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第八章立第八章立 体体 几几 何何第第2课时空间几何体的表面积、体积课时空间几何体的表面积、体积 1认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征能正确描述现实生活中简单物体的结构 2了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆台体的体积公式) 请注意 柱、锥、台、球等简单几何体的面积与体积(尤其是体积)是高考热点 1几何体的表面积 (1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各个面的面积的和 (2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是_、_、_ (3)若圆柱、圆锥的底面半径为r，母线长l，则其表面积为S柱 ，S锥 .矩形扇形扇环2r22rlr2rl (4)若圆台的上下底面半径为r1，r2，母线长为l，则圆台的表面积为S . (5)球的表面积为 .4R2 2几何体的体积 (1)V柱体 . (2)V锥体 . (3)V台体 ，V圆台 ，V球 (球半径是R)Sh 1若一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是() A8B6 C4 D 答案C 解析设正方体的棱长为a，则a38. 而此内切球直径为2，S表4r24. 2(2015沧州七校联考)若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为() 答案A 3若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的全面积为_ 答案3 答案12 例1(1)(2014安徽文)若一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为()题型一题型一 多面体的表面积和体积多面体的表面积和体积【答案】A (2)(2015合肥质检)下图是一个几何体的三视图，根据图中所给的数据，求这个几何体的表面积和体积 【解析】右图是还原后的几何体的直观图，分别取BC，AD的中点E，F，连接SE，EF，SF，由图中数据有 探究1求解多面体的表面积及体积问题，关键是找到其中的特征图形，如棱柱中的矩形，棱锥中的直角三角形，棱台中的直角梯形等，通过这些图形，找到几何元素间的关系，建立未知量与已知量间的关系，进行求解(1)(2014重庆理)若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为() A54B60 C66 D72思考题思考题1 【解析】题中的几何体可看作是从直三棱柱ABCA1B1C1中截去三棱锥EA1B1C1后所剩余的部分(如图所示)，其中在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，AB4.AC3，则BC5，【答案】B (2)(2015辽宁抚顺六校联考)若一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的体积为() 【解析】原几何体为三棱锥，如图所示【答案】D 例2如图所示，在直径AB4的半圆O内作一个内接直角三角形ABC，使BAC30，将图中阴影部分，以AB为旋转轴旋转180形成一个几何体，求该几何体的表面积及体积题型二题型二 旋转体的表面积和体积旋转体的表面积和体积 探究2此类题只需根据图形的特征求出所需元素(半径、高等)，然后代入公式计算即可(1)(2014天津)若一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为_m3.思考题思考题2 (2)若一个半径为2的球体经过切割之后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_ 【答案】16题型三题型三 利用割补法求体积利用割补法求体积 【解析】以正方形ABCD为底面，DD1为棱将上图补成一个正四棱柱ABCDA2B1C2D1，如图所示 截面A1BC1D1与底面ABCD成45的二面角， 原多面体的体积恰好为补成的正四棱柱体积的一半 AA1CC1，易知D1BD为截面与底面ABCD所成的二面角的平面角 D1BD45. 【答案】A (2)已知正方体AC1的棱长为a，E，F分别为棱AA1与CC1的中点，求四棱锥A1EBFD1的体积 【讲评】利用等积变换是求三棱锥体积的常用技巧 探究3(1)分割法：通过对不规则几何体进行分割，化为规则几何体，分别求出体积后再相加即得所求几何体体积 (2)补体法：通过补体构造出一个规则几何体，然后进行计算 (3)三棱锥的体积求解具有较多的灵活性，因为三棱锥的任意一个顶点都可以作为顶点，任何一个面都可以作为棱锥的底面，常常需要对其顶点和底面进行转换，以方便求解在正六棱锥PABCDEF中，若G为PB的中点，则三棱锥DGAC与三棱锥PGAC体积之比为() A1 1 B1 2 C2 1 D3 2思考题思考题3 【答案】C 1对于基本概念和能用公式直接求棱柱、棱锥、棱台与球的表面积的问题，要结合它们的结构特点与平面几何知识来解决，这种题目难度不大 2要注意将空间问题转化为平面问题 3当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无法运用，或者虽然几何体并不复杂，但条件中的已知元素彼此离散时，我们可采用“割”、“补”的技巧，化复杂几何体为简单几何体(柱、锥、台)，或化离散为集中，给解题提供便利答案C 解析根据题意画出图形，再由棱锥的体积公式直接求解 2长方体的三个相邻面的面积分别为2,3,6，若这个长方体的顶点都在同一球面上，则这个球的表面积为() 答案C 答案D 4已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是_ 几何体与球的切接问题 一、几何体的外接球 例1(1)若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_【答案】27 (2)求棱长为1的正四面体外接球的体积 【解析】设SO1是正四面体SABC的高，外接球的球心O在SO1上，设外接球半径为R，AO1r， 思考题思考题1(1)已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是() A16 B20 C24 D32【答案】C (2)(2014大纲全国)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为() 【解析】利用球心到各顶点距离相等列式求解【答案】A 二、几何体的内切球 例2若正四面体的棱长为a，则其内切球的半径为_ 【解析】如图正四面体ABCD的中心为O，即内切球球心，内切球半径R即为O到正四面体各面的距离 思考题思考题2 半径为R的球的外切圆柱(球与圆柱的侧面、两底面都相切)的表面积为_，体积为_ 【解析】外切圆柱的底面半径为R，高为2R， S表S侧2S底2R2R2R26R2， V圆柱R22R2R3. 【答案】6R2,2R3
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