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配方法解方程谈谈用配方法解方程我们知道,用配方法来解一元二次方程ax2+bx+c=0 可以先通过配方,把方程左边的二次三项式分解成两个一次因式,然后把二次方程变形为两个一次方程,从而求得原方程的解. 例 1解方程: 4x2+16x+9=0.解:通过配方把方程的左边分解因式,得( 2x+4+7) ( 2x+4-7 ) =0.这个二次方程可以变形成为两个一次方程:2x+4+7=0 , 2x+4-7=0.解这个方程得x1=-2-72, x2=-2+72.这种解法的基本思想是,通过用配方法把方程左边的多项式分解因式,从而把方程f ( x ) =0 的问题转化为求解次数较低的方程问题 . 据此可知,某些特殊的高次方程也可以用这种方法来解 .例 2 解方程 x4-15x2+10x+24=0.分析:把方程左边的 -15x2 项拆成 10x2-25x2 两项,就可以使它成为两个完全平方式.解:将 x4-15x+10x+24=0 变形为(x4+10x2+25) - (25x2-10x+1 ) =0,即( x2+5) 2- (5x-1 ) 2=0,所以( x2+5-5x+1 ) ( x2+5+5x-1 ) =0,所以 x2+5x+4=0 或 x2-5x+6=0.由 x2+5x+4=0,彳导 x=-1 , x=-4.由 x2-5x+6=0 ,得x=2, x=3.所以原方程的四个根是:x1=-1, x2=-4 , x3=2, x4=3.例 3 解方程 x4-2x3-24x2+80x-64=0.分析:把方程左边的 -24x2 项拆成 x2-25x2 两项,就可以使它构成完全平方差形成.解: x4-2x3-24x2+80x-64=0 ,(x4-2x3+x2 ) - (25x2-80x+64 ) =0,( x2-x ) 2- ( 5x-8 ) 2=0,即( x2+4x-8 ) ( x2-6x+8 ) =0,所以 x2+4x-8=0 , x2-6x+8=0.解这两个二次方程,得到原方程的四个根是:x1=-2+23, x2=-2-23 , x3=2, x4=4.由例 2 和例 3 可以看到,有些四次方程的求解,可以通过把原方程的左边配成两个完全平方的差,使问题转化为解两个二次方程,从而得到解,那么对于一般的四次方程能不能也用这样的方法来求出它的解呢?例 4 解方程 x4+8x3+12x2-11x+2=0.分析:如果像例 3 那样,把方程的左边的 12x2 项,拆成16x2和-4x2两项,那么x4+8x3加上16x2后是一个完全平方式,但 -11x+2 加上 -4x2 后却不是一个完全平方式,这就需要再进行配方 .解: x4+8x3+12x2-11x+2=0.变形为 x4+8x3+16x2+4x2-11x+2=0即( x2+4x) 2- (4x2+11x-2 ) =0.因为 4x2-11x-2 不是完全平方式,所以需要把方程的左边再配方.这里,可以把(x2+4x) 2看做“a2”,加上“2ab+b2后配成一个新的完全平方式,就是:(x2+4x) 2+2 (x2+4x) t2+ (t2) 2- (4x2+11x-2) -2 (x2+4x) t2 - (t2 ) 2=0.(x2+4x+t2 ) 2- (t+4) x2+(4t+11 ) x+t24-2=0. (1)要使( t+4 ) x2+( 4t+11 ) x+t24-2 是一个完全平方式,就必须使它的判别式 =0,也就是t必须满足方程:(4t+11 ) 2-4 (t+4 ) (t24-2 ) =0.就是 t3-12t2-96t-153=0.解这个三次方程,得其中一个根为 t=-3.代入方程( 1)得x2+4x-32 ) 2- (x2-x+14 ) =0.x2+4x-32 ) 2- (x-12 ) 2=0.( x2+5x-2 ) ( x2+3x-1 ) =0,所以( x2+5x-2 ) =0 或 x2+3x-1=0.解这两个二次方程,得到原方程的四个根是:x1=-5+332, x2=-5-332 , x3=-3+132 ,x4=-3-132.上面这种解四次方程的方法叫做费拉利解法,它可以用来解任何一个一元四次方程. 它最关键的是,要通过两次配方,把四次方程变形成为两个二次方程来解.
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