线性代数教案

1 线性代数 授 课 教 案 代数几何教研室 2 第一章 行列式 本章说明与要求 行列式的理论是人们从解线性方程组的需要中建立和发展起来的 它在线性 代数以及其他数学分支上都有着广泛的应用 在本章里我们主要讨论下面几个问 题 1 行列式的定义 2 行列式的基本性质及计算方法 3 利用行列式求解线性方程组 克莱姆法则 本章的重点是行列式的计算 要求在理解 n 阶行列式的概念 掌握行列式性 质的基础上 熟练正确地计算三阶 四阶及简单的 n 阶行列式 计算行列式的基本思路是 按行 列 展开公式 通过降阶来计算 但在展开 之前往往先利用行列式性质通过对行列式的恒等变形 使行列式中出现较多的零 和公因式 从而简化计算 常用的行列式计算方法和技巧有 直接利用定义法 化三角形法 降阶法 递推法 数学归纳法 利用已知行列式法 行列式在本章的应用是求解线性方程组 克莱姆法则 要掌握克莱姆法则并 注意克莱姆法则应用的条件 本章的重点 行列式性质 行列式的计算 本章的难点 行列式性质 高阶行列式的计算 克莱姆法则 1 1 二阶与三阶行列式 行列式的概念起源于解线性方程组 它是从二元与三元线性方程组的解的公 式引出来的 因此我们首先讨论解方程组的问题 设有二元线性方程组 1 2211bxa 用加减消元法容易求出未知量 x1 x 2 的值 当 a11a22 a12a21 0 时 有 3 2 212122121abx 这就是一般二元线性方程组的公式解 但这个公式很不好记忆 应用时不方 便 因此 我们引进新的符号来表示 2 这个结果 这就是行列式的起源 我们称 4 个数组成的符号 21121aa 为二阶行列式 它含有两行 两列 横的叫行 纵的叫列 行列式中的数叫做行 列式的元素 从上式知 二阶行列式是这样两项的代数和 一个是从左上角到右 下角的对角线 又叫行列式的主对角线 上两个元素的乘积 取正号 另一个是从 右上角到左下角的对角线 又叫次对角线 上两个元素的乘积 取负号 根据定义 容易得知 2 中的两个分子可分别写成 212121abab 2121bab 如果记 21D21 21D 则当 D 0 时 方程组 1 的解 2 可以表示成 3 21 121abx 2112abx 象这样用行列式来表示解 形式简便整齐 便于记忆 首先 3 中分母的行列式是从 1 式中的系数按其原有的相对位置而排成 的 分子中的行列式 x 1 的分子是把系数行列式中的第 1 列换成 1 的常数项得到 的 而 x2 的分子则是把系数行列式的第 2 列换成常数项而得到的 例 1 用二阶行列式解线性方程组 4 23141x 解 这时 02143 D 51241 31212 D 因此 方程组的解是 51 Dx32 x 对于三元一次线性方程组 4 3231221bxaxa 作类似的讨论 我们引入三阶行列式的概念 我们称符号 5 3123213213231 aaaa 为三阶行列式 它有三行三列 是六项的代数和 这六项的和也可用对角线法则 来记忆 从左上角到右下角三个元素的乘积取正号 从右上角到左下角三个元素 的乘积取负号 例 2 5314 2 10620 1325 4 123 4 令 3231 1aD 5 323 11abD 331221abD 32311baD 当 D 0 时 4 的解可简单地表示成 6 x12x3 它的结构与前面二元一次方程组的解类似 例 3 解线性方程组 4215031x 解 85 D13251 D 47213 02 43103 所以 8 Dx8x28 Dx 例 4 已知 问 a b 应满足什么条件 其中 a b 均为实数 01 ab 解 若要 a2 b2 0 则 a 与 b 须同时等于零 因此 210bab 当 a 0 且 b 0 时给定行列式等于零 为了得到更为一般的线性方程组的求解公式 我们需要引入 n 阶行列式的概 6 念 为此 先介绍排列的有关知识 思考题 当 a b 为何值时 行列式 02 D 1 2 排列 在 n 阶行列式的定义中 要用到排列的某些知识 为此先介绍排列的一些基 本知识 定义 1 由数码 1 2 n 组成一个有序数组称为一个 n 级排列 例如 1234 是一个 4 级排列 3412 也是一个 4 级排列 而 52341 是一个 5 级 排列 由数码 1 2 3 组成的所有 3 级排列为 123 132 213 231 312 321 共有 3 6 个 数字由小到大的 n 级排列 1234 n 称为自然序排列 定义 2 在一个 n 级排列 i1i2 in 中 如果有较大的数 it 排在较小的数 is 的前 面 i s it 则称 it 与 is 构成一个逆序 一个 n 级排列中逆序的总数 称为这个排 列的逆序数 记作 N i1i2 in 例如 在 4 级排列 3412 中 31 32 41 42 各构成一个逆序数 所以 排列 3412 的逆序数为 N 3412 4 同样可计算排列 52341 的逆序数为 N 52341 7 容易看出 自然序排列的逆序数为 0 定义 3 如果排列 i1i2 in 的逆序数 N i1i2 in 是奇数 则称此排列为奇排列 逆序数是偶数的排列则称为偶排列 例如 排列 3412 是偶排列 排列 52341 是奇排列 自然排列 123 n 是偶排 列 定义 4 在一个 n 级排列 i1 is it in 中 如果其中某两个数 is 与 it 对调位置 其余各数位置不变 就得到另一个新的 n 级排列 i1 it is in 这样的变换称为一 个对换 记作 i s i t 7 如在排列 3412 中 将 4 与 2 对换 得到新的排列 3214 并且我们看到 偶排列 3412 经过 4 与 2 的对换后 变成了奇排列 3214 反之 也可以说奇排列 3214 经过 2 与 4 的对换后 变成了偶排列 3412 一般地 有以下定理 定理 1 任一排列经过一次对换后 其奇偶性改变 证明 首先讨论对换相邻两个数的情况 该排列为 a1a2 al i j b1b2 bmc1c2 cn 将相邻两个数 i 与 j 作一次对换 则排列变为 a1a2 al j i b1 b2 bmc1c2 cn 显然对数 a1 a 2 a l b 1 b 2 b m 和 c1c2 cn 来说 并不改变它们的逆序 数 但当 ij 时 经过 i 与 j 的对换后 排列的逆序数减少 1 个 所以对换相邻两数后 排列改变了奇偶 性 再讨论一般情况 设排列为 a1a2 al i b1b2 bmjc1c2 cn 将 i 与 j 作一次对换 则排列变为 a1a2 al j b1b2 bmi c1 c2 cn 这就是对换不相邻的两个数的情况 但它可以看成是先将 i 与 b1 对换 再与 b2 对 换 最后与 bm 的对换 即 i 与它后面的数作 m 次相邻两数的对换变成排列 a1a2 alb1b2 bmi j c1 cn 然后将数 j 与它前面的数 i b m b 1 作 m 1 次相邻两数的对换而成 而对换不相 邻的数 i 与 j 中间有 m 个数 相当于作 2m 1 次相邻两数的对换 由前面的证明 知 排列的奇偶性改变了 2m 1 次 而 2m 1 为奇数 因此 不相邻的两数 i j 经 过对换后的排列与原排列的奇偶性不同 定理 2 在所有的 n 级排列中 n 2 奇排列与偶排列的个数相等 各为 个 n 证明 设在 n 个 n 级排列中 奇排列共有 p 个 偶排列共有 q 个 对这 p 个 奇排列施以同一个对换 如都对换 1 2 则由定理 1 知 p 个奇排列全部变为偶 排列 由于偶排列一共只有 q 个 所以 p q 同理将全部的偶排列施以同一对换 8 1 2 则 q 个偶排列全部变为奇排列 于是又有 q p 所以 q p 即奇排列与 偶排列的个数相等 又由于 n 级排列共有 n 个 所以 q p n 2 定理 3 任一 n 级排列 i1i2 in 都可通过一系列对换与 n 级自然序排列 12 n 互变 且所作对换的次数与这个 n 级排列有相同的奇偶性 证明 对排列的级数用数学归纳法证之 对于 2 级排列 结论显然成立 假设对 n 1 级排列 结论成立 现在证明对于 n 级排列 结论也成立 若 in n 则根据归纳假设 i1i2 in 1 是 n 1 级排列 可经过一系列对换变成 12 n 1 于是这一系列对换就把 i1i2 in 变成 12 n 若 in n 则先施行 in 与 n 的对换 使之变成 i1 i2 i n 1n 这就归结成上面的情形 相仿地 12 n 也可经 过一系列对换变成 i1i2 in 因此结论成立 因为 12 n 是偶排列 由定理 1 可知 当 i1i2 in 是奇 偶 排列时 必须施行 奇 偶 数次对换方能变成偶排列 所以 所施行对换的次数与排列 i1i2 in 具有相 同的奇偶性 思考题 1 决定 i j 的值 使 1 1245i6j97 为奇排列 2 3972i15j4 为偶排列 2 排列 n n 1 n 2 321 经过多少次相邻两数对换变成自然顺序排列 1 3 n 阶行列式 本节我们从观察二阶 三阶行列式的特征入手 引出 n 阶行列式的定义 已知二阶与三阶行列式分别为 212121aa 9 31232132132311 aaaa 其中元素 aij 的第一个下标 i 表示这个元素位于第 i 行 称为行标 第二个下标 j 表 示此元素位于第 j 列 称为列标 我们可以从中发现以下规律 1 二阶行列式是 2 项的代数和 三阶行列式是 3 项的代数和 2 二阶行列式中每一项是两个元素的乘积 它们分别取自不同的行和不同 的列 三阶行列式中的每一项是三个元素的乘积 它们也是取自不同的行和不同 的列 3 每一项的符号是 当这一项中元素的行标是按自然序排列时 如果元素 的列标为偶排列 则取正号 为奇排列 则取负号 作为二 三阶行列式的推广我们给出 n 阶行列式的定义 定义 1 由排成 n 行 n 列的 n2 个元素 aij i j 1 2 n 组成的符号nnaa 21212 称为 n 阶行列式 它是 n 项的代数和 每一项是取自不同行和不同列的 n 个 元素的乘积 各项的符号是 每一项中各元素的行标排成自然序排列 如果列标 的排列为偶排列时 则取正号 为奇排列 则取负号 于是得 1 nn naa 212112 nj 21 nnjjjNa 2121 其中 表示对所有的 n 级排列 j1j2 jn 求和 nj 21 1 式称为 n 阶行列式按行标自然顺序排列的展开式 21njN 10 称为行列式的一般项 njja 21 当 n 2 3 时 这样定义的二阶 三阶行列式与上面 1 1 中用对角线法则定义 的是一致的 当 n 1 时 一阶行列为 a 11 a11 如 当 n 4 时 4 阶行列式 432 14421312 aa 表示 4 24 项的代数和 因为取自不同行 不同列 4 个元素的乘积恰为 4 项 根据 n 阶行列式的定义 4 阶行列式为43214421312 aa j jjjNa 21 3214321 例如 a14a23a31a42 行标排列为 1234 元素取自不同的行 列标排列为 4312 元 素取自不同的列 因为 N 4312 5 所以该项取负号 即 a 14a23a31a42 是上述行列 式中的一项 为了熟悉 n 阶行列式的定义 我们来看下面几个问题 例 1 在 5 阶行列式中 a 12a23a35a41a54 这一项应取什么符号 解 这一项各元素的行标是按自然顺序排列的 而列标的排列为 23514 因 N 23514 4 故这一项应取正号 例 2 写出 4 阶行列式中 带负号且包含因子 a11a23 的项 解 包含因子 a11a23 项的一般形式为 jjN34321 按定义 j 3 可取 2 或 4 j 4 可取 4 或 2 因此包含因子 a11a23 的项只能是 a11a23a32a44 或 a11a23a34a42 但因 N 1324 1 为奇数 N 1342 2 为偶数 11 所以此项只能是 a11a23a32a44 例 3 计算行列式 hgvufeyxdcb0 解 这是一个四阶行列式 按行列式的定义 它应有 4 24 项 但只有以下 四项 adeh adfg bceh bcfg 不为零 与这四项相对应得列标的 4 级排列分别为 1234 1243 2134 和 2143 而 N 1234 0 N 1243 1 N 2134 1 和 N 2143 2 所以第一项和第四项应取正 号 第二项和第三项应取负号 即 adeh adfg bceh bcfghgvufeyxdc ba0 例 4 计算上三角形行列式 nnaaD 2121 0 其中 aii i 1 2 n 解 由 n 阶行列式的定义 应有 n 项 其一般项为njj 21 但由于 D 中有许多元素为零 只需求出上述一切项中不为零的项即可 在 D 中 第 n 行元素除 ann 外 其余均为 所以 jn n 在第 n 1 行中 除 an 1n 1 和 an 1n 外 其余元素都是零 因而 jn 1 只取 n 1 n 这两个可能 又由于 ann a n 1n 位于同 一列 而 jn n 所以只有 jn 1 n 1 这样逐步往上推 不难看出 在展开式中只 有 a11a22 ann 一项不等于零 而这项的列标所组成的排列的逆序数是 N 12 n 0 12 故取正号 因此 由行列式的定义有 a11a22 annn naD 2121 0 即上三角形行列式的值等于主对角线上各元素的乘积 同理可求得下三角形行列式 a11a22 annnna 0 211 特别地 对角形行列式 a11a22 annn 0 021 上 下 三角形行列式及对角形行列式的值 均等于主对角线上元素的乘积 例 5 计算行列式 00112 nnaa 解 这个行列式除了 a1na2n 1 an1 这一项外 其余项均为零 现在来看这一 项的符号 列标的 n 级排列为 n n 1 21 N n n 1 21 n 1 n 2 2 1 所以2 13 00112 nnaa 121 nna 同理可计算出 001122 1 nnaa nnna11210 121 nna 由行列式的定义 行列式中的每一项都是取自不同的行不同的列的 n 个元素 的乘积 所以可得出 如果行列式有一行 列 的元素全为 0 则该行列式等于 0 在 n 阶行列式中 为了决定每一项的正负号 我们把 n 个元素的行标排成自 然序排列 即 事实上 数的乘法是满足交换律的 因而这 n 个元njja 21 素的次序是可以任意写的 一般地 n 阶行列式的项可以写成 2 njijia 21 其中 i1i2 in j 1 j2 jn 是两个 n 阶排列 它的符号由下面的定理来决定 定理 1 n 阶行列式的一般项可以写成 3 nnn jijijNi a 212121 其中 i1i2 in j 1j2 jn 都是 n 级排列 证明 若根据 n 阶行列式的定义来决定 2 的符号 就要把这 n 个元素重新排 一下 使得它们的行标成自然顺序 也就是排成 4 2 1njja 于是它的符号是 21 jN 现在来证明 1 与 3 是一致的 我们知道从 2 变到 4 可经过一系列元素的对 换来实现 每作一次对换 元素的行标与列标所组成的排列 i1i2 in j 1j2 jn 就同 时作一次对换 也就是 N i1i2 in 与 N j1j2 jn 同时改变奇偶性 因而它的和 N i1i2 in N j1j2 jn 的奇偶性不改变 这就是说 对 2 作一次元素的对换不改变 3 的值 因此在一系 14 列对换之后有 12 21212121 nnnn jjNjjNnjNi 这就证明了 1 与 3 是一致的 例如 a 21a32a14a43 是 4 阶行列式中一项 它和符号应为 1 N 2314 N 1243 1 2 1 1 如按行标排成自然顺序 就是 a14a21a32a43 因而它的符号是 1 N 4123 1 3 1 同样 由数的乘法的交换律 我们也可以把行列式的一般项 中元素njja 21 的列标排成自然顺序 123 n 而此时相应的行标的 n 级排列为 i1i2 in 则行列式 定义又可叙述为 n nni iiiNnn aaa 21 2121 2112 思考题 1 如果 n 阶行列式所有元素变号 问行列式的值如何变化 2 由行列式的定义计算 f x x123 中 x4 与 x3 的系数 并说明理由 1 4 行列式的性质 当行列式的阶数较高时 直接根据定义计算 n 阶行列式的值是困难的 本节 将介绍行列式的性质 以便用这些性质把复杂的行列式转化为较简单的行列式 如 上三角形行列式等 来计算 将行列式 D 的行列互换后得到的行列式称为行列式 D 的转置行列式 记作 15 DT 即若 则 nn naa 212112 nnnTaaD 212121 反之 行列式 D 也是行列式 DT 的转置行列式 即行列式 D 与行列式 DT 互为转置 行列式 性质 行列式 D 与它的转置行列式 DT 的值相等 证 行列式 D 中的元素 aij i j 1 2 n 在 DT 中位于第 j 行第 i 列上 也就是说它的行标是 j 列标是 i 因此 将行列式 DT 按列自然序排列展开 得 n nnj jjjNT a 21 2121 这正是行列式 D 按行自然序排列的展开式 所以 D DT 这一性质表明 行列式中的行 列的地位是对称的 即对于 行 成立的性 质 对 列 也同样成立 反之亦然 性质 交换行列式的两行 列 行列式变号 证 设行列式 21211行行siaaaaDnnsnii 将第 i 行与第 s 行 1 i s n 互换后 得到行列式 16 21211行行siaaaaDnniii sns 显然 乘积 在行列式 D 和 D1 中 都是取自不同行 不同si jjjj 列的 n 个元素的乘积 根据 3 定理 对于行列式 D 这一项的符号由 1 1 nsijjNnsi 决定 而对行列式 D1 这一项的符号由 1 nsijjnis 决定 而排列 1 i s n 与排列 1 s i n 的奇偶性相反 所以 1 nijjN 1 1nsijjNnis 即 D1 中的每一项都是 D 中的对应项的相反数 所以 D D1 例 计算行列式 05307481692 解 将第一 二行互换 第三 五行互换 得 0548379216 1 D 将第一 五列互换 得 17 120 54321500847392651 3 D 推论 若行列式有两行 列 的对应元素相同 则此行列式的值等于零 证 将行列式 D 中对应元素相同的两行互换 结果仍是 D 但由性质 有 D D 所以 D 0 性质 行列式某一行 列 所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面 即 nniii nnniii naaaakaka 2111221112 证 由行列式的定义有 左端 n ninj jjjjNk 21 121 n ninj jjjj ak 21 121 右端 此性质也可表述为 用数 k 乘行列式的某一行 列 的所有元素 等于用数 k 乘 此行列式 推论 如果行列式中有两行 列 的对应元素成比例 则此行列式的值等于 零 证 由性质 和性质 的推论即可得到 性质 如果行列式的某一行 列 的各元素都是两个数的和 则此行列式等 于两个相应的行列式的和 即 18 nniii nnniii nnnn iiiiii n aaccaaabbaaaccbaa 2111221112211121 证 左端 n niinj jjjjjNcb 21 2121 n ninj jjjj aa 21 2121 n ninj jjjjNc 21 2121 nniiinniii naaccaaabba 211121 右端 性质 5 把行列式的某一行 列 的所有元素乘以数 k 加到另一行 列 的相应元 素上 行列式的值不变 即 nnss inii aaaaD 21211 19 nnn sisisi inii aakkaaa 2121 11 证 由性质 右端 k nniii inii aakkaa 21211nnssinii aa 21211 左端nnss inii aa 21211 作为行列式性质的应用 我们来看下面几个例子 例 2 计算行列式 31 D i 行 k 加 到第 s 行 20 解 这个行列式的特点是各行 个数的和都是 我们把第 各列 同时加到第 列 把公因子提出 然后把第 行 1 加到第 行上就 成为三角形行列式 具体计算如下 48260216316316 3 D 例 3 计算行列式 01220 D 解 3143021 2 10210120 D 204 204 例 4 试证明 01 cbadD 证 把 列同时加到第 列上去 则得 21 01 1 adcbbadcbadcD 例 5 计算 n 1 阶行列式 xaxDn 32121 解 将 D 的第 列 第 列 第 n 1 列全加到第 列上 然后从第 列 提取公因子 得 nix1 xaxaaxDnni 32211 n ni axaxax 231211 00 a1 a2 an 22 211 nni axax 例 6 解方程 0 1 1 2 21 xnxx 解法一 1 1 1 2 2xnxx 2 3 1 2 00 3 100 xnxnxx 所以方程的解为 x1 0 x2 1 xn 2 n 3 xn 1 n 2 解法二 根据性质 的推论 若行列式有两行的元素相同 行列式等于 零 而所给行列式的第 行的元素全是 第 行 第 行 第 n 行的元素只 有对角线上的元素不是 其余均为 因此令对角线上的某个元素为 则行 列式必等于零 于是得到 23 1 x 1 2 x 1 n 2 x 1 n 1 x 1 有一成立时原行列式的值为零 所以方程的解为 x1 0 x2 1 xn 2 n 3 xn 1 n 2 例 7 计算 n 阶行列式 21 321312 niaxaxaDn 解 将第 1 行乘以 1 分别加到第 n 行上得nnaxxaxaxD 01321 从第一列提出 x a1 从第二提出 x a2 从第 n 列提出 x an 便得到 101 32121 nn axxxD 由 并把第 第 第 n 列都加于第 1 列 有 11axx 24 10011 3221 nniin axxaaxaxaxD 1 21 niiaxaxax 例 8 试证明奇数阶反对称行列式 00212112 nnaD 证 D 的转置行列式为 0212 112 nnTa 从 DT 中每一行提出一个公因子 1 于是有 但由性质 1 知道 DT DDannnnT 1 00 1 2212 D 1 nD 又由 n 为奇数 所以有 D D 即 2D 0 因此 D 0 思考题 25 1 证明下列各题 231 cbaacb 2 计算下列 n 阶行列式 110 021 naa 1 5 行列式按一行 列 展开 本节我们要研究如何把较高阶的行列式转化为较低阶行列式的问题 从而得 到计算行列式的另一种基本方法 降阶法 为此 先介绍代数余子式的概念 定义 在 n 阶行列式中 划去元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列后 余下的元素按 原来的位置构成一个 n 1 阶行列式 称为元素 aij 的余子式 记作 ij 元素 aij 的 余子式 ij 前面添上符号 1 i j 称为元素 aij 的代数余子式 记作 Aij 即 Aij 1 i jMij 例如 在四阶行列式 中 a23 的余子式是 M23 4342132 14312aD 4241331a 而 A23 1 2 3M23 是 a23 的代数余子式 424133 1 定理 n 阶行列式 D 等于它的任意一行 列 的元素与其对应的代数余子式的 26 乘积之和 即 D ai1Ai1 ai2Ai2 ainAin i 1 2 n 或 D a1jA1j a2jA2j anjAnj j 1 2 n 证明 只需证明按行展开的情形 按列展开的情形同理可证 1 先证按第一行展开的情形 根据性质 有 nnn nnnn aaaa 21 22 11212122 000 nnnnnn aaaa 21212122212 0000 按行列式的定义 n nnj jjjNnn aaa 21 2121 2110 112 1221 AaMn nnj jjj 同理 12121222121221 0 00 Aaaaannnnnn 27 nnnnnnnnn AaMaaa 11112212121 0 0 所以 D a11A11 a12A12 a1nA1n 2 再证按第 i 行展开的情形 将第 i 行分别与第 i 1 行 第 i 2 行 第 行进行交换 把第 i 行换到第 行 然后再按 的情形 即有 21211121121 iiiinninii MaMaaD iniiniAA 211 定理 n 阶行列式 D 中某一行 列 的各元素与另一行 列 对应元素的代数余 子式的乘积之和等于零 即 ai1As1 ai2As2 ainAsn 0 i s 或 a1jA1t a2jA2t anjAnt 0 j t 证 只证行的情形 列的情形同理可证 考虑辅助行列式 28 21211行行siaaaaDnniii nii 这个行列式的第 i 行与第 s 列的对应元素相同 它的值应等于零 由定理 1 将 D1 按第 s 行展开 有 D1 ai1As1 ai2As2 ainAsn 0 i s 定理 和定理 可以合并写成 ai1As1 ai2As2 ainAsn 0si 或 a1jA1t a2jA2t ajnAnt tj 定理 1 表明 n 阶行列式可以用 n 1 阶行列式来表示 因此该定理又称行列 式的降阶展开定理 利用它并结合行列式的性质 可以大大简化行列式的计 算 计算行列式时 一般利用性质将某一行 列 化简为仅有一个非零元素 再按 定理 1 展开 变为低一阶行列式 如此继续下去 直到将行列式化为三阶或二 阶 这在行列式的计算中是一种常用的方法 例 计算行列式 51024732 D 解 D 的第四行已有一个元素是零 利用性质 有 29 5 1 2 13281 013280427314 D85234 1 25034 例 计算 n 阶行列式 abbabD000 解 按第一列展开得 nnnn nbaba babaaD111 11 000 00 例 计算 其中 xy yxD 11 解 根据定理 1 把行列式适当地加一行一列 然后利用性质 有 30 yxyxD 0111 11011 第 2 列提出因子 x 第 3 列提出 x 第 4 列提出 y 第 5 列提出 y 得1 1 1001101 22 yxxyxyxD 例 试证 1 nijjnnn naaa1132122231 式中左端叫范德蒙行列式 结论说明 n 阶范德蒙行列式之值等于 a1 a2 an 这 n 个数的所有可能的差 ai aj 1 j i n 的乘积 证明 用数学归纳法 1 当 n 2 时 计算 阶范德蒙行列式的值 121aa 可见 n 2 时 结论成立 2 假设对于 n 1 阶范德蒙行列式结论成立 来看 n 阶范德蒙行列式 把第 加 到 各 行 31 n 1 行的 a 1 倍加到第 n 行 再把第 n 2 行的 a 1 倍加到第 n 1 行 如此继续作 最后把第 1 行的 a 1 倍加到第 2 行 得到 212313212 22 11311132122321 0 nnnnn nnnnn aaaaa 1213212 11312 aaannn n 223211312 nnn aaa 后面这个行列式是 n 1 阶范德蒙行列式 由归纳假设得 nijjnn aaa2232 于是上述 n 阶范德蒙行列式等于 nijjna211312 32 nijja 根据数学归纳法原理 对一切 n 2 1 式成立 例 计算 n 阶行列式 xaxaDnn 0011001321 解 把第一行乘以 x 加到第二行 然后把所得到的第二行乘以 x 加到第三行 这样继续进行下去 直到第 n 行 便得到 00101011321 niiiixaaxaD 10 1 niixa niinni xax1211 nnnaa 12 例 6 证明 33 21212121120babca 证 将上面等式左端的行列式按第一行展开 得 21212121212112 000bcabcabca 21212121221 aaa 2121b 本例题的结论对一般情况也是成立的 即 mmkmkk bbccaa 2121 121100mmkkaa 21121 思考题 1 计算下列行列式 34 04321310 213210 nnn 2 证明下列等式 a i 0 1 011021210 ninaa 1 6 克莱姆法则 前面我们已经介绍了 n 阶行列式的定义和计算方法 作为行列式的应用 本 节介绍用行列式解 n 元线性方程组的方法 克莱姆法则 它是 中二 三元 线性方程组求解公式的推广 设含有 n 个未知量 n 个方程的线性方程组为 1 nnnnbxaxa 21 222 121 它的系数 aij 构成的行列式 nnnaaD 212112 35 称为方程组 1 的系数行列式 定理 克莱姆法则 如果线性方程组 1 的系数行列式 D 则方程组 1 有唯一解 2 21DxxDn 其中 Dj j 1 2 n 是 D 中第 j 列换成常数项 b1 b 2 b n 其余各列不 变而得到的行列式 这个法则包含着两个结论 方程组 1 有解 解唯一 下面分两步来证明 第一步 在 D 的条件下 方程组 1 有解 我们将验证由 2 式给出的数组 确实是方程组 1 的解 21n 第二步 若方程组有解 必由 2 式给出 从而解是唯一的 证 首先将 代入 1 的第 i 个方程有 21DxxDn 3 1 12niii iii aa 左 端 把 D1 按第 列展开 D 2 按第 2 列展开 D n 按第 n 列展开 然后代入 3 式有 左端 11211 nii AbAba 21 222 ninnni ii 11 iii AaAabD 2122 ninini iii aab 36 00 12 nibDbD 右端ii 这样证明了 是 1 的解 21n 其次 证明方程组若有解 其解必由 2 式给出 即解是唯一的 即 假设 x1 k1 x2 k2 x n kn 是方程组 1 的一个解 证明必有下式DD 因 x1 k1 x2 k2 xn kn 是 1 的解 把它代入 1 有 1 nnnbkaka 21 222 11 将系数行列式 D 的 j 列的代数余子式 A1j A2j Anj 乘等式两边 得 a11A1jk1 a1jA1jkj a1nA1jkn b1A1j a21A2jk1 a2jA2jkj a2nA2jkn b2A2j an1Anjk1 anjAnjkj annAnjkn bnAnj 把这 n 个等式相加 并利用行列式按一列展开定理 得 jnj DcD 001 即 jjk 因为 D 所以 由于在上述证明过程中 j 可取遍 1 2 n 于kjj 是有 Dn 21 37 所以方程组的解是唯一的 例 解线性方程组 246833521321431xx 解 因为 017230512619034612835 D 所以方程组有唯一解 又 0462831 346122845321 DD 5261835 17426354 即得唯一解 7 017 17432 xxxx 注意 用克莱姆法则解线性方程组时 必须满足两个条件 一是方程的个数 与未知量的个数相等 二是系数行列式 D 当方程组 1 中的常数项都等于 时 称为齐次线性方程组 即 02122121nnnxaxa 38 称为齐次线性方程组 显然 齐次线性方程组 3 总是有解的 因为 x1 0 x2 0 xn 0 必定满足 3 这组解称为零解 也就是说 齐次线性方程组必有 零解 在解 x1 k1 x2 k2 xn kn 不全为零时 称这组解为方程组 3 的非零 解 定理 2 如果齐次线性方程组 3 的系数行列式 D 则它只有零解 证 由于 D 故方程组 3 有唯一解 又因为 3 已有零解 所以 3 只有零 解 定理的逆否命题如下 推论 如果齐次线性方程组 3 有非零解 那么它的系数行列式 D 例 2 若方程组 0321xba 只有零解 则 a b 应取何值 解 由定理 知 当系数行列式 D 时 方程组只有零解 1 21abD 所以 当 a 1 且 b 时 方程组只有零解 例 3 设 f x c0 c1x cnxn 用克莱姆法则证明 若 f x 有 n 1 个不同的根 则 f x 是一个零多项式 证明 设 a1 a 2 a n a n 1 是 f x 的 n 1 个不同的根 即 012110 22101nnnnaccaccc 这是以 c0 c 1 c 2 c n 为未知数的齐次线性方程组 其系数行列式为 39 nnnnnnaaaaaD121221121332211 此行列式是范德蒙行列式 由于 ai aj i j 所以 10 nijj 根据定理 知 方程组只有唯一零解 即 c0 c1 c2 cn 0 故 f x 是一个零多项式 思考题 当 为何值时 齐次线性方程组 0 43321x 1 仅有零解 2 有非零解 1 7 数域 线性代数的许多问题在不同的数的范围内讨论会得到不同的结论 例如 一 元一次方程 2x 1 在有理数范围内是有解的 x 但在整数范围内 方程 2x 121 是无解的 为了深入讨论线性代数中的某些问题 需要介绍数域的概念 定义 如果数集 P 满足 1 P P 2 数集 P 对于数的四则运算是封闭的 即 P 中的任意两个数的和 差 积 40 商 除数不为零 仍然在 P 中 则称数集 P 是一个数域 用上述定义容易验证 有理数集 Q 实数集 R 复数集 C 都是数域 今后称 它们为有理数域 Q 实数域 R 复数域 C 另外还有一些其它的数域 例 形如 a b 为任意有理数 的数构成的数集是一个数域 2 整数集不是数域 数集 a b 为任意整数 也不是数域 2 可以证明 最小的数域是有理数域 我们约定在以后的各章里 所讨论的问题都是在任何一个数域里进行的 第二章 线性方程组 说明与要求 本章的内容分向量和线性方程组两部分 向量部分是由线性组合 线性相关 无关 出发 进而讨论向量中线性无关向量的个数 从而引出对向量组的秩和矩 阵的秩的研究 要理解向量的线性相关 线性无关 向量的秩和矩阵的秩等概念 对于向量 的线性相关性的讨论 无论是证明 判断还是计算 关键在于深刻理解基本概念 搞清楚它们之间的联系 要学会用定义来作推导论证 向量组的秩与矩阵的秩之间有密切的联系 一个向量组可有另一个向量组线 性表出时 向量组的秩之间有相互制约的关系 因此 对于秩的问题要灵活运用 条件 注意知识点的转化 求秩 求极大无关组的重要方法是初等变换 应熟练 掌握此方法 方程组部分的主要内容是利用向量的理论 对方程组解的情况以及解的结构 进行讨论 要掌握方程组解得判定定理 了解线性方程组的特解 导出组的基础 解系和一般解的概念 上一章已经介绍了求解线性方程组的克莱姆法则 虽然克莱姆法则在理论上 具有重要的意义 但是利用它求解线性方程组 要受到一定的限制 首先 它要 求线性方程组中方程的个数与未知量的个数相等 其次还要求方程组的系数行列 式不等于零 即使方程组具备上述条件 在求解时 也需计算 n 1 个 n 阶行列 41 式 由此可见 应用克莱姆法则只能求解一些较为特殊的线性方程组且计算量较 大 本章讨论一般的 n 元线性方程组的求解问题 一般的线性方程组的形式为 I mnmnbxaxa 21 222 121 方程的个数 m 与未知量的个数 n 不一定相等 当 m n 时 系数行列式也有可能 等于零 因此不能用克莱姆法则求解 对于线性方程组 I 需要研究以下三个问 题 1 怎样判断线性方程组是否有解 即它有解的充分必要条件是什么 2 方程组有解时 它究竟有多少个解及如何去求解 3 当方程组的解不唯一时 解与解之间的关系如何 本章重点 向量的线性关系 解线性方程组 秩 线性方程组解的判定及结构 本章难点 向量的线性相关及无关的性质 线性方程组解的结构 2 1 消元法 一 消元法 解二元 三元线性方程组时曾用过加减消元法 实际上这个方法比用行列式 求解更具有普遍性 是解一般 n 元线性方程组的最有效的方法 下面通过例子介 绍如何用消元法解一般的线性方程组 例 1 求解线性方程组 1 521331x 解 交换第一 三两个方程的位置 42 2531321x 第一个方程乘以 1 加于第二个方程 第一个方程乘以 3 加于第三个方程 得 1385421x 第二个方程乘以 5 加于第三个方程 得 2 74321x 第三个方程乘以 求得 x3 1 再代入第二个方程 求出 x2 1 最后求 出 x1 2 这样就得到了方程组 1 的解 231x 方程组 2 称为阶梯形方程组 如果在本例中 把原方程组中的第一个方程改为 2x1 3x2 x3 6 得到一个 新的方程组 3 5216331x 用类似的方法 可以把方程组化为 4 4321x 即 43 32145x 显然 此方程组有无穷多个解 如果在本例中 把原方程组的第一个方程改为 2x1 3x2 x3 5 作出新的方 程组 5 521331x 用类似的方法 可得到 6 104321 x 显然方程组无解 上面的方法具有一般性 即无论方程组只有一个解或有无穷个解还是没有解 都可用消元法将其化为一个阶梯形方程组 从而判断出它是否有解 分析一下消元法 不难看出 它实际上是反复地对方程组进行变换 而所作 的变换 也只是由以下三种基本的变换所构成 1 交换方程组中某两个方程的位置 2 用一个非零数乘某一个方程 3 用一个数乘某一个方程后加到另一个方程上 这三种变换称为线性方程组的初等变换 用消元法解线性方程组的过程就是对线性方程组反复地实行初等变换的过 程 方程组 I 的全部解称为 I 的解集合 如果两个方程组有相同的解集合 就称 它们是同解的或等价的方程组 现在证明 初等变换把方程组变成与它同解的方程组 考虑线性方程组 44 I mnmnbxaxa 21 222 121 我们只对第三种变换来证明 为简便起见 不妨设把第二个方程乘以数 k 后 加到第一个方程上 这样 得到新方程组 I mnm nnbxaxa bxkakk 21 222 212111 设 xi ci i 1 2 n 是 I 的任意一个解 因 I 与 I 的后 m 1 个方程是一 样的 所以 x i ci i 1 2 n 满足 I 的后 m 1 个方程 又 xi ci i 1 2 n 满足 I 的前两个方程 所以有 22212 11bxcaxan 把第二式的两边乘以 k 再与第一式相加 即为 212121221 kbckac nn 这说明 xi ci i 1 2 n 又满足 I 的第一个方程 故 xi ci i 1 2 n 是 I 的解 类似地可以证明 I 的任意一个解也是 I 的解 这就 证明了 I 与 I 是同解的 容易证明另外两种初等变换 也把方程组变成与它同 解的方程组 下面来说明 如何利用初等变换来解一般的线性方程组 对于方程组 I 首先检查 x1 的系数 如果 x1 的系数 a11 a21 am1 全 为零 那么方程组 I 对 x1 没有任何限制 x 1 就可以任意取值 而方程组 I 可看作 x2 xn 的方程组来解 如果 x1 的系数不全为零 不妨设 a11 0 不等于零 否则可利用初等变换 1 交换第一个方程与另一个方程的位置 使得第一个方程 中 x1 的系数不为零 然后利用初等变换 3 分别把第一个方程的 倍加到第 1i i 个 i 2 3 m 方程 于是方程组 I 变成 45 mnmnbxaxa 222121 其中 njiajiijij 2 1 显然方程组 与 是同解的 对方程组 再按上面的考虑进行变换 并且这样一步一步做下去 必要时改变 未知量的次序 最后就得到一个阶梯形方程组 为了讨论方便 不妨设所得到的 阶梯形方程组为 012222 1111 rnrrrndxcxccdx 其中 cii 0 i 1 2 r 方程组 中 0 0 是一些恒等式 可以去掉 并不影响方程组的解 我们知道 I 与 是同解的 根据上面的分析 方程组 是否有解就取决 于第 r 1 个方程 0 dr 1 是否矛盾 于是方程组 I 有解的充分必要条件为 dr 1 0 在方程组有解时 分两 种情形 1 当 r n 时 阶梯形方程组为 46 nnndxcxc 22211 其中 cii 0 i 1 2 n 由克莱姆法则 有唯一解 从而 I 有唯一解 例如 前面讨论过的方程组 1 521331x 经过一系列的初等变换后 变为阶梯形方程组 74321x 这时方程的个数等于未知量的个数 方程组的唯一解是 132x 2 当 r n 时 这时阶梯形方程组为 2122 11111 dxcxcxc nrrrrr n 其中 cii 0 i 1 2 r 写成如下形式 nrrrrr nn xcxcdxcx 1222 11111 47 由克莱姆法则 当 xr 1 x n 任意取定一组值 就唯一确定出 x1 x r 值 也 就是定出方程组 的一个解 一般地 由 可以把 x1 x 2 x r 的值由 xr 1 x n 表示出来 这样表示出来的解称为方程组 I 的一般解 因 xr 1 x n 可以任意取值 故称它们为自由未知量 显然 有无穷多个解 即 I 有无穷多个解 如上面讨论过的方程组 3 5216331x 经过一系列的变换后 得到阶梯形方程组 4321x 将 x1 x 2 用 x3 表示出来即有 3215 这就是方程组 3 的一般解 而 x3 是自由未知量 用消元法解线性方程组的过程 归纳起来就是 首先用初等变换把方程组化 为阶梯形方程组 若最后出现一些等式 0 0 则将其去掉 如果剩下的方程当 中最后一个方程是零等于一个非零的数 那么方程组无解 否则有解 方程组有 解时 如果阶梯形方程组中方程的个数等于未知量的个数 则方程组有唯一解 如果阶梯形方程组中方程个数小于未知量的个数 则方程组有无穷多个解 当线性方程组 1 中的常数项 b1 b2 bm 0 时 即 0212221nmmnxaxa 称为齐次线性方程组 显然 齐次线性方程组是一定有解的 因为 x1 x2 xn 0 就是它的一个解 这个解称为齐次方程组的零解 我们所关心的是它除了零 解之外 还有没有非零解 把上述对非齐次线性方程组讨论的结果应用到齐次线 48 性方程组 就有如下定理 定理 在齐次线性方程组 中 如果 m n 则它必有非零解 证明 因为 一定有解 又 r mn 时 任意 m 个 n 维向量都线性相关 即 当向量组中所含向量个数大于向量的维数时 此向量组线性相关 例 7 判断下列向量组的线性相关性 如果线性相关 写出其中一个向量由 其余向量线性表示的表达式 1 1 3 4 2 5 2 2 5 0 3 3 5 0 1 2 4 3 3 3 5 2 1 1 2 0 3 2 2 5 1 0 3 3 4 1 2 解 1 根据定理 1 考虑齐次线性方程组 4 0523544314321xx 判定解的情况 用初等行变换把系数矩阵 A 化为阶梯形矩阵 即 5 23 104 A 016 因为 r 3 n 4 所以方程组 4 有非零解 从而 1 2 3 4 线性相关 为了找出其中的一个向量可由其余向量线性表出 需求出 4 的一般解 因为 01654 012 所以 4 的一般解为 61 4321x 令 x4 1 得 4 的一个解 x 1 2 x 2 1 x 3 1 x 4 1 于是得到一个线性相关的 表达式 2 1 2 3 4 0 进而得到 2 由 1 3 4 线性表出的表达式为 2 2 1 3 4 可以看出 所求的表达式不是唯一的 2 考虑齐次线性方程组 5 0234531321xx 判定解的情况 用初等变换把系数矩阵 A 化为阶梯形矩阵 即 203145A 013 因为 r n 3 所以方程组 5 只有零解 从而 1 2 3 线性无关 例 8 证明向量组 1 1 a a2 a3 2 1 b b2 b3 3 1 c c2 c3 4 1 d d2 d3 线性无关 其中 a b c d 各不相同 证 向量组是由四个 4 维向量组成 于是 D 3322 11dcba b a c a d a c b d b d c 62 因为 a b c d 各不相同 所以 D 0 从而 1 2 3 4 线性无关 例 9 证明如果向量组 1 2 3 线性无关 则向量 2 1 2 2 5 3 4 3 3 1 也线性无关 证明 设有数组 k1 k 2 k 3 使 k1 2 1 2 k2 2 5 3 k3 4 3 3 1 0 6 整理得 2k1 3k3 1 k1 k2 2 5k2 4k3 3 0 因为 1 2 3 线性无关 所以仅有 7 04521k 经计算 方程组 7 的系数行列式 34 50 D 于是方程组 7 只有零解 k1 k2 k3 0 所以由 6 式知 向量组 2 1 2 1 5 3 4 3 3 1 也线性无关 定理 3 向量组 1 2 m m 2 线性相关的充分必要条件是其中至少 有一个向量可由其余 m 1 个向量线性表出 证明 必要性 若向量组 1 2 m 线性相关 则存在一组不全为零的数 k1 k2 km 使关系式 k1 1 k2 2 km m 0 成立 设 ki 0 1 i m 则由上式得 ki i k1 1 ki 1 i 1 ki 1 i 1 km m 0 即 iiiii 所以 i 可由 1 2 m 线性表出 充分性 如果向量组 1 2 m 中有一个向量 j 可由其余 m 1 个向量线性表出 63 即 j l1 1 lj 1 j 1 lj 1 j 1 lm m l1 1 lj 1 j 1 j lj 1 j 1 lm m 0 因为 l1 l j 1 1 lj 1 l m 不全为零 所以 1 2 m 线性相关 由定理 3 立即得到 推论 向量组 1 2 m m 2 线性无关的充分必要条件是其中每一个向 量都不能由其余 m 1 个向量线性表出 定理 4 若向量组 1 2 m 线性无关 而向量组 1 2 m 线性相关 则 可由 1 2 m 线性表出 且表达式唯一 证 因为 1 2 m 线性相关 所以存在一组不全为零的数 k k 1 k 2 km 使得 k k1 1 k2 2 km m 0 成立 这里必有 k 0 否则 若 k 0 上式成为 k1 1 k2 2 km m 0 且 k1 k 2 k m 不全为零 从而得出 1 2 m 线性相关 这与 1 2 m 线性无关矛盾 因此 k 0 故mk 21 即 可由 1 2 m 线性表出 下证表示法唯一 如果 h1 1 h2 2 hm m l1 1 l 2 2 l m m 则有 h1 l1 1 h2 l2 2 hm lm m 0 成立 由 1 2 m 线性无关可知 h1 l1 0 h 2 l2 0 h m lm 0 即 h1 l1 h2 l2 h m lm 所以表示法是唯一的 定理 5 若向量组中有一部分向量组 称为部分组 线性相关 则整个向量组线 性相关 证明 设向量组 1 2 m 中有 r 个 r m 向量的部分组线性相关 不 64 妨设 1 2 r 线性相关 则存在一组不全为零的数 k1 k 2 k r 使 k1 1 k2 2 kr r 0 成立 因而存在一组不全为零的数 k1 k 2 k r 0 0 0 使 k1 1 k2 2 kr r 0 r 1 0 m 0 成立 即 1 2 m 线性相关 例如 含有两个成比例的向量的向量组是线性相关的 因为两个成比例的向 量是线性相关的 由定理 5 知该向量组线性相关 推论 若向量组线性无关 则它的任意一个部分组线性无关 如 n 维单位向量组 1 2 n 线性无关 因此