钥匙，其中只有一把能打开自己的家门，他随意地试用这串钥匙中的某一把去开门.若每把钥匙试开一次后除去，求打开门时试开次数X的分布律。,超几何分布,其中l=minM,n,则称随机变量X服从参数为的超几何分布，记作,
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