必修2-第三章-直线与方程-小结与复习教案

直线与方程小结与复习一、教学目标重点：掌握直线方程的五种形式，两条直线的位置关系.难点：点关于直线的对称、直线关于点的对称、直线关于直线的对称这类问题的解决.能力点：培养学生通过对直线位置关系的分析研究进一步提高数形结合以与分析问题、解决问题的能力.教育点：培养学生转化思想、数形结合思想和分类讨论思想的运用.自主探究点：1.由直线方程的各种形式去判断两直线的位置关系；2 .能根据直线之间的位置关系准确的求出直线方程；3 .能够深入研究对称问题的实质，利用对称性解决相关问题.考试点：两直线的位置关系判断在高考中经常出现，直线与圆锥曲线结合是高考的常见题目.易错点：判断两条直线的平行与垂直忽略斜率问题导致出错.易混点：用一般式判断两直线的位置关系时平行与垂直的条件.拓展点：中点问题、对称问题、距离问题中涵盖的直线位置关系的分析研究.学法与教具1 .学法：讲练结合，自主探究2 .教具：多媒体课件，三角板二、知识梳理二、知识梳理1 .直线的倾斜角与斜率1直线的倾斜角定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴 与直线l 方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 .倾斜角 的X围为.2定义：一条直线的倾斜角的 叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k ,倾斜角是90的直线斜率不存在.过两点的直线的斜率公式：经过两点R(X,yi) , P2(x2,y2)(xi x2)的直线的斜率公式为 k .当为 x2时,直线的斜率.3直线的倾斜角 与斜率k的关系当 为锐角时，越大 k越；当 为钝角时，越大 k越.2 .直线方程的五种基本形式名称几何条件方程局限性点斜式过点x0,y(o ,斜率为k不含的直线斜截式斜率为k ,纵截距为b不含的直线两点式过两点 %,乂 和 x2,y2x1 x2, yi y2不含的直线截距式横截距为a ,纵截距为b ab 0不含和的直线一般式A,B,C A2 B2 0平面直角坐标系内的直线都适用答案：1.1正向，向上，0 :。180 ;2正切值，tan ；y2 y1 ,不存在.3大，大.X2Xi2. yyok(x Xo) , y kx byyiy2yixXl, - - 1 , Ax By C 0(A2 B2 0). x2 x1 a b垂直于x轴；垂直于x轴；垂直于坐标轴；垂直于坐标轴、过原点.3 .两条直线平行与垂直的判定1两条直线平行对于两条不重合的直线11、|2,其斜率分别为k1、k2,则有l1l2 .特别地，当直线的斜 率li、I2都不存在时，li与12.2两条直线垂直如果两条直线斜率li、12存在，设为ki、k2,则li I2 ,当一条直线斜率为零，另一条 直线斜率不存在时，两直线 .4 .两直线相交、-Ax By Ci 0交点：直线l1：Ax By Ci 0和l2：A2x B2y C2 0的公共点的坐标与方程组A2x By C2 0 的解对应.相交 方程组有,交点坐标就是方程组的解；平行 方程组;重合 方程组有.5 .三种距离公式1点 Axi,yi、B X2X2 间的距离：AB2点P x。）。到直线l： Ax By C 0的距离： d3两平行直线li： AxB1 yCi0与I2：A2 xB2 yC20 CiC2间的距离为d .6 .直线中的对称问题有哪些？学生讨论如何求一个点关于直线的对称点？如何求直线关于点的对称 直线以与直线关于点的对称直线呢？三、X例导航1、两直线间的平行与垂直问题例1 1已知两直线11： x m2y6 0, m 2 x2已知两直线11 ： ax 2y 6 0和12 ： x a 1分析1充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本题的关键,3my 2m 0 ,若 11 / 1 , XX 数 m 的值；y a2 1 0 .若 11 12, xx数 a 的值.对于斜率都存在且不重合的两条直线11和 12, 11 /12k1 k2 , 1112多少一定要特别注意.2若直线11和12有斜截式方程kik21.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是设 11 : Ax B1y解答1方法一：当C1 011 :12 :ykx b1，A2xm 0 时，11： x当m0 时，11： y2且3m1.12x m2故所XX数m的值为方法二：直线11： Ax B1y C1AB2 A2B10且 BC2 B2C121 3m m m 20且 1 2m 1 .2 ，12 mB2 yi 0：20, 12： A?x0 或 A1C2m 0或1,故所XX数m的值为0或2方法一：由直线11的方程知其斜率为1时,直线1时,直线12 :C2l2 :x3mb2 y C2A2C112的斜率不存在，11与12不垂直;12的斜率为1a 123故所XX数a的值为方法直线11:3AxB1y C1 0l2 :由所给直线方程可得：ay k2x0.则:b2 ,则 11121112A1A2k1k21.B1B2 0 .ll / 12 ；0平行的等价条件是:0,由所给直线方程可得：2m m 2m 30 且 m 3B2 y C20垂直的等价条件是2a 一,故所XX数a的值为一.AA2B1B20 .设计意图掌握两直线平行或垂直的充要条件是关键，平行与垂直的问题转化为方程的系数之间的关系的 问题，把几何问题转化为代数的问题，注意斜率存在与否，方法二避免了分类讨论.变式训练：已知两直线11 ： mx 8yn 0和12： 2x my 1 0.试确定m、n的值，使23答案:11与12相交于点P m, 1 ;1/1112,且11在y轴上的截距为2m 8 n1由题息得：2m m 11.2当m 0时，显然11不平彳f于；m 0时，由m 2n /日得13当且仅当1 mn24,n8 时，11n 22时或m4,n0时,2时,11/12.I1l2,又12且11在y轴上的截距为2、点到直线距离问题例2已知平行四边形的两条边所在直线的方程分别是0,3x y 4 0,且它的对角线的交点是M(3,3),求这个平行四边形其他两边所在直线方程.分析因为斜率相等，所以其他两条直线可以设为x y 00,3x y C2 0,然后利用点到直线的距离公式.解答,四边形ABCD是平行四边形AB/CD设直线CD的方程为x y c10由点M到直线AB,CD的距离相等，得:|3 3 1|3解得G 11或G1(舍去)c111,12 12_Ci 12MCAOy D同理，由点 M到直线AD,BC的距离相等，得:|3 3 3 4| |3 3 3 C2 |C216或C2 4 （舍去）C216因此，其他两边所在直线的方程是x y 11 0,3x y 16 0 .设计意图本题考查了点到直线的距离公式的灵活运用，并且利用平行的直线斜率相等，方程的设法简化 运算.变式训练：已知正方形的中心为点 M ( 1,0), 一条边所在 的直线的方程是x 3y 5 0,求正方形其他三边所在直线的方程.分析本题先设与已知直线平行的直线为x 3y C1 0,另两条都与已知直线垂直，设为 3x y C2 0,然后利用点到直线的距离公式.解答,四边形ABCD是正方形AD / BC由点M到直线AD, BC的距离相等，得:1( 1) 3 0 5| |( 1) 3 0 g|.C具J c汗G,12 32, 12 32ci7AD AB 直线AB的方程可设为 3x由点M到直线AD, AB的距离相等|( 1) 3 0 5| |3 ( 1) 0 c2|1=： J = Co.12 3232 12综合以上得，其余三边所在直线的方程分别是7或C1 5 (舍去)y c2 0,9 或 c2 33x y 9 0,x 3y 1 0,3x y 3 0.例3.已知 ABC的顶点A(5,1), AB边上的中线CM所在直线方程为2xy 5 0, AC边上的高BH所3、三角形问题 在直线方程为x 2y 5 0.求：1顶点C的坐标； 2直线BC的方程.分析第一问主要是考查设、求直线 AC , 熟练解答过程，先设直线 AC为：2x y c 0 然后代入点 A(5,1);第二问考查用先设、求点 B, 然后与点C求出直线BC,或者设直线 BC的点斜式方程, 再结合中点坐标公式求出斜率 k .解答(1)由题意，得直线 AC的方程为2x y 11 0 .2x y 5 0解方程组y得点C的坐标为4, 3.2x y 11 0,2解法一：设 B(x0,y0),则M (8二，*).于是有 22y 1x0 5士一5 0,即2xy01 0 .与2y05 0联立，解得点B的坐标为(-1,-3).于是直线BC的方程为6x 5y 9 0 .解法二：设直线 BC的方程为y 3 k(x 4),即kx y 3 4ko.x 2y 5 0 /曰 8k 11 k 3 解万程组得x , y .kx y (4k 3) 0, 2k 1 2k 1 9k8 k 4 因为点M是线段AB的中点，所以点 M的坐标是(9k8, k 4 ).2k 1 2(2 k 1)把点M的坐标代入直线 CM的方程，得18k 16 k 45 0 .解得k -.2k 12(2 k 1)5所以直线BC的方程为6x 5y 9 0 .解法三：设 M(x, y),则 B(2x 5,2 y 1).解方程组x 2y 4 2x y 5因为点B在直线BH上，所以有2x 5 2(2y 1) 5 0,即x 2y 4 0.0得点M的坐标为(2, 1),点B的坐标为(1, 3). 0,所以直线BC的方程为6x 5y 9 0 .B ,就避免了考虑斜设计意图本题借助三角形这个平台，考查了直线方程的求法，设出一个点，利用两点求直线的方程，另 外一个方法是设出点斜式方程，求出斜率，但这种方法要考虑斜率存在与否，设出点 率存在的问题，摆出事实，让学生体会各种解法的利弊，解法三也为今后学习相关点代入法打下基础变式训练：y 0，在 ABC中，BC边上的高所在的直线方程为 x 2y 1 0 ,角A的平分线所在的直线方程为 若点B的坐标为(1,2),求AC边上的垂直平分线.分析直线问题与三角形问题的结合，全面考查学生的熟练应用，直线关于坐标轴对称时，斜率之间的关系，或者利用点关于坐标轴对称，求出点 B关于y 0对称的点解答A点在直线BC的高线上，又在角 A的平分线上(1, 2),也易求直线AC .由 x20y10 得 AS所以kAB 1,而直线y 0是角A的平分线，所以kAC1,所以AC边所在的直线方程为 y (x又kBC 2,所以BC边所在直线方程为 由AC与BC的直线方程联立可得 C(5,1) y 26)2(x 1)所以AC边上的垂直平分线所在的直线方程为x4、最值问题例4.已知点M ( 3,5), N(2,15).在直线l :3x上找一点P ,使| PM | | PN |最小，并求出最小值y 5 0.4y 4 0分析本题前提条件是两点位于直线的同侧，主要考查利用三角形中两边之和大于第三边与点的对称问题的结合，由平面几何知，先作出与点M关于l对称的点M ,连结NM ,直线NM 与直线l的交点P即为所求.事实上，若点P是l上异于P的点，则| PM | PN | | PM | | PN | | NM | | PM | | PN | .解答设与M (3，K , kMM43,5)关于l对称的点是M .4 , 3MM的方程为解方程组3x 4y4x 3y线段MM交直线3(x0 /曰，得03),即 4x 3y 30.l 于Q (0,1).Q是MM的中点，连结NM的直线方程为M的坐标为18x y 51解方程组18x y 51 3x 4y 40 /曰，得0(3, 3). 0.8,33.点P坐标为(8,3) .此时，| PM |3|PN | | PM |PN | | NM | J(3 2)2 (15 3)2 543 .设计意图本题有个前提两点在直线的同侧，把求最值的问题转化为三角形中两边之和大于第三边的问 题，如果学生接受能力强，可以再拓展一下，当两点位于直线两侧时，可在直线上找一点，使11PMi |PN|最大.变式训练：函数y 42 1 Jx2 4x 8的最小值为 . 分析本题主要考查了把两点间的距离公式的灵活运用， 把最值问题转化成求动点与两点的距离和的问题， 把函数的最值转化为解析几何的问题，前面题目大多是 把几何问题转化为代数的问题，此题正好相反， 体现了数形结合的重要的数学思想.解答把y Jx2 1 Jx2 4x 8变形为 y . (x 1)2(01)2. (x 2)2(02)2A、(x 1)2(01)2. (x 2)2(02)2表示动点P(x,0)到两定点A(1,1)、B (2,2)的距离之和. 作点A(1,1)关于x轴的称点A(1, 1)M PA| | PB| | PA| |PB| |BA| y J(2 1)2 (2 1)2 屈 函数y有最小值为 炳.四、解法小结1,求直线方程.直线方程的五种形式是从不同侧面对直线几何特征的描述，具体使用时要根据题意选择最简单、适当的形式；同时结合参数的几何意义，注意方程形式的局限性.1直接法：当两个条件显性时，直接选择适当的直线方程的形式，写出所求直线的方程.2待定系数法：当两个条件至少一个隐性时，可根据已知条件，选择适当的直线方程的形式，设出所求的直线方程，建立方程组，待定出其中的系数，从而求得直线方程.2 .两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合.对于斜率都存在且不重合的两条直线11、12 ,I1/I2k1 k2, I1 12k1 k21 .若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是什么一定要特别注意.3 .在运用两平行直线间的距离公式dC_C_时，一定要注意将两方程中的 x , y项系数化为分别相A2 B2等的系数.4 .两直线平行时，直线可设为ax by c1 0,ax by c20 ,两直线垂直时，直线可设为ax by C1 0,bx ay c2 0 ,可以简化运算.五、布置作业必做题：1 .已知直线li ： k 3x 4 k y 1 0与I：2 k 3 x 2y 3 0平行，则k的值是.2 .若直线li： y k x 4与直线I2关于点2,1对称，则直线12恒过定点是.3 .已知2x y 5 0 ,则 M y2的最小值是.4 .设直线l经过点 1,1 ,则当点 2, 1与直线l的距离最大时，直线l的方程为.答案：1 .3或 5; 2. 0,2 ; 3. 6；4. 3x 2y 5 0选做题：1 .已知直线 l :kx y 1 2k 0 k R .1证明直线l过定点；2若直线l不经过第四象限，求 k的取值X围；3若直线l交x轴负半轴于 A,交y轴正半轴于B ,求使 AOB面积最小时直线l的方程.2 .已知直线l ： 2x 3y 1 0,点A 1, 2 .求:1点A关于直线l的对称点A的坐标；2直线 m ： 3x 2y 60关于直线l的对称直线的方程;3直线l关于点A 1, 2对称的直线l的方程.答案：1. 1定点2,1 ; 20,3x 2y0.2.解答1由已知3313413 A2在直线m上取一点,3313如4132,0b2232,0关于直线06，得M 13l的对称点3013必在直线m上.设对称点设直线m与直线l的交点为N ,则由2x3x3y2y又m经过点N 4,3 ,，由两点式得直线 m的方程为9x 46y 1023方法一 在l ： 2x 3y 1 0上任取两点，如 的对称点M ,N均在直线l上，易得M 3, 5 , 2x 3y 9 0 .M 1,1 , N 4,3 ,则 M ,N 关于点 A 1, 2N 6, 7 ,再由两点式可得l的方程为方法二 l/l，设l的方程为2x 3y C 0 C 1 ,点A 1,2到两直线l , l的距离相等，由点到直线的距离公式得： 2 6 JC 1 6 J ,解, 3222 32得C 9, l的方程为2x 3y 9 0 .方法三 设P x,y为l上任意一点，则 P x,y关于点A 1, 2的对称点为P 2 x, 4 y ,.点 P 在直线 l 上，2 2 x 3 4 y 1 0,即 2x 3y 9 0.设计意图复习课由于内容较多，难以把涉与全面，把对称这一重要问题当作习题作为补充，教师可以灵活把握，有时间可以讲解，对称有两方面，主要学习以下两点：1点关于线对称，转化为“垂直与“线的中点在轴上的问题.2线关于线对称，转化为点关于线的对称问题；线关于点的对称，转化为点关于点的对称问题.六、教后反思1 .本教案的亮点是：在原教案的基础上，对本章知识点采用了分类复习的方法，用更加具有代表性的例题进行了替换.教学内容设计，把全章内容重点把握，分类讲解，一题多解，训练学生从不同角度思考问题，并且体会各种方法 的差别.渗透相关点代入法，以与数形结合等思想方法.2 .本教案的不足是：因为课堂时间的问题没有能在例题中凸显点关于线对称与线关于点对称问题，课堂 实际中学生展现的做法很多，没能一一给出详解.