第2章控制系统的状态空间描述.ppt2

2.1 2.1 引引 言言2.2 2.2 状态空间模型状态空间模型2.3 2.3 状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立2.4 2.4 系统状态方程的线性变换系统状态方程的线性变换2.5 2.5 由状态空间表达式求传递函数阵由状态空间表达式求传递函数阵2.6 2.6 离散时间系统的状态空间表达式离散时间系统的状态空间表达式2.7 2.7 利用利用MATLABMATLAB进行系统数学模型的转换进行系统数学模型的转换小小 结结 2.1 2.1 引引 言言状态空间法具备如下优点： （1）在数字计算机上求解一阶微分方程组或者差分方程组，比求解与它相当的高阶微分方程或差分方程要容易。 （2）状态空间法引入了向量矩阵，大大简化了一阶微分方程组的数学表示法。 （3）在控制系统的分析中，系统的初始条件对经典法感到困难的问题，采用状态空间法就迎刃而解了。 （4）状态空间法能同时给出系统的全部独立变量的响应，不但反映了系统的输入输出外部特性，而且揭示了系统内部的结构特性，既适用单输入单输出系统又适用多输入多输出系统。（5）状态空间法可利用计算机进行分析设计以及实时控制，所以可应用求解大量的非线性系统、时变系统、随机过程和采样系统。（6）利用现代空间法进行系统综合时，是非常有利的。2.2 2.2 状态空间模型状态空间模型2.2.12.2.1状态空间的基本概念状态空间的基本概念 buyayayaynnnn)1(1)1(1)(（2-1） x )1(122222211111111dd11dd11ddncnncnnncncccccuCRuCRtuuCRuCRtuuCRuCRtu（2-2） 及及cnLLuRRRy0 (2-3) 【例2】确定图确定图2 22 2所示电路的状态变量。所示电路的状态变量。(3)状态向量 设x1(t),x2(t),xn(t)是系统的一组状态变量，把这些状态变量看做向量x x(t)的分量，则x x(t)就称为状态向量，记为 )()()(1txtxtnx (4)状态空间 以x1(t),x2(t),xn(t)为坐标轴构成的一个n维欧氏空间，称为状态空间。 【例3】建立图22所示RLC电路的状态方程。 取电容上的电压uC (t)和电感中的电流i(t)作为状态变量，根据电路原理有 d( )( )dd ( )( )( )( )dccu tCi tti tLRi tu tu tt 将上式中状态变量的一阶导数放在方程左边，其余项移至方程右边，整理得一阶微分方程组为 )(1)()(1d)(d)(1d)(dtuLtiLRtuLttitiCttucc上式即为图1所示电路的状态方程,并将其写成向量-矩阵形式，即)(10)()(110d)(dd)(dtuLtituLRLCttittucc(24) 式（2-4）可简写为 )(),(21tixtuxc21xxx21d)(dxxttxx令，记，uBAxx (25) 式中, LRLC110AL10B,(7)状态空间表达式 状态方程和输出方程合起来构成对一个动态系统完整的描述，称为动态系统的状态空间表达式。 图21所示电路, 若uC (t)为输出,取x1=uC (t),x2=i(t)作为状态变量,则其状态空间表达式为 2121210110110 xxyuLxxLRLCxx(2-6) 一、状态方程：描述系统状态与输入之间关系一、状态方程：描述系统状态与输入之间关系的、一阶微分方程（组）：的、一阶微分方程（组）：( )( )( )x tAx tBu t( )( )( )y tCx tDu t、输出方程：描述系统输出与状态、输入之间关、输出方程：描述系统输出与状态、输入之间关系的数学表达式：系的数学表达式：二二 状态空间表达式描述系统u(t)、X(t)、Y(t)之间关系的状态方程和输出方程总合。构成了对系统动态行为的完整描述。 用状态空间表达式描述非线性系统的动态特性，其状态方程是一组一阶非线性微分方程，输出方程是一组非线性代数方程，即 ),(),(),(2121212122212111tuuuxxxfxtuuuxxxfxtuuuxxxfxrnnnrnrn(2-7) ),(),(),(2121212122212111tuuuxxxgytuuuxxxgytuuuxxxgyrnnmrnrn若向量方程中 和 的所有组成元都是变量 和 的线性函数，则称相应的系统为线性系统。而线性系统的状态空间描述可表示为如下形式： （2 28 8） 式中，各个系数矩阵分别为 （29） (, ) t x = f x,u(, ) tyg x,u12,nx xx12,ru uu( )( )( )( )tttt x = AxBuyCxDu1111111111111111( )( )( )( )( ),( )( )( )( )( )( )( )( )( )( ),( )( )( )( )( )nrnnnnnrnrmmnmmratatbtbtttatatbtbtctctdtdtttctctdtdtABCD ( )( )( )( )tttt x = AxBuyCxDu（210）一个动态系统的状态向量、输入向量和输出向量自然是时间的函数，而矩阵 、 、 和 的各个元素如果与时间有关，则称这种系统是线性时变系统。 ( ) tA( ) tB( ) tC( ) tD 矩阵 ， ， 和 的各个元素如果与时间无关，则称这种系统是线性定常系统 ( ) tA( ) tB( ) tC( ) tD式中的各个系数矩阵为常数矩阵 。( )( )( )( )tttt x = AxBuyCxDu0D =0D x = AxBuyCx 当系统的输出与输入无直接关系（即 ）时，称为惯性系统；相反，系统的输出与输入有直接关系（即 ）时，称为非惯性系统非惯性系统。大多数控制系统为惯性系统，所以，它们的动态方程为 （211） 当系统的各个变量只在离散的时刻取值时，这种系统称为离散时间系统简称离散系统。其状态空间描述只反映离散时刻的变量组之间的因果关系和转换关系。是用 来表示离散的时刻，那么离散系统状态空间描述的最一般形式为：0,1,2,k (1)( ( ), ( ), ),0,1,2,( )( ( ), ( ), ),kkk kkkkk kxf xuyg xu（212） 对于线性离散时间系统，则上述状态空间描述还可进一步化为如下形式 ：(1)( ) ( )( ) ( ),0,1,2,( )( ) ( )( ) ( ),kkkkkkkkkkkxGxHxyCxDu（213） 设单输入单输出线性定常n阶连续系统， n个状态变量为x1(t),x2(t),xn(t),其状态方程的一般形式为 ubxaxaxaxubxaxaxaxubxaxaxaxnnnnnnnnnnn2211222221212112121111输出方程的一般形式为 Duxcxcxcynn2211则其向量- 矩阵方程形式的状态空间表达式为Duxxxcccyubbbxxxaaaaaaaaaxxxnnnnnnnnnnn2121212121222211121121上式简记为 DuyuCxBAxx 式中 ,T21nxxxx为n维状态向量; nnnnnnaaaaaaaaa212222111211A称为系统矩阵或状态矩阵; nbbb21B称为输入矩阵或控制矩阵； 21ncccC称为输出矩阵或观测矩阵； D是标量，反映输出与输入的直接关联。 系统状态空间表达式：系数矩阵中当rl，m1时，系统为多输人多输出系统(multiinput and multi output，MIMO)。这种系统也称为多变量系统。它有r个输入变量和m个输出变量，输入变量u和输出变量y都是向量，为n维状态向量，所以各个矩阵相应的维数为 是 nn方阵， 是nr矩阵， 是mn矩阵，而 是一个mr矩阵。( )( )( )( )tttt x = AxBuyCxDu( ) tA( ) tB( ) tC( ) tD【例】考察图2-10电路，取电压源e为输入变量，R1上的电压为输出变量,建立该电网络的状态空间表达式, 电压和电流为关联参考方向。 图2-10网络中只含有电容C、电感L两个独立储能元件，选电容端电压uC、流经电感的电流iL作为状态变量。 解 （1）选取状态变量（2）利用电路基本定理列原始方程 回路: etiLiiRLLCdd)(0（2-14） 回路: tiLtuCRuLCcdddd1(2-15) 代入式(2-14),得 tuCiCCdd将etiLituCRLLCdd)dd(0(2-16) （3）导出状态变量的一阶微分方程组 cLCLLCutiLtuCReiRtiLtuCRdddddddd100(2-17) （4）导出状态方程和输出方程 将状态变量的一阶导数看成待定量，用解代数方程方法求解式(2-17)即可求出状态方程。将式(2-17)写成向量-矩阵形式的方程,即 euiRtutiCRLCRLcLcL01100dddd010(2-18) 解之,得向量-矩阵形式的状态方程 eCRLCRLuiRCRLCRLtuticLcL01100dddd1100110eCRRLRRRuiCRRCRRRLRRRLRRRRcL)(1)()(1)()()(10101101001001010 (2-19)输出方程为 eRRuRRiRRRRtuCRucLcR)(1)(1)(dd1010100111eRRRuiRRRRRRRcL1011011010 (2-20) (5) 列写状态空间表达式 将式(2-19)和式(2-20)合起来即为状态空间表达式,若令 ,21cLuxix1,Ruyeu则可得状态空间表达式的一般式,即 uRRRxxRRRRRRRyuCRRLRRRxxCRRCRRRLRRRLRRRRxx101211011010101012110100100101021)(1)()(1)()()( (2-21) 例例2.2 2.2 系统如图系统如图uLRJRfuf RLLReuuuudidi RLCdtdt机22 mddC iJfdtdt123, , xxxi取状态变量取状态变量: :得：得：122233231;mexxfCxxxJJCRxxxuLLL 系统输出方程为：系统输出方程为：1yx11223312301000010100Tmexxxf JCJxLuxCLR Lxxyxx写成矩阵形式的状态空间表达式为：写成矩阵形式的状态空间表达式为：1状态变量的选取具有非惟一性。2动态方程或状态空间描述具有非惟一性。 3完全描述一个动态系统所需状态变量的个数由 系统的阶次决定，状态变量必须是相互独立的。 4一般来说，状态变量不一定是有实际物理意义或可以测量的量，但是从工程实际的角度出发，总是选择物理上有意义或可测量的量作为状态变量，如电感中的电流、电容上的电压、电机的转速等。列写状态空间表达式的一般步骤： (1)确定系统的状态变量、输入变量、输出变量; (2)根据变量应遵循的物理、化学定理,列出描述系统动态特性或运动规律的微分方程; (3)消去中间变量,得出状态变量的导数与各状态变量、输入变量的关系及输出变量与各状态变量、输入变量的关系; (4)将方程整理成状态方程、输出方程的表准形式。二 说明： 系统的状态空间分析法是时域内的一种矩阵运算方法，特别适合于用计算机来计算。 确定最小的状态变量组以及与之对应的状态空间描述的形式、特点、它们之间的联系与转换等问题，需要进一步分析解决。一 步骤： 状态变量的选择不是唯一的。一、结构图一、结构图 线性系统状态空间表达式可用结构图来表示。不仅适用于多线性系统状态空间表达式可用结构图来表示。不仅适用于多输入多输出系统，当然也适用于单输入单输出系统。这种表输入多输出系统，当然也适用于单输入单输出系统。这种表示法的实质是把系统分成两部分，如图示法的实质是把系统分成两部分，如图22所示。与古典控所示。与古典控制理论类似，状态空间表达式也可用图制理论类似，状态空间表达式也可用图24所示的方框结构所示的方框结构图来表示。值得注意的是：图中的信号传输线一般是表示列图来表示。值得注意的是：图中的信号传输线一般是表示列向量，方框中的字母代表矩阵，每一方框的输入输出关系规向量，方框中的字母代表矩阵，每一方框的输入输出关系规定为：定为： 输出向量输出向量=(方块所示矩阵方块所示矩阵)(输入向量输入向量) D A B Cu(t)Y(t)X(t)X二、状态变量图二、状态变量图 在状态空间分析中，常以状态变量图来表示系统各变量之间的关系，其来源出自模拟计算机的模拟结构图，这种图为系统提供了一种物理图像，有助于加深对状态空间概念的理解。 所谓状态变量图是由积分器、加法器和放大器构成的图形。 绘制步骤绘制步骤：（：（1 1）绘制积分器绘制积分器 （2 2）画出加法器和放大器画出加法器和放大器 （3 3）用线连接各元件，并用箭头用线连接各元件，并用箭头 示出信号传递的方向。示出信号传递的方向。例例 设一阶系统状态方程为设一阶系统状态方程为xaxbu则其状态图为则其状态图为1223312313632xxxxxxxxuyxx 例例 设三阶系统状态空间表达式为设三阶系统状态空间表达式为2.3.1.2.3.1.由物理机理直接建立状态空间表达式由物理机理直接建立状态空间表达式：例例 系统如图所示系统如图所示12, ,LCxixu选择状态变量：选择状态变量：2CLCdudiLuCRudtdt11()CLLdudiiuLCdtRdt整理得：整理得：1 211212()CLLudiiRRRudtL L RRL RR 112121CLcduRiudtC RRC RR状态方程为：状态方程为：11212112121()CudxRRRxxdtL RRRR LL211212121dxRxxdtC RRC RR输出方程为：输出方程为：2Cyux1211112122212121110()()R RRxxL RRL RRLuRxxC RRC RR1201xyx例例 系统如图系统如图uLRJRfuf RLLReuuuudidi RLCdtdt机22 mddC iJfdtdt123, , xxxi取状态变量取状态变量: :得：得：122233231;mexxfCxxxJJCRxxxuLLL 系统输出方程为：系统输出方程为：1yx11223312301000010100Tmexxxf JCJxLuxCLR Lxxyxx写成矩阵形式的状态空间表达式为：写成矩阵形式的状态空间表达式为：2.3.2 2.3.2 由系统微分方程建立状态空间表达式由系统微分方程建立状态空间表达式 12121.nnnnnya ya yaya yu (1) 0iut 的情形：的情形： a). 化为能控标准型化为能控标准型121nnxyxyxy取状态变量：取状态变量：则有：则有：1223111211 nnnnnnxxxxxxxa xaxa xuyx 1 iix tyt即即 .x tAx tbu ty tcx t写成矩阵形式：写成矩阵形式：其中：其中：11010,001nnAaaa称为友矩阵称为友矩阵。0, 10001bc能控标准型能控标准型12113212321323431311nnnnnnnnnnnnnnxya yayayayxya yayayxya yayxya yxy取状态变量：取状态变量：b). 化为能观测标准型化为能观测标准型121112211 nnnnnnnnnnnxa xuxxaxxxa xxxa xyx 整理得：整理得：11 2211 001100010nnnnxxaxxauxxa 则得能观标准型状态空间表达式：则得能观标准型状态空间表达式：12y001Tnxxx 12121120121 . nnnnnnnnnnya ya yaya yb ubub ub ub u (2) 0iut 的情形：的情形：001100221120111101. nnnnnbbastepbaabaaa计算：计算：1020130121120121.nnnnnnxyuxyuuxyuuuxyuuuu2 step定义状态变量定义状态变量: :11122211010001nnnnnxxxxuxaaax12100100nxxyxuux写成矩阵形式的状态空间表达式写成矩阵形式的状态空间表达式3step2.3.3. 2.3.3. 由传递函数建立状态空间表达式：由传递函数建立状态空间表达式：(1) (1) 直接分解法直接分解法单输入单输出线性定常系统传递函数单输入单输出线性定常系统传递函数： 1011111( )( )mmmmnnnnb sbsbsbY sg sU ssa sasa.mn 1110111nnnnnnnbsbsbg sbg sdsa sasa 111111nnnnnnnY sbsbsbg sU ssa sasa输出为：输出为： 11111(1)111nnnnnnnnbsb sb sY sU sasa sa s令：令： 1(1)1111nnnnE sU sasa sa s 1212nnE sU sas E sas E sas E s 12(1)121nnnnY sbs E sb s E sb sE sb s E s则有：则有：12( ),( ),( )nsE ssE ssE s的的L L氏反变换，氏反变换，则系统的状态空间则系统的状态空间表达式为表达式为令：令：分别表示分别表示11, ，nnx xx112211010000101nnnnxxxxuxaaax11120.Tnnnybbbxxxbu例例 考虑系统考虑系统5863yyyyu试写出其能控标准型状态空间表达式试写出其能控标准型状态空间表达式。122331231685xxxxxxxxuyx 则状态空间表达式为：则状态空间表达式为：选择状态变量：选择状态变量：123,xy xy xy(2) (2) 并联分解法并联分解法极点两两相异时极点两两相异时 12nN sg sN sD sspspsp1212nncccspspsp其中：其中： limiiispcsp g s令：令： 1iix su ssp iiisx sp x su s则有：则有： iiix tp x tu t 11nniiiiiiicy su sc x ssp则有：则有： 1niiiy tc x t系统的矩阵式表达：系统的矩阵式表达：111222001001001nnnxpxxpxuxpx 1212nnxxybbbx二、传递函数含重实极点时二、传递函数含重实极点时 设n阶严格有理真分式传递函数为 121( )( )()()()()nnM sG sspspspsp当传递函数含重实极点时，不失一般性，假设 11( )( )( )( )() ()()qqnY sM sG sU sspspsp11( )( )( )( )() ()()qqnY sM sG sU sspspsp11111211111( )( )( )()()()qqnqqqncccccY sG sU sspspspspsp其中，q重极点 所对应的部分分式系数 按式 计算1p1(1,2, )jcjq1(1)11(1)1dlim()( ) (1)!djqjjspcspG sjs对于单极点 ，对应的部分分式的系数则按下式计算 (1,2, )ip iqqnlim () ( ) iiispcsp G s选择系统状态变量的拉氏变换为 112111111( )( )()1( )( )() 1( )( ) 1( )( ) 1( )( )qqqqqnnXsU sspXsU sspXsU sspXsU sspXsU ssp（222）1212311111( )( )1( )( ) 1( )( ) 1( )( ) 1( )( )qqqnnXsXsspXsXsspXsU sspXsU sspXsU ssp整理 得整理 得111221231111( )( )( )( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )qqqqqnnnsXsp XsXssXsp XsXssXsp XsU ssXspXsU ssXsp XsU s 111122111( )( )( )( )( )( )qqqqnnY sc Xsc Xsc XscXsc Xs（223）取拉氏反变换，得输出方程为 111122111qqqqnnyc xc xc xcxc x式（223）取拉氏反变换，得状态方程为 11 1221231111111 qqqqqqqqnnnxp xxxp xxxp xxxp xuxpxuxp xu 系统的向量-矩阵形式的状态空间表达式为 111221111111111121(0101011110000qqqqqqqnnnqxxpxxpxxpuxxpxxpxxpyccc1)11qqncccx系统状态变量图 xAxBuyCxDuxPx2.4.1 2.4.1 系统状态的线性变换系统状态的线性变换考虑系统：考虑系统：取线性非奇异变换取线性非奇异变换：, ,矩阵矩阵P P 非奇异非奇异PxAPxBuyCPxDu11.xP APxP BuyCPxDuxAxBuyCxDu11, , .AP APDDCCPBP B整理得：整理得：其中：其中：例例 考虑系统考虑系统1122010231xxuxx 1260 xyx1231220,xPxP取变换：取变换：16220P状态空间表达式变为：状态空间表达式变为：11022130 xP APxP Buxu 12312206 00 3yxx2.4.2 2.4.2 对角标准型对角标准型为 阶阵维满则称 为阵为义对应AnnAA:令矩。若 和向量足 ,矩的特征根定，而 的特征向量。1, ,对统阵个两两则线变换将统为对标nxPxxAxBuAxAxBLun定理:于系， 若矩具有 相异的特征根，系化角 准存在 性非型奇异。， 1100nAP AP1,1,证设， 为 对应则niiPpppin明：特征根所的特征向量。 有：11111, , ,nnnnnAPApApppppPA1:.AP AP充要条件充要条件：n n 阶系统矩阵阶系统矩阵 A A 有有n n 个线性无关的个线性无关的特征向量。特征向量。化对角标准型的步骤：化对角标准型的步骤：113:.nstepAP AP1: step求取系统矩阵求取系统矩阵A的的 n个特征根个特征根1,n和对应的特征向量和对应的特征向量1,.npp1,nPpp2:step令令 解：解：1)1) 求系统特征根求系统特征根例例 将下系统化为对角标准型将下系统化为对角标准型211101020213xxu 211010(2 (1)(1)0021IA）1232,1,1 2)2)求特征向量求特征向量112131011003000210vvv 213121213103020vvvvv1100v 对对12，由由得得11()0IA v2101v 122232111002000200vvv 1222322222000vvvvv对对21，由由得得22()0IA v132333311000000220vvv 1323332333300vvvvv3011v对对31， 由由得得33()0IA v123110 ,001011Pv v v，1111011010P3) 3) 新的状态方程为：新的状态方程为：11200201050012xP APxP Buxu P ：构成状态转移矩阵构成状态转移矩阵 2.4.3 2.4.3 约当标准型约当标准型1()2,jjiiiiIA vvjn ，11111A1()0nIA重特征根重特征根A设矩阵设矩阵具有具有n满足满足是是11v1所对应的特征向量。若所对应的特征向量。若ji变换化为约当标准型。变换化为约当标准型。可通过可通过ji则则称为广义特征向量。矩阵称为广义特征向量。矩阵线性线性A 113:.1kstepAP APJ 求约当标准型的步骤：求约当标准型的步骤：11:.1=0,=-,2iistepIAIAik 求解求解 122:,.，kstepP 令令 2.4.42.4.4线性变换的基本性质线性变换的基本性质一、系统特征方程和特征值的不变性一、系统特征方程和特征值的不变性 系统的状态空问表达式为系统的状态空问表达式为 x = Ax+ Buy = Cx+ Du系统的特征方程为系统的特征方程为 0I - A上式的根就是系统的特征值。而同一系统经线性非奇异变上式的根就是系统的特征值。而同一系统经线性非奇异变换之后为换之后为 -1-1x = P APx + P Bu = Ax + Buy = CPx + Du = Cx + Du它的特征方程为 0-1I - P AP-1-1-1-1-1-1I - P AP =P P - P AP = P (I - A)P= P(I - A) P= P P (I - A) = (I - A)二、传递函数矩阵的不变性二、传递函数矩阵的不变性 传递函数矩阵是系统的输入输出描述，系统状态空间的坐标变换，即内部描述的改变显然不会影响传递函数矩阵。 xAxbuycxdu(0)0,(0)0 xx:,:1,:1,: 1 1A n nb ncqd2.5.1 SISO2.5.1 SISO系统系统取取L L氏变换得：氏变换得：1)( )( )( )( ) () ( )sx sAx sbu sy sc s IAbd u s 1()( )()|c adj sIA bg sc sIAbddsIAA A的特征值即为系统的极点。的特征值即为系统的极点。结论：结论： （1）系统矩阵A A的特征多项式等同于传递函数的分母多项式。 （2）传递函数的极点就是系统矩阵A A的特征值。 （3）多项式与之和即为传递函数的分子多项式。 （4）由于状态变量选择的不同，同一系统的状态空间描述不是惟一的，但从表征系统状态空间描述的不同的A A，B B，C C和D变换到表征系统输入输出描述的传均函数G(s)是惟一的。选择不同的状态变量可得至两个不同的动态方程式，所求得的传递函数却是相同的，这称为传递函数的不变性。2.5.2 MIMO2.5.2 MIMO系统系统xAxBuyCxDu其中：其中：:,:,:,:A nnBnpCqnDqp1( )( )( )y sG su sCsIABD1111( )( )( )( )pqqpq pgsgsgsgs一、一、 并联并联: :系统如图，二子系统并联连接系统如图，二子系统并联连接系统1G1(s)系统2G2(s)Uy+11 11 1111 11 1:xAxBuyC xDu22222222222:xA xB uyC xD u特点：特点：1212,uuu yyy1111222200 xAxBuxAxB 1 12212121212 TyC xC xDuD uCCxxDDu 1212y sy sysG sGsu s 12G sG sGs二、二、 反馈反馈系统如图，二子系统并联连接系统如图，二子系统并联连接系统1G1(s)系统2G2(s)Uyy1u2y2U1_11 11 1111 1:xAxBuyC x222222222:xA xB uyC x特点特点：1212,yyu uuy(1) (1) 动态反馈动态反馈111211221220 xABCxBuxB CAx1120TyCxx 11112112 y sy sG s u sG su sysG s u sG s Gs y s 1121.G sIG s GsG s传递矩阵：传递矩阵： 1121G sIG s GsG s(2) (2) 静态反馈静态反馈闭环系统状态空间描述为：闭环系统状态空间描述为：()()xAxB uHyABHC xBuyC x闭环系统传递矩阵为：闭环系统传递矩阵为： 111G S IHG s 11011()(1)(1)( )()(1)(1)nnnny kna y knay ka y kb u knbu knbu kb u k离散时间系统差分方程表示：离散时间系统差分方程表示：其对应脉冲传函为：其对应脉冲传函为：1011111121210111( )( )( )nnnnnnnnnnnnnnnb zb zbzby zg zu zza zazazzzbza zaza定义定义： 1111( )nnnnQ zu zza zaza 11()(1)(1)( )nnQ knaQ knaQ ka Q ku k 12111121( )( )( )(1)(1)( )(1)(1)(1)()( )( )( )nnnnnnnx kQ kx kQ kx kx kQ knxkx kQ kna x kax ka x kb u k 取：取：对其进行对其进行Z 反变换得：反变换得： 11210( )( )nnny kx kxkx kb u k 1122111110100101001001011nnnnnnxkxkxkxku kxkxkxkaaaxk 写成矩阵形式：写成矩阵形式： 1211nnnx kxky kxk例例2.6.1 2.6.1 考虑离散系统考虑离散系统 (2)(1)0.16 ( )(1)2y ky ky ku ku k试写出其状态空间表达式。试写出其状态空间表达式。2( )2( )( )0.16y zzg su zzz 11221010210.161xkxku kxkxk 得状态空间表达式为：得状态空间表达式为： 1221xky kxk解：取解：取Z变换得变换得 基于2.3节矩阵指数的拉普拉斯变换求解法，可调用MATLAB 符号数学工具箱（Symbolic Math Toolbox）中的符号运算函数先算出“预解矩阵” ，再对“预解矩阵”进行拉普拉斯反变换即求得 。 )(1 AI steA 另外，MATLAB 符号数学工具箱中有专用于计算矩阵指数的指令expm（）可调用。 【例】 已知 ,应用MATLAB求 310130004AteA%MATLAB Program 2_1a syms s t %定义基本符号变量s 和tA=4,0,0;0,3,1;0,1,3;FS=inv(s*eye(3)-A); %求预解矩阵 eAt=ilaplace(FS,s,t); %求 )(11AIAsLeteAt=simplify(eAt) %化简 的表达式 teA解 MATLAB Program 2_1a给出了基于拉普拉斯变换求 的MATLAB 程序。 teA teA1tt 1t1teAMATLAB Program 2_2给出了调用expm（）求例 中矩阵A的矩阵指数 对应于 的值 的MATLAB 程序。 teA1 . 01 tt1teA%MATLAB Program 2_2 A=4,0,0;0,3,1;0,1,3; T=0.1;eAT=expm(A*T) 【例2-14】 已知离散系统状态方程为 )(11)(9 . 02 . 010) 1(kukkxx应用MATLAB求其状态转移矩阵 的解析式 )(k解 例2-10中已采用四种方法求出了系统的 ， MATLAB Program 2_3给出了基于Z变换求 的MATLAB 程序。 )(k)(k%MATLAB Program 2_3 syms z k %定义基本符号变量z和k G=0,1;-0.2,-0.9; Fz=(inv(z*eye(2)-G)*z; %求 zz1)(GIFk=iztrans(Fz,z,k) %调用Z反变换指令求 )(11zzZGI Fk=simple(Fk) %将符号运算结果表达式转换为最简形式 与例2-10求解结果一致，MATLAB Program 2_3 程序运行结果如下： Fk = 5*(-2/5)k-4*(-1/2)k, 10*(-2/5)k-10*(-1/2)k -2*(-2/5)k+2*(-1/2)k, -4*(-2/5)k+5*(-1/2)k 常微分方程数值解一般使用逐步积分的方法实现，RungeKutta法是应用最多的一种微分方程数值解法。MATLAB提供的ode23（）、ode45（）是分别采用2/3阶、4/5阶RungeKutta法的常微分方程数值求解的函数，一般ode45（）较ode23（）运算速度快，两者调用格式相同，即 )0, 0 , xfun(23ode,xxttft)0, 0 , xfun(45ode,xxttft其中,xfun为由m函数定义的一阶微分方程组的m函数名，该m函数必须以状态向量x的一阶导数为输出。若原方程为高阶微分方程，应通过第1章的“实现”方法将其转换为一阶微分方程组，即状态空间表达式； t0和tf分别为积分的起始和终止时间，单位为秒；x0 0为状态向量的初始值；t和x均为返回值，其中t为离散时间列向量；x为解向量构成的矩阵，其第j列为第j个状态变量与t相对应的解向量，j=1,2,n。 例 已知系统状态空间表达式为 x2400000010100001000012450351043214321yuxxxxxxxx设x(0)=0，试求u(t)=1(t)为单位阶跃函数时系统时间响应的数值解。 解 MATLAB Program 2_4a建立了描述系统状态方程的m函数ode_example.m。 %MATLAB Program 2_4a %ode_example.m function sx=ode_example(t,x) % sx为状态列向量x的导数的导数 sx(1,1)=-10*x(1)-35*x(2)-50*x(3)-24*x(4)+1; %sx应按状态方程编写 sx(2,1)=x(1); % sx是与x同维的列向量 sx(3,1)=x(2); sx(4,1)=x(3); 将MATLAB Program 2_4a保存为名为ode_example.m的m文件，且将保存ode_example.m的路径设置成当前路径。 MATLAB Program 2_4b为调用求解函数求状态方程和输出响应数值解的程序，图2-4所示为状态方程和输出响应数值解曲线。 %MATLAB Program 2_4b x0=0;0;0;0; %设置初值条件t0=0;tf=6;tspan=t0,tf %设置积分起始和终止时间t,x=ode45(ode_example,tspan,x0);%调用求解函数求状态方程数值解y=24*x(:,4); %据输出方程求输出响应的数值解subplot(1,2,1) plot(t,x(:,1), k,t,x(:,2),-.r,t,x(:,3),:b,t,x(:,4),-k) %绘状态方程数值解曲线gtext(x1)gtext(x2) gtext(x3)gtext(x4)subplot(1,2,2)plot(t,y,k) %绘输出响应数值解曲线gtext(y) 图2-4状态方程和输出响应数值解曲线 MATLAB Symbolic Math Toolbox提供的dsolve（）为求常微分方程解析解的指令，其调用格式为 S=dsolve（eqn1，eqn2，） 其中，eqn1,eqn2,为输入参数，其为描述常微分方程、初始条件及独立变量的字符表达式。微分方程是必不可少的输入参数，多个方程或初始条件可在一个输入参数内联立输入，且以逗号分隔；若独立变量默认,则小写字母t为独立变量；若要定义其它独立变量，则由全部输入参数eqn1,eqn2,中的最后一个参数定义。 在输入参数中，描述常微分方程规定用字符D代表对独立变量的导数（因此，用户所定义的字符变量不应含有字符D），例如若t为独立变量，y为t的函数，则Dy代表dy/dt，D2y代表 ，D3y代表 ,；初始条件可采用形如y(a)=b或Dy(a)=b的字符（串）表达式给出。S为返回的存放符号微分方程解的构架数组。 22/dtyd33/ dtyd MATLAB Control System Toolbox 提供了连续系统单位阶跃响应计算函数step( )、单位脉冲响应计算函数impulse()、零输入响应计算函数initial()、任意输入（包括系统初始状态）响应计算函数lsim()，与此对应，dstep( ) 、 dimpulse()、dinitial()、dlsim()分别为计算离散系统单位阶跃响应、单位脉冲响应、零输入响应、任意输入（包括系统初始状态）响应的函数。 例如，若给定线性定常连续系统、离散系统分别如式（2-83）、式（2-84）所示，则 执行step(A，B，C，D)指令，可得一组单位阶跃响应曲线，每条曲线对应于式（2-83）所示连续系统的输入/输出组合即在某一输入端单独施加单位阶跃信号作用下的某一输出响应，时间向量t的范围自动设定； 执行step(A，B，C，D，t)指令与执行step(A，B，C，D)指令一样，可得一组单位阶跃响应曲线，但时间向量t是由用户设定的； 执行step(A，B，C，D，iu)指令，可得式（2-83）所示连续系统从第iu个输入到所有输出的单位阶跃响应曲线； 执行y,x,t=step(A，B，C，D，iu)指令，可得式（2-83）所示连续系统从第iu个输入到所有输出y及状态x的单位阶跃响应数据，且返回函数自动设定的时间向量t，但不绘制响应曲线； 执行dinitial (G，H，C，D，x0)指令可得式（2-84）所示离散系统每一个输出的零输入响应曲线，取样点数由函数自动设定； 执行lsim（A，B，C，D，u，t，x0）指令可针对系统初始状态x0和输入u绘制系统所有输出（全）响应曲线，其中t为用户设定的线性等间距的时间向量；对多输入系统,u为数值矩阵，其列数等于输入信号数，第j个输入信号对应于t的离散序列构成u的第j列，行数等于时间向量t的维数。 【例】设双输入双输出系统状态空间表达式为 21212121211001201122511xxyyuuxxxx且设 、 ，系统初始状态为零。 )( 1)(1ttu)( 1)(2ttu1)分别求 、 单独作用下系统的输出响应；2)(1tu)(2tu求 和 共同作用下系统的输出响应。 )(1tu)(2tu解 1）MATLAB Program 2_6a为调用step（）函数求 、 单独作用下系统输出响应曲线的程序，图2-5为程序运行结果。 )(1tu)(2tu%MATLAB Program 2_6a A=-1,-1;25,-2;B=1,1;0,2;C=1,0;0,1;D=0,0;0,0;step(A,B,C,D)grid 图2-5 、 单独作用下系统输出响应 )(1tu)(2tu2）MATLAB Program 2_6b为求 和 共同作用下系统输出响应的MATLAB程序，图2-6为程序运行结果。 )(1tu)(2tu%MATLAB Program 2_6b A=-1,-1;25,-2;B=1,1;0,2;C=1,0;0,1;D=0,0;0,0;t=0:0.01:4; %生成时间向量t LT=length(t); %求时间向量t的维数（长度） u1=ones(1,LT); u2=ones(1,LT); %生成单位阶跃信号对应于向量t的离散 序列，u1和u2均为与向量t同维的向量 u=u1;u2; % u1和u2的转置分别构成u的第1和第2列 lsim(A,B,C,D,u,t) grid 图2-6 和 共同作用下系统输出响应 )(1tu)(2tu MATLAB Control System Toolbox提供的c2d（）函数可简化线性定常连续状态方程离散化系数矩阵的求解，若要将式（2-83）所示的线性定常连续系统变换为（2-84）所示的离散系统，且设控制输入端采用零阶保持器，T为采样周期，其调用格式为 G，H=c2d(A,B,T)