数列与函数的极限PPT课件

一、数列的定义定义定义:按自然数按自然数, 3 , 2 , 1编号依次排列的一列数编号依次排列的一列数 ,21nxxx (1)称为称为无穷数列无穷数列,简称简称数列数列.其中的每个数称为数其中的每个数称为数列的列的项项,nx称为称为通项通项(一般项一般项).数列数列(1)记为记为nx.第1页/共57页例如,2 , 8 , 4 , 2) in;2nnx 1)2(nn,21,81,41,21ii)n;21nnx 121nn,)1( , 1 , 1, 1iii)1 n;)1(1 nnx 11)1(nn,)1(,34,21, 2iv)1nnn 11)1(nnnn;)1(1nnxnn 第2页/共57页注意：注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取.,21nxxx1x2x3x4xnx2.数列是整标函数).(nfxn ,333,33, 3 数列实质上是定义在正整数集上的函数： xn = f ( n )，n Z+第3页/共57页三、数列的极限.)1(1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnnn播放播放第4页/共57页三、数列的极限.)1(1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnnn第5页/共57页三、数列的极限.)1(1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnnn第6页/共57页三、数列的极限.)1(1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnnn第7页/共57页三、数列的极限.)1(1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnnn第8页/共57页三、数列的极限.)1(1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnnn第9页/共57页三、数列的极限.)1(1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnnn第10页/共57页三、数列的极限.)1(1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnnn第11页/共57页三、数列的极限.)1(1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnnn第12页/共57页三、数列的极限.)1(1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnnn第13页/共57页三、数列的极限.)1(1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnnn第14页/共57页三、数列的极限.)1(1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnnn第15页/共57页三、数列的极限.)1(1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnnn第16页/共57页三、数列的极限.)1(1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnnn第17页/共57页.1)1(1,1无限接近于无限接近于时时当当nxnnn .021,无限接近于无限接近于时时当当nnxn .2,无限增大无限增大时时当当nnxn .)1(,没有确定的变化趋势没有确定的变化趋势时时当当nnxn 第18页/共57页：的变化趋势分为三类的变化趋势分为三类时时当当nxn, .)1axn常数常数无限接近于某个确定的无限接近于某个确定的.,)2即趋向无穷大即趋向无穷大无限增大无限增大nx.)3没有确定的变化趋势没有确定的变化趋势nx.lim,)(,)(11axaxaxnxnnnnnnn 并记为并记为的极限是的极限是则称则称定数定数一个一个无限接近于无限接近于时时若当若当对数列对数列,1)1(1lim1 nnn,021lim nn.)1(,2没有极限没有极限而数列而数列nnnnxx 第19页/共57页:,lim,lim.nnnnnnnnnnxnxxxxAnxAxx 定义 设数列当 无限增大时无限接近于一个常数A,则称A为n趋于无穷时数列 的极限 也称数列收敛于A.记作或当时否则称数列发散 或不存在2.数列极限的定义数列极限的定义故上例中有：1lim02nn1( 1)lim1nnnn 1lim( 1)limnnnn 2 不存在第20页/共57页例1: 观察下列数列的变化趋势nnqy )4(,61, 0 ,41, 0 ,210, (3)1,-1,1,-1, (2)10,10,10, ) 1 ( -1q 1q 11q 1q 0qlimnn不存在不存在第21页/共57页3、数列极限的性质定理1 若极限 存在，则极限是唯一的.nnx lim1). 极限的唯一性第22页/共57页(1) 数列的有界性2). 收敛数列的有界性对数列 , 若存在正数 M , 使得对一切自然数 n , 恒有 成立, 则称数列 有界,否则, 称为无界.Mxn | 1)(nnx 1)(nnx例如,;1 nnxn数列数列.2nnx 数列数列有界无界数轴上对应于有界数列的点 都落在闭区间 上.nx,MM 第23页/共57页定理2 2 收敛的数列必定有界. .推论 无界数列必定发散. .注意：有界性是数列收敛的必要非充分条件.例如：.,)1(1但却是发散的但却是发散的是有界数列是有界数列数列数列 nnx第24页/共57页).0(0,0, )0(0,lim nnnnxxNnNAAAx或或时时当当则则或或且且若若定理33). 极限的保号性0 (0)lim,0 (0 ).nnnnxxxAAA若或且则或推论：第25页/共57页4).4).子数列的归并性( (子数列的收敛性) )在数列 中任意抽取无穷多项并保持这些项在原数列中的先后顺序 , 这样得到的数列记为 , 称为数列 的子数列. 1)(nnx 1)(nnx 1)(knkx 1)(knkx定理4 4 如果数列收敛，则它的任一个子数列也收敛，且极限相同. .212 limlimlim . nnnnnnxaxxa特别地第26页/共57页5).数列极限四则运算法则与性质lim,lim,(1)lim;(2)lim;(3)lim,0.nnnnnnnnuavbuvabuva buabvb设则其中第27页/共57页例1 求下列数列的极限：(1)lim(1)nnn 212.(3)limnnn1123(2)lim23nnnnn第28页/共57页2215 .(1)limlimlimnnnnnnaaaaa）(2) lim |0lim0nnnnyy 第29页/共57页自变量的变化过程:.,0 . 1xxx记为记为无限增大无限增大且且.,0 . 2xxx记为记为无限增大无限增大且且., . 3xxx记为记为无限增大无限增大且且为任意实数为任意实数., . 4000 xxxxxx记为记为且且无限接近无限接近0005. ,. xxxxx 且且无无限限接接近近于于为为0006. ,.xxxxx 且且无无限限接接近近于于为为二、二、 函数的极限函数的极限第30页/共57页定义1:(一)、自变量趋向无穷大时函数的极限( )( )lim( )( )xxf xAAxf xf xAxf xA 如果当 无限增大时，其相应的函数值无限趋近于常数 ，则称常数 为 无限增大时，函数的极限.记作：或者当时，( )arctan( )f xxxf x例1：观察函数，当 无限增大时，它对应的函数值的变化趋势如何？( )( )xg xexg x例2：观察函数，当 无限增大时，它对应的函数值的变化趋势如何？二、二、 函数的极限函数的极限第31页/共57页定义2:( )( )lim( )( )xxf xAAxf xf xAxf xA 如果当 无限减小时，其相应的函数值无限趋近于常数 ，则称常数 为 无限减小时，函数的极限.记作：或者当时，( )arctan( )f xxxf x例3：观察函数，当 无限减小时，它对应的函数值的变化趋势如何？第32页/共57页定义3:( )( )lim( )( )xxf xAAxf xf xAxf xA 如果当无限增大时，其相应的函数值无限趋近于常数 ，则称常数 为 趋于无穷时，函数的极限.记作：或者当时，1lim0 xx如:lim( )xf xA定理lim( )lim( ).xxf xAf xA且第33页/共57页1定义:(二)、自变量趋向有限值时函数的极限0000000( ),( ),( ).lim( )( )xxf xxxxxxf xAAxxf xf xAxxf xA设函数在点 的某一邻域内有定义（ 可除外），如果 无限接近于 （但不等于 ）其相应的函数值无限趋近于常数则称常数 为 无限趋近于时，函数的极限记作：或者当时，0( )f xx1、函数极限与在点 是否有定义无关注意：2、基本初等函数在其定义域内每点处的极限都存在，并且等于函数在该点处的函数值。第34页/共57页2.单侧极限:例1：. 1)(lim0, 10,1)(02 xfxxxxxfx证明证明设设两种情况分别讨论两种情况分别讨论和和分分00 xx,0 xx从左侧无限趋近从左侧无限趋近; 00 xx记作记作,0 xx从右侧无限趋近从右侧无限趋近; 00 xx记作记作yox1xy 112 xy第35页/共57页左极限左极限右极限右极限00000000000()( ),( ).lim( )(0)xxxxf xxxxxxxxf xxf xAf xA-设函数在点 的左邻域（- , ）内有定义,如果当 从 左侧无限接近于 （但不等于 ）其相应的函数值无限接近于常数A,则称A为函数在 的左极限记作或00000000000()( ),( ).lim( )(0)xxxxf xxxxxxxxf xxf xAf xA+设函数在点 的右邻域（- , ）内有定义,如果当 从 右侧无限接近于 （但不等于 ）其相应的函数值无限接近于常数A,则称A为函数在 的右极限记作或第36页/共57页000: lim( )(0)(0).xxf xAf xf xA定理.lim0不存在不存在验证验证xxxyx11 oxxxxxx 00limlim因为左右极限存在但不相等,.)(lim0不存在不存在xfx例例2证证1)1(lim0 x00limlimxxxxxx11lim0 x第37页/共57页211,1( )lim( ).10,1xxxf xf xxx例3：设 , 求第38页/共57页0limlimxxxff()：若极限(x) (或(x)存在，则其极限唯一性性质1是唯一的.00lim( )xxf xxf（）：如果极限存在，那么在点 的某个去心邻域内，函数性质(局部x有2界性)有界.00000()lim ( ),lim ( ),0,0,( ).3xxxxf xAg xBABxxxfg x：若且则对满足时有(x)序性性保质3、函数极限的性质第39页/共57页0000lim( ),0(0),0,0,( )0( )0).4xxf xAAAxxf xf x（）：若且或则性当时 有或保号性质00000lim ( ),lim ( ),0,0,( ),xxxxf xAg xBxx xfg xAB：若且存在对当时有(x)则推论1第40页/共57页4、函数极限运算法则定理定理lim( ),lim ( ),(1)lim ( )( );(2)lim ( )( );( )(3)lim,0( ).f xAg xBf xg xABf xg xA Bf xABg xB设则其中第41页/共57页5、举例30lim(3cossin4)xxxx求例例2 2.531lim232 xxxx求求例例3 3.321lim221 xxxx求求7511lim.1xxx求例例4例例1第42页/共57页小结小结: :则有则有设设,)(. 1110nnnaxaxaxf nnxxnxxxxaxaxaxf 110)lim()lim()(lim000nnnaxaxa 10100).(0 xf 则有则有且且设设, 0)(,)()()(. 20 xQxQxPxf)(lim)(lim)(lim000 xQxPxfxxxxxx )()(00 xQxP ).(0 xf 0()0,.Q x注：若则商的法则不能应用第43页/共57页一、无穷小量00()()xxxffxxx 如果时函数 (x)的极限为定义：零,则称 (x)为时的无穷小.例如:, 0sinlim0 xx.0sin时的无穷小时的无穷小是当是当函数函数xx, 01lim xx.1时的无穷小时的无穷小是当是当函数函数 xx1lim(1)0,xx11.xx函数是当时的无穷小1 1、定义三、无穷小量与无穷大量三、无穷小量与无穷大量第44页/共57页2. 无穷小与函数极限的关系:引理.)()()()(lim00时的无穷小时的无穷小是当是当其中其中xxxxAxfAxfxx 意义意义1) 将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);).(,)()()20 xAxfxxf 误差为误差为附近的近似表达式附近的近似表达式在在给出了函数给出了函数 第45页/共57页3.无穷小的运算性质:定理定理1 在同一过程中在同一过程中,有限个无穷小的代数和有限个无穷小的代数和仍是无穷小仍是无穷小.注意注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. .是无穷小，是无穷小，时时例如例如nn1, .11不是无穷小不是无穷小之和为之和为个个但但nn第46页/共57页推论推论1 在同一过程中在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小积是无穷小.推论推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小.定理定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小.0,1lim sin,xxx如上定理在求极限中经常用到例如求第47页/共57页sinlimxxx例(求1 1)201(2)limsinxxx求2331lim.sin51xxxxxx(3) 求利用无穷小的性质求极限第48页/共57页二、无穷大量000()( ),( )()lim( )lim( )xxxxxxf xMf xxxxf xf x 定义：当自变量或时，若函数大于预先给定的任何正常数则称函数当或时为无穷大量，记为：或1.无穷大量是变量,不能与很大的数混淆;02.lim( ).xxf x 切勿将认为极限存在注意：3.无穷大量是无界的变量，但无界变量未必是无穷大量第49页/共57页 ( )lg( -1) _, _.f xx例2当时为无穷大量当时是无穷小量 x,1x或或2x 3 ( ) _,1 _.xf xx当时为无穷大量当时是无穷小量1x 3x 第50页/共57页三、无穷小与无穷大的关系在同一过程中在同一过程中, ,无穷大的倒数为无穷小无穷大的倒数为无穷小; ;恒不为恒不为零的无穷小的倒数为无穷大零的无穷小的倒数为无穷大. .01(1)( )( )1(2)( )( )0( )xxxf xf xf xf xf x 即：当或时，若是无穷大，则是无穷小；若是无穷小且,则是无穷大.第51页/共57页解解)32(lim21 xxx, 0 商的法则不能用)14(lim1 xx又又, 03 1432lim21 xxxx. 030 由无穷小与无穷大的关系,得例如例如.3214lim21 xxxx求求.3214lim21 xxxx第52页/共57页._1sinlim520 xxx、._33lim132 xxx、一、填空题:._11lim231 xxx、._)112)(11(lim32 xxxx、._5)3)(2)(1(lim43 nnnnn、._coslim6 xxxeex、练练 习习 题题第53页/共57页._2324lim72240 xxxxxx、._)12()23()32(lim8503020 xxxx、二、求下列各极限:)21.41211(lim1nn 、hxhxh220)(lim2 、)1311(lim331xxx 、第54页/共57页38231lim4xxx 、)(lim5xxxxx 、1412lim6 xxx、2lim71 nmnmxxxxx、第55页/共57页一一、1 1、- -5 5； 2 2、3 3； 3 3、2 2； 4 4、51； 5 5、0 0； 6 6、0 0； 7 7、21； 8 8、30)23(. .二二、1 1、2 2； 2 2、x2； 3 3、- -1 1； 4 4、- -2 2； 5 5、21； 6 6、0 0； 7 7、nmnm . .练习题答案练习题答案第56页/共57页感谢您的观看。第57页/共57页