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会计学1D函数的连续性与间断点初等函数的连续性函数的连续性与间断点初等函数的连续性2纠正作业：纠正作业：1.求极限的四则法则是求极限的四则法则是有条件有条件的的. .不能无条件使用不能无条件使用. .解解: 解解: 3. 如何求曲线的渐近线如何求曲线的渐近线. .2.求极限时应先看求极限时应先看极限过程极限过程及及极限类型极限类型. .第1页/共31页3观察图像：观察图像：oxyyx1o2yxo2 xy13x = 0处处无极限无极限.第2页/共31页4二、二、 函数的间断点函数的间断点 一、一、 函数连续性的定义函数连续性的定义 第八节函数的连续性与间断点 第一章 第3页/共31页5可见可见 ,函数函数一、一、 函数连续性的定义函数连续性的定义1.定义定义:的某邻域内有的某邻域内有定义定义, (1) (2) 极限极限(3)设函数设函数连续必须具备下列条件连续必须具备下列条件:且且第4页/共31页6例例1.证：证：由定义由定义1知：知：例例2.解：解：第5页/共31页7(1) 函数的增量函数的增量:00()()yf xxf x 即即0 xxx 0)(xfy x y xyo0 xx 0 xx y )(xfy oxy即即第6页/共31页8左连续左连续右连续右连续请思考：函数在点请思考：函数在点 处处连续连续与在点与在点 处处有极限有极限的区别与的区别与0 x0 x联系联系.第7页/共31页9说明：说明：2)三个连续的定义的主要作用：三个连续的定义的主要作用：常用于常用于具体函数具体函数连续性的判断连续性的判断.常用于常用于抽象函数抽象函数连续性的判断连续性的判断.常用于分段函数分界点处连续性的判断常用于分段函数分界点处连续性的判断.1)函数在点函数在点 处处连续连续与在点与在点 处处有极限有极限的区别与联系的区别与联系. 0 x0 x反之不一定成立反之不一定成立.yx1o第8页/共31页10例例4. 设设解解:解：解：2 左连续左连续(0 )f 右不连续右不连续例例3.试讨论函试讨论函数数在在处的连续性处的连续性.P75T10第9页/共31页110( )f xx函函数数在在点点(1) 0( )f xx在在点点 的的邻邻域域内内有有定定义义，0()f x即即存存在在；(2) 极限极限0lim( )xxf x存存在在；(3)00lim( )().xxf xf x 连续必须具备下列条件连续必须具备下列条件:二、二、 函数的间断点函数的间断点的某去心邻域内有定义的某去心邻域内有定义,1.间断点的定义：间断点的定义：2.间断点的分类间断点的分类:第一类间断点第一类间断点:第二类间断点第二类间断点:间断点间断点第10页/共31页122.间断点分类间断点分类:(1) 第一类间断点第一类间断点(2) 第二类间断点第二类间断点第11页/共31页132 x 为其为其无穷间断点无穷间断点 .为其为其振荡间断点振荡间断点 .为为可去间断点可去间断点 .例如例如:xytan2xyoxyxy1sin0 xoy111 ()yxx第12页/共31页14211显然显然为其为其可去间断点可去间断点 .(4)xoy1(5) 1,0( )0,01,0 xxyf xxxxxyo11为其为其跳跃间断点跳跃间断点 .第13页/共31页15注意注意: 可去间断点只要可去间断点只要改变改变或者或者补充补充间断点处函数的定义间断点处函数的定义, 则可使其变为连续点则可使其变为连续点.1x 为为可去间断点可去间断点 .xoy1如如补充定义补充定义 ：时时则函数在则函数在 处就连续了处就连续了.第14页/共31页16刚学过的主要内容：刚学过的主要内容：000()()()f xf xf x 第一类间断点第一类间断点可去间断点可去间断点跳跃间断点跳跃间断点左右极限都存在左右极限都存在 第二类间断点第二类间断点无穷间断点无穷间断点振荡间断点振荡间断点左右极限至少有一个左右极限至少有一个不存在不存在第15页/共31页173.连续函数与连续区间连续函数与连续区间定义定义1:在区间上每一点都连续的函数在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上叫做在该区间上的的连续函数连续函数,或者说函数在该区间上连续或者说函数在该区间上连续,该区间该区间叫函数的叫函数的连续区间连续区间.连续函数的图形是一条连续函数的图形是一条连续而不间断连续而不间断的曲线的曲线.例如例如:因为因为 第16页/共31页18一、连续函数的运算法则一、连续函数的运算法则 第九节二、初等函数的连续性二、初等函数的连续性 连续函数的运算与初等函数的连续性 第一章 第17页/共31页19在其定义域内连续在其定义域内连续一、连续函数的运算法则一、连续函数的运算法则定理定理1. 在某点连续的在某点连续的有限个有限个函数经函数经有限次有限次和和 , 差差 , 积积 ,( 利用极限的四则运算法则证明利用极限的四则运算法则证明)商商(分母不为分母不为 0) 运算运算,结果仍是一个在该点连续的函数结果仍是一个在该点连续的函数 .例如例如,定理定理2. (证明略证明略) 若函数若函数y=f(x)在某区间上单值、单调且连续，则在某区间上单值、单调且连续，则它的反函数在对应的区间上也单值、单调且连续，它的反函数在对应的区间上也单值、单调且连续，而且它们的单调性相同而且它们的单调性相同.第18页/共31页20定理定理2. 连续单调递增函数的反函数也连续单调递增连续单调递增函数的反函数也连续单调递增. 例如例如,上连续单调递增，上连续单调递增，其反函数其反函数(递减递减)在在 1, 1上也连续上也连续(递减递减)11xOy22 单调单调递增递增.总之总之,反三角函数在其定义域内皆连续反三角函数在其定义域内皆连续.上连续上连续单调单调其反函数其反函数上也连续单调递增上也连续单调递增.又如又如, xyO11递增递增,第19页/共31页21定理定理3.( 利用极限的变利用极限的变量代换法量代换法)意义：意义：1)在定理在定理3的条件下极限符号可以与函数符号互换的条件下极限符号可以与函数符号互换;例例1.解解:所以所以 原式原式第20页/共31页22定理定理4. 连续函数的复合函数是连续的连续函数的复合函数是连续的.(常用常用)证证: 设函数设函数于是于是故复合函数故复合函数且且即即例如例如,是由连续函数是由连续函数因此因此复合而成复合而成 ,第21页/共31页23三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.均在其定义域内连续均在其定义域内连续(证明略证明略)二、初等函数的连续性二、初等函数的连续性结论结论:基本初等函数在其定义域内是连续的基本初等函数在其定义域内是连续的.第22页/共31页24定理定理5. 一切初等函数在其一切初等函数在其定义区间定义区间内都是连续的内都是连续的.1.“定义区间定义区间”与定义域不应混淆与定义域不应混淆.定义区间定义区间 定义域定义域 说明说明: 初等函数仅在其定义区间内连续初等函数仅在其定义区间内连续,在其定义域内不一定在其定义域内不一定连续连续;例如例如,函数在这些孤立点的邻域内没有定义函数在这些孤立点的邻域内没有定义,故均为间断点故均为间断点.2.逆否命题成立逆否命题成立.即在定义区间内不连续的函数是非初等即在定义区间内不连续的函数是非初等函数函数,如：如： 的连续区间如何找？的连续区间如何找？3.初等函数的连续区间初等函数的连续区间=定义区间定义区间1 xyo1第23页/共31页255. 函数连续性的应用函数连续性的应用-求极限求极限.4.初等函数的间断点就是无定义的点及有定义的孤立点初等函数的间断点就是无定义的点及有定义的孤立点.如如 函数函数的间断点：的间断点：( )( ).f xf x定定义义区区为为初初等等函函数数其其间间在在上上连连续续0lim(.)xxfx 例例2.解解:第第10个求极限的方法个求极限的方法第24页/共31页26例例3.解解:例例4.解解:0( ), i)3l(.mxxf xaxa 若若函函数数在在 连连续续定定理理第25页/共31页27则有则有结论结论1: 若若则有则有结论结论2: 若若第26页/共31页28定义区间与定义定义区间与定义域的区别域的区别.基本初等函数在基本初等函数在定义区间定义区间内连续内连续连续函数经连续函数经四则运算四则运算仍连续仍连续连续函数的连续函数的复合复合函数连续函数连续一切初等函数在一切初等函数在定定义区间义区间内内连续连续连续函数的连续函数的反函数反函数连续连续内容小结内容小结说明说明: 分段函数在界点处是否连续需应讨论其分段函数在界点处是否连续需应讨论其 左、右左、右 的连续性的连续性. 第第10个求极限的方法：利用函数的个求极限的方法：利用函数的连续性求极限连续性求极限.lim( ),2(:)xaf xyf xxa 如如果果则则的的铅铅直直渐渐近近：义义线线定定. .思考题思考题第27页/共31页29思考题思考题 确定函数确定函数间断点的类型间断点的类型.作业作业:P65 3(1)(4),4; P693(5)(6)(7),4(4)(5)(6), 6预习预习:P70-P76解解: 间断点间断点为无穷间断点为无穷间断点;故故为跳跃间断点为跳跃间断点. 第28页/共31页30备用：备用：证：证：同理可证同理可证y=cosx在定义域内也是连续的在定义域内也是连续的.第29页/共31页31例例5. 求求解解:原式原式例例6. 求求解解: 令令则则原式原式P69例例6，例，例7第30页/共31页
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