配方法解方程谈谈用配方法解方程

配方法解方程谈谈用配方法解方程我们知道，用配方法来解一元二次方程ax2+bx+c=0 可以先通过配方，把方程左边的二次三项式分解成两个一次因式，然后把二次方程变形为两个一次方程，从而求得原方程的解. 例 1解方程： 4x2+16x+9=0.解：通过配方把方程的左边分解因式，得（ 2x+4+7） （ 2x+4-7 ） =0.这个二次方程可以变形成为两个一次方程：2x+4+7=0 ， 2x+4-7=0.解这个方程得x1=-2-72， x2=-2+72.这种解法的基本思想是，通过用配方法把方程左边的多项式分解因式，从而把方程f （ x ） =0 的问题转化为求解次数较低的方程问题 . 据此可知，某些特殊的高次方程也可以用这种方法来解 .例 2 解方程 x4-15x2+10x+24=0.分析：把方程左边的 -15x2 项拆成 10x2-25x2 两项，就可以使它成为两个完全平方式.解：将 x4-15x+10x+24=0 变形为(x4+10x2+25) - (25x2-10x+1 ) =0，即( x2+5) 2- (5x-1 ) 2=0，所以( x2+5-5x+1 ) ( x2+5+5x-1 ) =0，所以 x2+5x+4=0 或 x2-5x+6=0.由 x2+5x+4=0,彳导 x=-1 , x=-4.由 x2-5x+6=0 ，得x=2， x=3.所以原方程的四个根是：x1=-1， x2=-4 ， x3=2， x4=3.例 3 解方程 x4-2x3-24x2+80x-64=0.分析：把方程左边的 -24x2 项拆成 x2-25x2 两项，就可以使它构成完全平方差形成.解： x4-2x3-24x2+80x-64=0 ，(x4-2x3+x2 ) - (25x2-80x+64 ) =0，( x2-x ) 2- ( 5x-8 ) 2=0，即( x2+4x-8 ) ( x2-6x+8 ) =0，所以 x2+4x-8=0 ， x2-6x+8=0.解这两个二次方程，得到原方程的四个根是：x1=-2+23， x2=-2-23 ， x3=2， x4=4.由例 2 和例 3 可以看到，有些四次方程的求解，可以通过把原方程的左边配成两个完全平方的差，使问题转化为解两个二次方程，从而得到解，那么对于一般的四次方程能不能也用这样的方法来求出它的解呢？例 4 解方程 x4+8x3+12x2-11x+2=0.分析：如果像例 3 那样，把方程的左边的 12x2 项，拆成16x2和-4x2两项，那么x4+8x3加上16x2后是一个完全平方式，但 -11x+2 加上 -4x2 后却不是一个完全平方式，这就需要再进行配方 .解： x4+8x3+12x2-11x+2=0.变形为 x4+8x3+16x2+4x2-11x+2=0即（ x2+4x） 2- （4x2+11x-2 ） =0.因为 4x2-11x-2 不是完全平方式，所以需要把方程的左边再配方.这里，可以把（x2+4x） 2看做“a2”，加上“2ab+b2后配成一个新的完全平方式，就是：（x2+4x） 2+2 （x2+4x） t2+ （t2） 2- （4x2+11x-2） -2 （x2+4x） t2 - （t2 ） 2=0.（x2+4x+t2 ） 2- （t+4） x2+（4t+11 ） x+t24-2=0. （1）要使（ t+4 ） x2+（ 4t+11 ） x+t24-2 是一个完全平方式，就必须使它的判别式 =0,也就是t必须满足方程：（4t+11 ） 2-4 （t+4 ） （t24-2 ） =0.就是 t3-12t2-96t-153=0.解这个三次方程，得其中一个根为 t=-3.代入方程（ 1）得x2+4x-32 ） 2- （x2-x+14 ） =0.x2+4x-32 ） 2- （x-12 ） 2=0.( x2+5x-2 ) ( x2+3x-1 ) =0，所以( x2+5x-2 ) =0 或 x2+3x-1=0.解这两个二次方程，得到原方程的四个根是：x1=-5+332， x2=-5-332 ， x3=-3+132 ，x4=-3-132.上面这种解四次方程的方法叫做费拉利解法，它可以用来解任何一个一元四次方程. 它最关键的是，要通过两次配方，把四次方程变形成为两个二次方程来解.