2019届九年级数学下册 小专题（四）二次函数与几何图形综合练习 （新版）湘教版

小专题(四)二次函数与几何图形综合1如图，抛物线yx2x5与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C.若点E为x轴下方抛物线上的一动点，当SABESABC时，求点E的坐标解：令yx2x50，即x22x150，解得x15，x23.A(5，0)，B(3，0)AB8.令x0，则y5，C(0，5)OC5.SABCABOC20.设点E到AB的距离为h，SABESABC，8h20.h5.点E在x轴下方，点E的纵坐标为5.当y5时，x2x55.x12，x20(与点C重合，舍去)E(2，5)2如图，抛物线yx2x3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D(2，2)是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一点P，使得BDP的周长最小，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由解：令yx2x30，解得x13，x22.点A的坐标为(2，0)连接AD，交对称轴于点P，则P为所求的点设直线AD的表达式为ykxt.将点A，D的坐标代入，得解得直线AD的表达式为yx1.抛物线的对称轴为直线x，将x代入yx1，得y.点P的坐标为(，)3如图，二次函数yx2mxn的图象经过点A(1，4)，B(1，0)，yxb经过点B，且与二次函数yx2mxn交于点D.(1)求二次函数的表达式；(2)点N是二次函数图象上一点(点N在BD上方)，过N作NPx轴，垂足为P，交BD于点M，求MN的最大值解：(1)二次函数yx2mxn的图象经过点A(1，4)，B(1，0)，解得二次函数的表达式为yx22x3.(2)yxb经过点B，1b0.解得b.yx.设M(t，t)，则N(t，t22t3)，MNt22t3(t)t2t(t)2.MN的最大值为.4如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线yx24x5与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C.若点D是y轴上的一点，且以B，C，D为顶点的三角形与ABC相似，求点D的坐标解：令yx24x50，解得x11，x25.A(1，0)，B(5，0)令x0，则y5，C(0，5)OCOB，OBCOCB45.AB6，BC5.要使以B，C，D为顶点的三角形与ABC相似，需有或.当时，CDAB6，D(0，1)当时，CD.D(0，)综上，点D的坐标为(0，1)或(0，)5如图，已知抛物线yx22x3与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，顶点为P.若以A，C，P，M为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标解：yx22x3中，当x0时，y3，C(0，3)yx22x3中，令y0，即x22x30，解得x13，x21.A(3，0)，B(1，0)yx22x3(x1)24，顶点P的坐标为(1，4)如图，分别过PAC的三个顶点作对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个符合条件的点M1，M2，M3.AM1CP，且C(0，3)，P(1，4)，A(3，0)，M1(4，1)AM2PC，且P(1，4)，C(0，3)，A(3，0)，M2(2，1)CM3AP，且A(3，0)，P(1，4)，C(0，3)，M3(2，7)综上所述，点M的坐标为(4，1)或(2，1)或(2，7)6如图，已知抛物线yx2x2与x轴交于A，B两点(点A在点B的右边)，与y轴交于点C.(1)求点A，B，C的坐标；(2)此抛物线的对称轴上是否存在点P，使得ACP是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)令y0，得x2x20，解得x12，x24.A(4，0)，B(2，0)令x0，得y2.C(0，2)(2)存在点P，使得ACP是等腰三角形设P(1，a)，则AP2a29，CP2(a2)21a24a5，AC220.当APCP时，即a29a24a5，解得a1.P1(1，1)；当CPAC时，即a24a520，解得a2.P2(1，2)，P3(1，2)；当APAC时，即a2920，解得a.P4(1，)，P5(1，)综上所述，满足条件的点P的坐标为P1(1，1)，P2(1，2)，P3(1，2)，P4(1，)，P5(1，)5