二重积分的对称性计算

在利用对称性计算重积分时，不仅积分区域( (xy对对称称，而而且且被被积积函函数数也也要要对对称称（即即对对或或 ）是是奇奇或或偶偶函函数数），两两者者缺缺一一都都不不能能使使用用。则则轴，且轴，且对称于对称于）若）若（),(),(D1yxfyxfx D1.),(2),(Ddyxfdyxf 轴上方的部分。轴上方的部分。位于位于是是其中其中xDD1则则轴，且轴，且对称于对称于）若）若（),(),(D2yxfyxfx D. 0),( dyxf轴右侧的部分。轴右侧的部分。位于位于是是其中其中yDD13D(, )( , )yfx yf x y（ ）若若 对对称称于于 轴轴，且且则则 D1.),(2),(Ddyxfdyxf 则则轴，且轴，且对称于对称于）若）若（),(),(D4yxfyxfy D. 0),( dyxf或左侧）的部分。或左侧）的部分。轴右侧轴右侧位于位于是是其中其中(DD1y则则对称于原点，且对称于原点，且）若）若（),(),(D5yxfyxf D1.),(2),(Ddyxfdyxf 则则对称于原点，且对称于原点，且）若）若（),(),(D6yxfyxf D. 0),( dyxfD, , x y这这种种情情况况常常称称为为积积分分区区域域 具具有有关关于于积积分分变变量量的的对对称称性性, ,或或称称为为二二重重积积分分的的轮轮换换对对称称性性( (即即若若积积分分区区域域或或被被积积函函数数的的表表达达式式中中，将将其其变变量量互互换换，其其表表达达式式不不变变）。12D7D,( , )( , ).,( , )( , ).Dyxf x y df y x d（ ）若若 对对称称于于直直线线则则D12( , )( , ).( , )( , ). .Df x y df y x dyxDD( (或或对对称称于于直直线线的的两两部部分分区区域域记记为为和和