2020秋九年级数学上册第二十一章一元二次方程211一元二次方程导学案新版新人教版

第二十一章 一元二次方程21.1 一元二次方程学习目标：1.理解一元二次方程的概念及其一般形式，确定各项系数；2.根据实际问题，建立一元二次方程的数学模型；3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.重点：理解并能灵活运用一元二次方程的概念解决有关问题.难点：根据实际问题，建立一元二次方程的数学模型.自主学习一、知识链接1.什么叫做一元一次方程，它有什么特点？2.下面式子哪些是方程？2+6=8 2x+3 5x+6=22x+3y=8 x-518 3. 设计师在设计人体雕像时，使雕像的上部AC(腰以上)与下部BC(腰以下)的高度比，等于下部BC与全部AB(全身)的高度比，可以增加视觉美感，假设如图所示的雕像高AB为2 m，下部BC=x m，请列出方程.课堂探究二、要点探究探究点1：一元二次方程的概念问题1 有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的方盒的底面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？问题2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参加比赛?要点归纳：只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化为ax2+bx+c=0(a，b，c为常数，a0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a，b，c为常数，a0)，其中 称为二次项， 称为二次项系数， 称为一次项， 称为一次项系数， 称为常数项.想一想：为什么一般形式中ax2+bx+c=0要限制a0，b、c 可以为零吗？典例精析例1 下列选项中，关于x的一元二次方程的是（ ）方法总结：判断一元二次方程的步骤，首先看是不是整式方程；如果是，则进一步整理化简，看化简后的方程中是否只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2.(2) (a1)x|a|+1 2x7=0.(1)ax2x=2x2；例2 a为何值时，下列方程为一元二次方程？方法总结：用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值【变式题】方程(2a4)x22bx+a=0, （1）在什么条件下此方程为一元二次方程？（2）在什么条件下此方程为一元一次方程？方法总结：一元一次方程与一元二次方程的区别与联系：1.相同点：都是整式方程，只含有一个未知数；2.不同点：一元一次方程未知数最高次数是1，一元二次方程未知数最高次数是2.例3 (教材P3例题)将方程3x(x1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的的二次项系数、一次项系数和常数项.方法总结：系数和项均包含前面的符号.探究点2：一元二次方程的根问题1：下面哪些数是方程 x2x6 = 0的解? -4，-3， -2，-1，0，1，2，3，4x-4-3-2-101234x2x6要点归纳：使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（又叫做根）.典例精析例4 已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，求a的值.【变式题】已知a是方程 x2+2x2=0 的一个实数根，求 2a2+4a+2018的值. 方法总结：求代数式的值，先把已知解代入，再注意观察，有时需运用到整体思想，求解时，将所求代数式的一部分看作一个整体，代入求值探究点3：建立一元二次方程模型问题 在一块宽20m、长32m的矩形空地上，修筑三条宽相等的小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把矩形空地分成大小一样的六块，建成小花坛.如图要使花坛的总面积为570m2，问小路的宽应为多少？三、课堂小结一元二次方程的概念是整式方程；只含一个未知数；未知数的最高次数是2.一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a0)，其中(a0)是一元二次方程的必要条件；一元二次方程的根使方程左右两边相等的未知数的值.建立一元二次方程模型审设找列当堂检测1.下列哪些是一元二次方程？3x+2=5x-2 x2=0 (x+3)(2x-4)=x23y2=(3y+1)(y-2) x2=x3+x2-1 3x2=5x-12.填空：方程一般形式二次项系数一次项系数常数项x2=-3x3y2+1=2y4x2=5(2-x)(3x+4)=33.关于x的方程(k21)x22(k1)x2k20，当k 时，是一元二次方程；当k 时，是一元一次方程.4.（1）已知方程5x2+mx-6=0的一个根为4，则m的值为 .（2）若关于x的一元二次方程(m+2)x2+5x+m2-4=0，有一个根为0，求m的值.5. (1) 如图，已知一矩形的长为200 cm，宽为150 cm.现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩 形面积的四分之三.求挖去的圆的半径x cm应满足的方程（其中取3）；(2) 如图，据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为75万辆，两年后增加到108万辆.求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率x应满足的方程.拓展提升6.已知关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a0)一个根为1， 求a+b+c的值. 思考：（1）若 a+b+c=0，你能通过观察，求出方程ax2+bx+c=0 (a0)的一个根吗? （2）若 a-b +c=0，4a+2b +c=0 ，你能通过观察，求出方程ax2+bx+c=0 (a0)的一个根吗?参考答案自主学习一、知识链接1.等号两边都为整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的方程叫做一元一次方程；一元一次方程的特点是：只含有一个未知数；未知数的次数是1；是整式方程.2. 5x+6=22，x+3y=8 ，.3.解：列方程得x2= 2(2x)，整理，得x2 + 2x4 = 0课堂探究二、要点探究探究点1：一元二次方程的概念问题1 解：设切去的正方形的边长为xcm，则盒底的长为(1002x)cm，宽为(502x)cm.根据方盒的底面积为3600cm2，得：(1002x)(502x)=3600.化简得x275x +350 = 0.问题2 解：根据题意，列方程：化简，得：要点归纳 ax2 a bx b c想一想 当a=0时，方程变为bx+c=0，是一元一次方程，故a0.b、c 可以为零.典例精析例1 C例2 解：(1)将方程式转化为一般形式，得(a2)x2x=0，所以当a20，即a2时，原方程是一元二次方程； (2)由|a|+1 =2，且a1 0知，当a=1时，原方程是一元二次方程.变式题 解：（1）当 2a40，即a 2 时，是一元二次方程；（2）当a=2且b 0时，是一元一次方程例3 解：去括号，得：3x23x=5x+10.移项、合并同类项，得3x28x10=0.其中二次项系数是3；一次项系数是8；常数项是10.探究点2：一元二次方程的根问题1 x432101234x2x61460466406所以x=2，x=3是方程 x2x6 = 0的解.例4 解：由题意把x=3代入方程x2+ax+a=0，得32+3a+a=0，9+4a=0，4a=9，.变式题 解：由题意得：a2+2a2=0即a2+2a=2.2a2+4a+2018=2(a2+2a)+2018=22+2018=2022.探究点3：建立一元二次方程模型建立问题 解：设小路的宽是x m，则横向小路的面积是32x m2，纵向小路的面积是220x m2，两者重叠的面积是2x2 m2.根据题意得3220(32x220x)2x2=570.整理得x236x35=0. 当堂检测1.是一元二次方程的有：x2=0；(x+3)(2x4)=x2；3x2=5x1.2.从左至右从上至下依次为x2+3x=0，1，3，0，3y22y+1=0，3，2，1，4x25=0，4，0，5，3x22x5=0，3，2，5.3.1 14.(1)；(2)解：将x=0代入方程m24=0，解得m=2. m+2 0， m2，综上所述，m =2.5.(1)解：设由于圆的半径为x cm，则它的面积为3x2 cm2.根据题意，得，整理得.(2)解：该市两年来汽车拥有量的年平均增长率为x，根据题意，得，整理得.6.解：由题意得，即.思考：(1)解：由题意得，即.方程ax2+bx+c=0 (a0)的一个根是1.(2)x=1或x=2.