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知识整合与阶段检测对应学生用书P24对应学生用书P24 绝对值不等式的解法求解绝对值不等式或根据绝对值不等式解集及成立情况求参数的值或取值范围问题，是高考中对绝对值不等式考查的一个重要考向，每年高考均有重要体现，以填空题、解答题为主，属中档题，解绝对值不等式的基本思想，是转化、化归，不等式的性质是实现“转化”的基本依据，通过利用绝对值的几何意义、平方法、零点分区间讨论法等将绝对值不等式转化为最简单的一元一次不等式(组)或一元二次不等式(组)来求解例1不等式|x1|x|2.解法一：利用分类讨论的思想方法当x1时，x1x2，解得x1；当1x0时，x1x2，解得1x0；当x0时，x1x2，解得0x.因此，原不等式的解集为.法二：利用方程和函数的思想方法令f(x)|x1|x|2作函数f(x)的图象(如图)，知当f(x)0时，x.故原不等式的解集为.法三：利用数形结合的思想方法由绝对值的几何意义知，|x1|表示数轴上点P(x)到点A(1)的距离，|x|表示数轴上点P(x)到点O(0)的距离由条件知，这两个距离之和小于2.作数轴(如图)，知原不等式的解集为.法四：利用等价转化的思想方法原不等式0|x1|2|x|，(x1)2(2|x|)2，且|x|2，即04|x|32x，且|x|2.16x2(32x)2，且2x2.解得x0时，x，得a2.(2)法一：记h(x)f(x)2f()，则h(x)所以|h(x)|1，因此k的取值范围是k1.法二：f(x)2f21，由f(x)2fk恒成立，可知k1所以k的取值范围是k1.平均值不等式的应用利用平均值不等式求函数的最值及解实际问题，为近几年新课标各省市高考的热点，常与函数数列、解析几何、立体几何交汇命题，多以中档题形式出现在利用平均值不等式求函数最值时，一定要满足下列三个条件：x、y为正数“和”或“积”为定值等号一定能取到，这三个条件缺一不可例3当0x0，tanx0.故f(x)4tan x24.答案C例4为了提高产品的年产量，某企业拟在2014年进行技术改革经调查测算，产品当年的产量x万件与投入技术改革费用m万元(m0)满足x3(k为常数)如果不搞技术改革，则该产品当年的产量只能是1万件已知2014年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元由于市场行情较好，厂家生产的产品均能销售出去厂家将每件产品的销售价格定为每件产品生产成本的1.5倍(生产成本包括固定投入和再投入两部分资金)(1)将2014年该产品的利润y万元(利润销售金额生产成本技术改革费用)表示为技术改革费用m万元的函数；(2)该企业2014年的技术改革费用投入多少万元时，厂家的利润最大？解(1)由题意可知，当m0时，x1(万件)，13k.k2.x3.每件产品的销售价格为1.5(元)，2014年的利润yx(816x)m29(m0)(2)m0，(m1)28，y29821.当m1，即m3，ymax21.该企业2014年的技术改革费用投入3万元时，厂家的利润最大.不等式的证明证明不等式是近几年新课标高考的一个热点考向，常以解答题的形式出现，常与函数、数列等知识交汇命题，常用到的证明方法有：1比较法证明不等式比较法证明不等式的依据是：不等式的意义及实数比较大小的充要条件作差比较法证明的一般步骤是：作差；恒等变形；判断结果的符号；下结论其中，变形是证明推理中一个承上启下的关键，变形的目的在于判断差的符号，而不是考虑差能否化简或值是多少，变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法例5已知ab0，求证：2a3b32ab2a2b.证明2a3b3(2ab2a2b)2a(a2b2)b(a2b2)(a2b2)(2ab)(ab)(ab)(2ab)因为ab0，所以ab0，ab0,2ab0，从而(ab)(ab)(2ab)0，即2a3b32ab2a2b.2综合法证明不等式综合法证明不等式的思维方向是“顺推”，即由已知的不等式出发，逐步推出其必要条件(由因导果)，最后推导出所要证明的不等式成立综合法证明不等式的依据是：已知的不等式以及逻辑推证的基本理论：证明时要注意的是：作为依据和出发点的几个重要不等式(已知或已证)成立的条件往往不同，应用时要先考虑是否具备应有的条件，避免错误、如一些带等号的不等式，应用时要清楚取等号的条件，即对重要不等式中“当且仅当时，取等号”的理由要理解掌握例6设x0，y0，z0，求证：xyz.证明x，z，由得：xyz.3分析法证明不等式分析法证明不等式的依据也是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论分析法证明不等式的思维方向是“逆推”，即由待证的不等式出发，逐步寻找使它成立的充分条件(执果索因)，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式当要证的不等式不知从何入手时，可考虑用分析法去证明，特别是对于条件简单而结论复杂的题目往往更为有效由教材内容可知，分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件，而综合法是“由因导果”，逐步推导出不等式成立的必要条件，两者是对立统一的两种方法一般来说，对于较复杂的不等式，直接用综合法往往不易入手，因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法可结合使用例7已知a0，b0，且ab1，求证： 2.证明要证 2，只要证24，即证ab12 4.只要证：1.也就是要证：ab(ab)1，即证ab.a0，b0，ab1.1ab2，ab，即上式成立故 2.4反证法和放缩法证明不等式(1)反证法：先假设要证明的结论是不正确的，然后利用公理、已有的定义、定理、命题的条件逐步分析，得到和命题的条件(已有的定义、定理、公理等)矛盾的结论，以此说明假设的结论不成立，从而原来的命题结论正确(2)放缩法：将需要证明的不等式的值适当地放大(或缩小)，使不等式由繁化简，达到证明的目的例8已知a0，求证 a2.证明假设 a2，则 2a.平方得a244a2222，即2 .平方得42，即a22.又由平均值不等式得a22，矛盾 a2成立例9求证：13.证明由(k是大于2的自然数)，得12，Bx|x26x82x|x3或x1，Bx|x26x80x|2x4，(UA)Bx|21”是“1”成立的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：当1时，有0，即a1，所以“a1”是“1”成立的充分不必要条件答案：A3已知a，b，c满足cb0，ac0，则下列选项中不一定能成立的是()A0C Dc，a0，即0，可得，故A恒成立ba，ba0.又c0，故B恒成立c0.又ac0，a2，而c0，a，对于xR均成立，那么实数a的取值范围是()A(，5) B0,5)C(，1) D0,1解析：由绝对值的几何意义知|x2|x3|表示的是x与数轴上的点A(3)及B(2)两点距离之和，A，B两点的距离为5，线段AB上任一点到A，B两点距离之和也是5.数轴上其它点到A，B两点距离之和都大于5，|x2|x3|5，故a2，2，相加得22即 .答案：M N6(湖南高考)若关于x的不等式|ax2|3的解集为，则a_.解析：由不等式的解集可知，为不等式对应的方程|ax2|3的根，即解得a3.答案：37不等式|x1|x3|6的解集是_解析：|x1|x3|当x3时，2x26x4；当x1时，2x26x2；当3x0，则，从大到小的顺序为_解析：a0，2 .答案：三、解答题9某数列由下列条件确定：x1a0，xn1，nN.(1)证明：对n2总有xn；(2)证明：对n2总有xnxn1.证明：(1)由x1a0，及xn1可以归纳证明xn0，从而有xn1(nN)，所以当n2时，xn成立(2)当n2时，因为xn0，xn1，所以xn1xnxn0.故当n2时，xnxn1成立10已知关于x的不等式|ax1|axa|1(a0)(1)当a1时，求此不等式的解集；(2)若此不等式的解集为R，求实数a的取值范围解：(1)当a1时，得2|x1|1，|x1|，x或x，不等式的解集为.(2)|ax1|axa|a1|，原不等式解集为R等价于|a1|1，a2或a0.又a0，a2.实数a的取值范围为2，)11(1)设x是正实数，求证：(x1)(x21)(x31)8x3；(2)若xR，不等式(x1)(x21)(x31)8x3是否仍然成立？如果成立，请给出证明，如果不成立，请举出一个使它不成立的x值解：(1)证明：x是正实数，由基本不等式知，x12，1x22x，x312，故(x1)(x21)(x31)22x28x3(当且仅当x1时等号成立)(2)若xR，不等式(x1)(x21)(x31)8x3仍然成立由(1)知，当x0时，不等式成立；当x0时，8x30.而(x1)(x21)(x31)(x1)2(x21)(x2x1)(x1)2(x21)0，此时不等式仍然成立对应学生用书P49(时间90分钟，总分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1若0，则下列结论不正确的是()Aa2b2Babb2C.2 D|a|b|ab|解析：法一：(特殊值法)：令a1，b2，代入A、B、C、D中，知D不正确法二：由0，得ba0，所以b2ab，aba2，故A、B正确又由0，0，且，得2正确从而A、B、C均正确，对于D，由ba0|a|b|.即|a|b|0，而|ab|0.答案：D2设a，b，cR，则“abc1”是“abc”的()A充分条件但不是必要条件B必要条件但不是充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要的条件解析：当abc2时，有abc，但abc1，所以必要性不成立；当abc1时，abc，所以充分性成立，故“abc1”是“abc”的充分不必要条件答案：A3不等式的解集是()A(0,2) B(0,2.5)C(0，) D(0,3)解析：用筛选法，容易验证x2是不等式的解，否定A；x不是不等式的解，否定D；x使与取“”，故否定B.答案：C4若ab0，则下列不等式中一定成立的是()Aab B.Cab D.解析：ab00，ab.答案：A5若不等式x2|2x6|a对于一切实数x均成立，则实数a的最大值是()A7 B9C5 D11解析：令f(x)x2|2x6|，当x3时，f(x)x22x6(x1)279；当x3时，f(x)x22x6(x1)255.综上可知，f(x)的最小值为5，故原不等式恒成立只需a5即可，从而a的最大值为5.答案：C6“|x1|2”是“x3”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析：|x1|22x121x3.1x3x3，反之不成立从而得出“|x1|2”是“x3”的充分不必要条件答案：A7(江苏高考)对任意x，yR，|x1|x|y1|y1|的最小值为()A1 B2C3 D4解析：|x1|x|y1|y1|x1x|y1(y1)|123.答案：C8若实数a，b满足ab2，则3a3b的最小值是()A18 B6C2 D.解析：3a3b2226.答案：B9设a、b、c是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是()A|ab|ac|bc|Ba2aC|ab|2D.解析：因为|ab|(ac)(bc)|ac|bc|，所以选项A恒成立；在选项B两侧同时乘以a2，得a41a3a(a4a3)(1a)0a3(a1)(a1)0(a1)2(a2a1)0，所以选项B恒成立；在选项C中，当ab时，恒成立，ab时，不成立；在选项D中，分子有理化得恒成立答案：C10已知a，b，c，dR且S，则下列判断中正确的是()A0S1 B1S2C2S3 D3S4解析：用放缩法，；.以上四个不等式相加，得1S2.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11已知不等式|x3|(xa)的解集为A，且A，则a的取值范围是_解析：A，|x3|(xa)(xa)x3(xa)x6a.6a.解得a3.答案：(3，)12若关于x的不等式|xa|1的解集为(1,3)，则实数a的值为_解析：原不等式可化为a1x0，a3b3c33abcabc0.答案：abc014用长为16 cm的铁丝围成一个矩形，则可围成的矩形的最大面积是_cm2.解析：设矩形长为x cm(0x0,8x0，可得S216，当且仅当x8x即x4时，Smax16.所以矩形的最大面积是16 cm2.答案：16三、解答题(本大题共4小题，共50分)15(本小题满分12分)已知函数f(x)|x8|x4|.(1)作出函数yf(x)的图象；(2)解不等式|x8|x4|2.解：(1)f(x)图象如下：(2)不等式|x8|x4|2，即f(x)2.由2x122，得x5.由函数f(x)图象可知，原不等式的解集为(，5)16(本小题满分12分)设a，b，c，d是正数，求证：下列三个不等式：abcd；(ab)(cd)abcd；(ab)cdab(cd)中至少有一个不正确证明：假设不等式正确a，b，c，d都是正数，两不等式相乘得(ab)2abcd.由式，得(ab)cd0，4cdabcd，3cdab，即cd.由式，得(ab)2，即a2b20，b0，且.(1)求a3b3的最小值；(2)是否存在a，b，使得2a3b6？并说明理由解：(1)由，得ab2，且当ab时等号成立故a3b324，且当ab时等号成立所以a3b3的最小值为4.(2)由(1)知，2a3b24.由于46，从而不存在a，b，使得2a3b6.18(本小题满分14分)(辽宁高考)设函数 f(x)2|x1|x1，g(x)16x28x1.记f(x)1 的解集为M，g(x)4 的解集为N.(1)求M；(2)当 xMN时，证明：x2f(x)xf(x)2 .解：(1)f(x)当x1时，由f(x)3x31得x，故1x；当x1时，由f(x)1x1得x0，故0x1.所以f(x)1的解集为M.(2)证明：由g(x)16x28x14，得1624，解得x.因此N，故MN.当xMN时，f(x)1x，于是x2f(x)xf(x)2xf(x)xf(x)xf(x)x(1x)2.
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