概率论与数理统计第五讲.ppt

1,概率论与数理统计,连续型随机变量及其概率密度随机变量的分布函数,2,1o,2o,1.连续型r.v及其密度函数的定义,一、连续型随机变量及其概率密度,3o,设X是随机变量，如果存在定义在整个实数轴上的函数f(x),满足条件,且对于任意两个实数a,b,a可以为,b可以为,则称X为连续型r.v,称f(x)为X的概率密度函数，简称概率密度.,3,故X的密度f(x)在x这一点的值，恰好是X落在区间上的概率与区间长度之比的极限.这里，如果把概率理解为质量，f(x)相当于线密度.,若x是f(x)的连续点，则：,=f(x),对f(x)的进一步理解:,4,要注意的是，密度函数f(x)在某点处a的值，并不反映X取值a的概率.,若不计高阶无穷小，有：,但是，这个高度越大，则X取a附近的值的概率就越大.,即在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度.,=f(x),5,连续型r.v取任一指定值的概率为0.,即：,a为任一指定值,因为：,注意:,由此得，,1）对连续型r.vX,有,6,2)由P(X=a)=0可推知,而X=a并非不可能事件,并非必然事件,称A为几乎不可能事件，B为几乎必然事件.,可见，,由P(A)=0,不能推出,由P(B)=1,不能推出B=S,7,若r.vX的概率密度为：,则称X服从区间(a,b)上的均匀分布，记作：,XU(a,b),它的实际背景是：r.vX取值在区间(a,b)上，并且取值在(a,b)中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比.,1.均匀分布,二、三种重要的连续型随机变量,8,例1某公共汽车站从上午7时起，每15分钟来一班车，即7:00，7:15，7:30,7:45等时刻有汽车到达此站，如果乘客到达此站时间X是7:00到7:30之间的均匀随机变量,试求他候车时间少于5分钟的概率.,解：,依题意，XU(0,30),以7:00为起点0，以分为单位,9,为使候车时间X少于5分钟，乘客必须在7:10到7:15之间，或在7:25到7:30之间到达车站.,所求概率为：,从上午7时起，每15分钟来一班车，即7:00，7:15，7:30等时刻有汽车到达汽车站，,即乘客候车时间少于5分钟的概率是1/3.,10,则称X服从参数为的指数分布.,指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命（无记忆性）.,若r.vX具有概率密度,常简记为XE().,2.指数分布,11,若r.vX的概率密度为,记作,f(x)所确定的曲线叫作正态曲线.,其中和都是常数，任意，0，则称X服从参数为和的正态分布.,3.正态分布,12,标准正态分布,的正态分布称为标准正态分布.,其密度函数用表示,13,为了对离散型的和非离散型的r.v以及更广泛类型的r.v给出一种统一的描述方法，我们引进分布函数的概念.,三、随机变量的分布函数,14,由定义，对任意实数x1x2，随机点落在区间（x1,x2的概率为：,Px1Xx2=PXx2-PXx1=F(x2)-F(x1),因此，只要知道了随机变量X的分布函数，它的统计特性就可以得到全面的描述.,X,x皆为变量.二者有什么区别？,15,2、分布函数F(x)的性质：,1）F(x)是一个单调不减函数.,2）,3）,3、离散型r.v的分布函数,由于F(x)是X取的诸值xk的概率之和，故又称F(x)为累积概率函数.,16,试说明F(x)能否是某个r.v的分布函数.,例2设有函数F(x),解：注意到函数F(x)在上下降，不满足性质(1)，故F(x)不能是分布函数.,不满足性质(2)，可见F(x)也不能是r.v的分布函数.,或者,17,当x0时，Xx=，故F(x)=0,当0 x1时，F(x)=P(Xx)=P(X=0)=,当1x2时，F(x)=P(X=0)+P(X=1)=+=,当x2时，F(x)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1,18,故,注意右连续,下面我们从图形上来看一下.,19,分布律图,分布函数图,画分布函数图,20,F(x)=P(Xx)=,解：,对x1，F(x)=1,对,22,例5在区间0，a上任意投掷一个质点，以X表示这个质点的坐标.设这个质点落在0,a中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比，试求X的分布函数.,解：设F(x)为X的分布函数，,当xa时，F(x)=1,当0 xa时，P(0Xx)=kx(k为常数),23,F(x)=P(Xx)=P(X0)+P(0Xx),=x/a,这就是在区间0，a上服从均匀分布的随机变量的分布函数.,当0 xa时，P(0Xx)=kx(k为常数),24,求F(x).,例6设,由于f(x)是分段表达的，求F(x)时注意分段求.,25,26,例7设r.vX的分布函数为,（1）求X取值在区间（0.3,0.7）的概率；（2）求X的概率密度.,解:(1)P(0.3X0.7)=F(0.7)-F(0.3),=0.72-0.32=0.4,(2)f(x)=,注意到F(x)在1处导数不存在，根据改变被积函数在个别点处的值不影响积分结果的性质，可以在没意义的点处，任意规定的值.,