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等差数列等差数列等比数列等比数列定义定义数学数学表达表达如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.an+1+1- -an= = d( (常数常数) )符号符号表示表示首项首项a1 1, , 公差公差d如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.首项首项a1 1, , 公比公比q( (q0)0)d与与 an q与与 an d0 0 an 递增递增 d0 0 an 递减递减 d0 0 an 为常数列为常数列q0 0 an 中各项同号中各项同号q0 0 an 中的项正负相间中的项正负相间q1 1 an 为为非零非零常数列常数列通项通项公式公式an= = a1 1+ +（n-1-1）dan= = a1 1qn-1-1an+1an= q( (常数常数) )中项中项a, ,A, ,b成等差成等差, ,则则2 2A= =aba, ,G, ,b成等比成等比, , 则则G2 2= =ab第1页/共11页由等差数列的性质，猜想等比数列的性由等差数列的性质，猜想等比数列的性质质an是公差为d的等差数列bn是公比为q的等比数列性质：an=am+(n-m)d.性质：若an-k,an,an+k 是an中的三项， 则2an=an+k+ an-k.猜想2：性质： 若n+m=p+q，则am+an=ap+aq.2knknnbbb猜想1：m b.n mnbq 若bn-k,bn,bn+k 是bn中的三项， 则猜想3：若n+m=p+q， 则bn bm=bp bq.第2页/共11页 .n mnmbb q证明证明: :，1111,nnmmqbbqbb11n mmn mmbqb qq11nb q.nb第3页/共11页若n+m=p+q, 则bn bm=bp bq.证明证明: :111111mnmnqbqbbb，2121mnqb111111qpqpqbqbbb，2121qpqb，qpmn.nmpqbbbb反之成立吗反之成立吗?q不一定，当 =1时不成立. :1,1,1,1na 如数列第4页/共11页例例1: 在等比数列an中，a2=-2,a5=16，a8= .在等比数列an中，且an0， a2 a4+2a3a5+a4a6=36,那么a3+a5= _ .在等比数列an中，若 则a10= . -1286，625161374aaaa5 1531,9,naaaaq ,变式：（1）在等比数列中， 则33.第5页/共11页 154560(2)10,90,naaaa在等比数列中，则270.123445(3)2,4naaaaaaa在等比数列中，若， 则1(4)2nnnnn在 和 间插入 个正数，使得这个数成等比数列， 求插入的这 个数的积.1211nnnTaaaann1211nnnTn aaaan倒倒序序相相乘乘第6页/共11页 分析：若三个数成等差数列，则设这三个数为a-d,a,a+d. 由类比思想的应用可得: 若三个数成等比数列，则设这三个数 为 再联立方程组. 三个数成等比数列，它们的和等于21，倒数的和等于 ，求这三个数.127例例2:,aaa qq ，第7页/共11页三个正数成等比数列，他们的和等于三个正数成等比数列，他们的和等于2121，倒数的和等于倒数的和等于 ，求这三个数，求这三个数.127解：设三个正数为解：设三个正数为.,qaaqa，21qaaqa，12711aqaaq得得，21)11(qqa.127)11(1qqa.362a, 6a.212或q第8页/共11页例例3:a,b,c,d成等比数列成等比数列,a+b,b+c,c+d均不为均不为0. 求证求证:a+b,b+c,c+d成等比数列成等比数列. 111,21(1)1nnnnaaaaa变式：已知数列满足，求证：数列是等比数列； (2)na求数列的通项公式.第9页/共11页an是公差为d的等差数列bn是公比为q的等比数列性质：an=am+(n-m)d性质：若an-k,an,an+k 是an中的三项， 则2an=an+k+ an-k.性质： 若n+m=p+q则am+an=ap+aq2.nn kn kbbb n mnmbb q 若bn-k,bn,bn+k 是bn中的三项 则若n+m=p+q则bnbm=bpbq小结小结等差数列与等比数列的性质等差数列与等比数列的性质第10页/共11页感谢您的观看！第11页/共11页
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