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2. 4.2抛物线的简单几何性质抛物线的定义:在平面内，与一个定点廨一条定直线/（环经过点F）的距离相等的点的轨迹叫抛物线.定点F是抛物线的焦点，定直线/叫做抛物线的准线.第二章圆锥曲线与方复习EJ顾:2、抛物线的标准方程:标准方程y2= 2px(p0)r =-2/?%(/? 0)x= 2 py(p0)r=-2py(p0)图形y114/XrFoV丿”1焦点F(f,O)F(，O)叫)F(O,-号)准线x =匕2x=p2-f(2)对称性 关于*轴对称，对称轴又叫抛物线的轴.(3)顶点抛物线和它的轴的交点.二、讲抛物线y2=2px(p0)的几何性质:(1)氾围xO,y e R(4)离心率抛物线上的点到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示, 由抛物线的定义可知，e=l方程y2= 2px(p0)y2= -2px(p0)x2= 2py(p0)x2=-2py(p0)图形Ip,|7,yfz范国x0 jeRx0 xeR j- 6x +1 = 0l/=4x= 3-2A/2= 2-2s/2阴=丁（耳_ +（YL_V2）2=8解法2 F1,0）,伯勺方程为：y = x-lf y= x l9 6x +1 = 0y2=4xAB = （1+氐2）（旺 +兀2）2 4兀1兀2】=Jl + l262-4xl=8解法3F1,0),伯勺万程为：y = x-f y = x 1059= x2 6x +1 =0y =4x=冯+兀=6, XjX =1|AB |= |AF|+ |BF |=IAAI|+ IBB, | =(X +1)4-(X24-1 )FA = AAXI =KH = pFAcosa同理丽=乔益解法4p=2, a = 451AB =匕+ 匕1 + cosa1 - cosa_2P _2x2 _Q2 2 8sinasm 45例抛物线yJ4x的焦点为F,点M在抛物线上运动，A(2,2),试求解|MA|+|MF| =|MA|+|MM1| |AAJ=3即|MA|+|MF|的最小值为3 练习 抛物线y2=4x的 点M到准线距离为d, A(2,4),试求|MA|+d的最小值.解|MA|+d =|MA|+|MF| |AF|=V10即|MA|+|MF|的最小值为V10.|MA|+|M例5过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D,求证：直线DB平行于抛物线的对称轴。证明：以抛物线的対称轴为坤h它的顶点为原点，建立TI角2坐标系。设抛物线的方程为于=2砂 点冶(汕，,() 则直线OA的方程为y =丸如2P% 2准线X= -y联立可得yD=-又点F(2,0),直线AF为 丄=-v- 2Vny_p2p22当2=门2时,结论显然成立所以，直线DB平行于抛物线的对称轴。例5过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点,通过点A和抛 物线顶点的直线交抛物线的准线于点D,求证:直线DB平行于抛物 线的对称轴.另证：以抛物线的对称轴为卅山，它的顶点为原点，建立自允I坐标当直线AB存在斜率时，设AB为y = k(x-)与y2=2px联立，得与y2二系。设抛物线的方程为员=2四,所以，直线DB平行于抛物线的对称轴。ky2 2py kp2= 0yAyB=-p2即y = -x弘2直线OA的方程为y = x, yD= yA儿由儿=知,沏o当直线AB存在斜率时，结论显然成立.练习、过抛物线b=2册顶点作两条互相垂直的弦OA, OB,求证:直线与乂轴的交点为定点.=x伙工1)ky = 2x- + 2kk = _=_KAB _少_ 1厶2Ar-2k2_kk22k,_k_= _L_2宀i -k2刍221 Kk2直线AB与兀轴的交点为定点(2,0).当k = 1时,43y轴,A3与x轴相交于点(2,0)综上所述，直线A3与x轴的交点为定点(2,0).解：设L :y = kx,则/加:yAB:22 k(2、练习、过抛物线2册顶点作两条互相垂直的弦OA, OE,求证:直线与丸轴的交点为定点.另解 设/43必),3(兀2，歹2)，AB:y = Ax+Z?V = kx + br rrrnkK +（2肋一2）x + Zr = 0y 2xb22hXjX2=同理歹歹2 = K k由OA丄OBXX2+yy2=0即I += 0 = Z? = 2kk2k. AB: y = kx-2k与x轴交点(2,0)综上所述道线AB与 当AB，轴时,AB与x轴相交于点(2,0)端的交点为定点(2,0)例6已知抛物线的方程为才=4兀，直线2过定点卩(_2,1),斜率为R ,k为何值时,直线/与抛物线y2=4x:只有一个公 共点;有两个公共点;没有公共点？解：直线Z的方程为歹一1 =(兀+2)y 1 = R(兀+2)y2= 4x可得ky2 4y+4（2 + 1） = 0只有一个公共点ok = 0,或UE=_1,或=0,或k= 2联立山方程到B0 =一有两个公共点 o卩H0= -16(22+比-1)0没有公共点 o综上所述O 1 v R v 0,或0 k E V _1,= -16(2m)v0或叫当 =_1，或0,或R =丄时,直线与抛物线只有一个公共点；2当-k 0或0 V V时,直线与抛物线有两个公共点;2当k 丄时,直线与抛物线没有公共点。2练习：过点M(0,l)且和抛物线C:J2=4X仅有一个 公共点的直线的方程是_ .y = 1或,X =O或I y = x +1y =k x + 1l/=4x消去兀得24y+4 = 0联立y = 1乂= O亘kHOZ=16-16k=X5总结判断直线与圆锥曲线位置关系的操作程序:把直线方程代入曲线方程得到一元二次方程直线与抛物线的对称轴平行计算判别式o A=o A0相交（一个交点）相交相切 相离得到
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